高等代数课程电子课件-第2章矩阵

第二章矩阵Matrix目的要求熟练掌握矩阵的定义、两矩阵的相等概念；熟练掌握矩阵的运算及其运算规则，尤其是乘法运算的不可交换性、不可消去性；注意对照数、行列式与矩阵的区别。例1_1例1

某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品B1，B2，B3。在某年第一季度，各厂的生产情况如下表：产品产量产品1产品2产品3分厂1201712分厂2302010这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的一个2×3阶矩阵。17

122030

1020关于矩阵_1矩阵这个词是由

特（Sylvester,

1814-1897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他在取得

大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被

在

大学任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也

书记官和

。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时成为牛津大学的教授。他开创了英纯数学研究，并创办了《数学杂志》。在长达

50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。关于矩阵_2特（Sylvester）首先1850年由提出矩阵的概念应用：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用1858年卡莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则矩阵定义由mn个数aij

(i

1,2,,m;j

1,2,,n)排成m行、n列的矩阵阵列：

A=

ij

mn

(a

)称为m

行n

列矩阵，简记为m×n矩阵，aij称为A

的第i行第j

列元素。特殊矩阵及其元素表示_1实矩阵矩阵的元素全为实数，即aij∈R，

i

=

1,2,…,

m;

j

=

1,

2,…,

n复矩阵矩阵元素为复数，即aij∈C，

i

=

1,2,…,

m;

j

=

1,

2,…,

n零矩阵0m×n

矩阵元素全为零，即aij=

0，

i

=

1,2,…,

m;

j

=

1,

2,…,

nn阶方阵A：A的行数＝列数=n特殊矩阵及其元素表示_2对角阵A：亦记作diag(a11,a22,…ann)22ija0

a0 0

a11

00

A

a

0,

i

j,

i,

j

1,

2, ,

n

0

nn

10单位矩阵In：亦记作En

1

0 0

0 0

In

i,

j

1,

2, ,

naij

0

i

j1

i

j

01

数量阵：c为一数亦记作cIn0

c

0 0

0

c0

A

i,

j

1,

2, ,

naij

0

i

jc i

j

0c

特殊矩阵及其元素表示_3上三角矩阵A

常用U

表示22ija

a0

aa11

a12

a1n

0A

a

0,

i

j,

i,

j

1,

2, ,

n

02n

nn

严格上三角矩阵A

A为上三角阵，且对角元全为0下三角阵A

常用L表示2122ijaa

a0 0

a11a0

A

a

0,

i

j,

i,

j

1,

2, ,

na

n1

n2nn

严格下三角阵A

A为下三角阵，且对角元全为0特殊矩阵及其元素表示_4列向量n=1的特殊矩阵

a1

a

2

a

m

行向量m=1的特殊矩阵

a1

a2

an

特殊矩阵及其元素表示_5n维标准单位向量12n

1

0

0

0

1

0

,e

,

e

,

e

0

0

1

特殊矩阵及其元素表示_60

10ijklEen阶基础矩阵Eij0

0

i行0

1

k

i且l

j其他j列矩阵的相等A=(aij)m×n，B=(bij)s×t

则A

=B必须同时满足如下两个条件m

=

s,

n

=taij

=

biji=1,

2,…,

m;

j

=

1,

2,…,n特别提示

具有不列数的零矩阵代表不同的矩阵。如02×3≠01×6

≠03×2特别提示行列式建立了n阶方阵的全体到某数域的一个对应，即其结果为数值。1

0

11

1

0

11

1

00

0

1

0

11

0

10

1

0

1

0

1

1

0

0

10

1

1

0

1

11

但例1_2续1设该化工厂第一、二季度各厂的生产情况分别用矩阵A、B表示：A

2017

12

2230

20 10

,

B

2615

1525

10

2015

A

BC

42

32

2756

45

201730

2012

22

15

25

1010

26

则上半年各厂生产情况C为:矩阵加法

b22

a33

b31

b32a11

a12

a1

11

12

b13a21

a22

a23

b21

b33

a31

a32

b33a22

a32

b32

a11?

b11a21

b21a31

b31矩阵的加减法1_定义两同为m×n的矩阵相加(减)后得一m×n矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和(差)A

(aij

)mn

,

B

(bij

)mn

,A

B

(aij

bij

)mn特别提示

|A+B|≠|A|+|B|12

121112baba21b21a

b

a

a

a11

b11

11

b12

a

a

b

b

a

b

21

21

22 22

2122

21 22

a12

b12a22a12

b12b22

a11

b11

a11

b11a11

b11

a12a21

b21

a22

b12

b22矩阵的加减法2_运算规则运算规则交换律：A+B

=B+A结合律：(A+B)+C

=A+(B+C)0+A=A+0

=

AA+

(－A)

=

0A+(－B)

=

A－B例1_3续1依据该化工厂第一季度各厂的生产情况矩阵A，B

8012040

4

2012

4

A全年各厂生产情况为B:A

20

17

1230

20

1068

48801730

20

10ca12ca22can

2ca1nca21ca2

ncan1can

n矩阵数乘n1

an

2

a11

a12a1

n

a21

a22a2

n

aa

nn

c

c?a11矩阵的数乘_1m×n阶矩阵与一个数c相乘后得一m×n矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数。A

(aij

)mn

,

cA

(caij

)mn

,特别提示设A为n阶方阵cA

(caij

)nn

,|

cA

|

cn

|

A

|,但矩阵的数乘_2运算规则：c(A+B)=cA+cB(c+d)A=cA+dA(cd)A=c(dA)1·A=A0·A=0特例：A为n阶方阵，Eij为n阶基础矩阵，则ij

ija

Eni

,

j

1A

例1_4续1设该化工厂第一季度各厂的生产情况以及各产品成本和出产价如下表所示：产品产量产品1产品2产品3分厂120分厂230价格产品成本价出厂价产品77.2产品1111.3产品2020.5A

20

17

1230

20

10

7

7.2

11.3B

11

20

20.5问：各厂总产品成本和总出产价为多少？C

=

AB交通网络模型_1d1d2d3e1e2e3f2f1例2右图示明了d

国三个城市，e

国三个城市，f

国两个城市相互间之道路。在d国和e国间城市通路情况可用下列形式表示：在e国和f国

间城市通路情况可用下列形式表示：1f1f2e10e211e301其中：0,

1指城市间的通路数交通网络模型_2求：d

国和f

国城市通路形式？例2

x1

5

x2

3x1

3

x2

1

x1

3

y1

5

y2x2

y1

2

y2变量代换(

*

)带入(*)y

2

y1

3

1原方程解为

x1

4x2

1矩阵的乘法1_定义设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，A与B的乘积为一m×n矩阵C，定义如下：A

(aij

)ms

,

B

(bij

)sn

,C

(cij

)mnik

kja

bsk

1cij

ai1b1

j

ai

2b2

j

aisbsji

1,

2,

,

m;

j

1,

2,

,

n矩阵乘法13

2

4

?2

2

13320

3

1

2

11

2矩阵乘法13

2

4

1

2

13

?

123

22

12

0

1

2

矩阵乘法13

20

4

121

22

1

5

515

1342242112133131130110222211553513

12矩阵的乘积2_乘积不可交换特别提示AB可乘的前提是A的列数等于B的行数AB乘积一般不可交换A2×1

B1×3，AB为2

×3矩阵但BA无意义A3×1

B1×3，AB,BA均有意义，但对应行列数不同，不相等

1

01

1

1

11

001

0

1

01

03）

1若AB=BA，则称矩阵A，B乘积可交换矩阵的乘积3_运算规则

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0,

但

0

1

0,

1

0

0运算规则(AB)C

=

A(BC)A

(B+C)

=

AB

+AC,

(A+B)C

=

AC

+

BCcAB

=(cA)B

=A(cB)

c为数对任意m×n阶矩阵A，Im

A=A

=A

In特别提示矩阵乘积不满足消去律AB

0且A

0

B

0矩阵的乘积4_行向量与列向量的乘积设1

2n

b1

b

2

(a

,

a

,,

a

),

b

n

则nn2

1

2

2

a1b1

a2b2

a

bb1a1

b1a2b1an

b

a b

ab

a

2

n

b

a b

ab

a

n

1

n

2n n

矩阵的乘积5_与标准单位向量的乘积11122122ii1i

2inaaaaa

aaa

a

a

01

j

1n

a2

j

a21

a22a2n

Aej

1

am1

am

2amn

amj

0n1

a11

a12a1n

ae

'

A

0

1

02n

a1m

a

m1

m

2mn

矩阵的乘积6_n阶基础矩阵n阶基础矩阵Eij010ij

i

jkle0E

e

e

0

i行0

1

k

i且l

j其他j列n

阶基础矩阵与n

阶基础矩阵的乘积Eij

Ekl

E

0

j

kj

k

il矩阵的乘积7_与n阶基础矩阵的乘积n

阶基础矩阵Eij与n

阶矩阵乘积000001ij1j

2ij0

a

00

0a2iaa

0

0

00

0

00

AE

0E

A

aij

jn

00

0

00

00

i行anij列ijkljk

ilE

AE

a

EE

AE

e

e

Ae

e

e

(e

Ae

)e

(e

Ae

)e

e

a

Eij

kl

i

j

k

l

i

j

k

l

j

k

i

l

jk

ilAE

Ae

e

ij

i

jE

A

e

e

Aij

i

j矩阵转置

a11

a12a22a1

n

a21

an1

an

2ann

a11

a21a22an1

a12an

2

aann

A1

n

a2

nAa2

n

转置矩阵的转置A=(aji)m×n

,

B=(bij)n×m

,

bij=aji

i

=

1,2,…,n;j

=1,2,…,m.称B为A的转置，记做A’.运算规则(A’)’

=

A(A+B)’

=

A’

+

B’(cA)’

=cA’(AB)’

=B’A’特殊矩阵及其元素表示_7对称阵A：亦记作A=A’12

22ijjia

aa

aa11

a12

a1n

aA

a

a

,

i

j,

i,

j

1,

2, ,

na

1n

2n2n

nn

•称阵A：亦记作A=－A’1202na12

a1n

a

0

a2n

A

aij

aji

,i

j,

i,

j

1,

2, ,

n0

a

a

1n矩阵定义由mn个数aij

(i

1,2,,m;j

1,2,,n)排成m行、n列的矩阵阵列：

A=ij

mn

(a

)称为m

行n

列矩阵，简记为m×n矩阵，aij称为A

的第i行第j

列元素。矩阵的运算相等

同型、每个对应元素相等加法

定义、运算律（同数的运算）数乘

定义、运算律（同数的运算）乘法

定义、运算律（异于数的运算）转置

定义、运算律注意：–矩阵和的行列式不等于矩阵行列式的和–矩阵乘法不满换律、消去律xy几何意义

2

4

(2

,

4)'

01

4

1 0

2

(4

,

2)'xy

2

4

cos

sin

T

sincos

T逆时针旋转

角如果作用对象不是向量,比如三角形,结果如何?x(2

,

0)'(0

,

0)'(3

,

1)'y(3cos

sin逆时针旋转

角(2cos

,

sin

T

cos

sincos

将T作用在右边的三角形xy

2

4

cos

sin

T

sincos

T逆时针旋转

角如果要把

变回到

,怎么操作?几何角度:反向旋转矩阵表示目的要求熟练掌握矩阵的逆的定义，并会求逆；熟练掌握矩阵的三类初等变换及相应的三类初等矩阵；掌握三类初等变换对矩阵的行列施行初等变换与三类初等矩阵左、右乘矩阵对应关系.矩阵的逆_1矩阵A称为可逆的，如果存在矩阵B，使得AB

=

BA

=

I这里I为单位阵。否则A称为不可逆或奇异。注1

只有方阵才可能有逆；注2若A可逆，则其逆阵唯一，记做A-1

；注3

非零矩阵未必可逆；注4

若AB

=AC,且A可逆，则B

=C;注5

一般的A-1

BA

≠B，不可记A-1

为1IAA或矩阵的逆_2矩阵逆的运算规则若A可逆，则（A

－1)

－

1

=

A若A,B均可逆，则AB也可逆，且(AB)

－

1

=B－

1A

－

1若A可逆，且c非零，则cA可逆，且（cA)

－

1

=

c

－

1A

－

1若A可逆，则A’可逆，且（A’

)

－

1

=

(A

－

1)’伴随矩阵A为n阶方阵，Aij为A的第i行第j列元素aij的代数余子式，称矩阵A*=（Aji)n×n为A的伴随矩阵。*|

A

|注下节将证明|A|≠0是方阵A可逆的充要条件;注2若|A|≠0,则Ax=b的解x=A－1b，此结论与Cramer法则一致。当|A|≠0时，

A1

A

，其中A*为A的伴随矩阵。122nAAAA

A11A21

An1

22

An2

A

1nnn

例若n阶方阵A满足方程A3+A2+A+I=0，则A必可逆。已知n阶方阵A≠I，但A2=I，证明A+I必不可逆。已知n阶方阵A、B、A+B均可逆，试证明A-1+B-1也可逆。若n阶方阵A的行列式|A|≠0，则Ax=b的解为x=A－1b，此结论与Cramer法则一致。Gauss消去法2

x1

3

x2

2

x33

x1

x2

x3x2

x3

2

5

12

x1

3

x2

2

x3

5x2

x3

23

x1

x2

x3

1

32177222

x1

3

x2

2

x3

5x2

x3

2x2

4

x3

1

2

33322

x

3

x

2

x

5x2

x3

2

12x

72212

x

3

x2

2

x3

5x2

x3

2x3

31212

x

3

x

12x2

1x3

33121

x

1

x2

1

x

3

3矩阵的初等变换定义矩阵的初等变换指互换变换、数乘变换、消法变换定理任意矩阵一定可经过一系列的行和列的初等变换化为如下形式的矩阵0

01

00

00

0

1

00

0

00

00

第一类初等变换与初等矩阵1_定义定义0110ij[e1en

]1P

1

第i行

第j行第i列e

j第j列ei第一类初等变换与初等矩阵2_效果Pij左(右)乘矩阵等价与对该矩阵的行(列)实施第一类初等变换即对调该矩阵的第i行(列)与第j行(列)。以下运算中均在运算合法的前提下进行212

j2iijiji1i

2a1

ja1iaaaaaaa

a11

a12a1n

a1n

a

j1

a

j

2

a11

aP

A

AP

2n

aam1amn

in

a

m1

m

2mn

a

jn

i行

j行amij列amji列左行右列第二类初等变换与初等矩阵1_定义定义

c为非零数11ic[e1en

]ei

1ei

11P

(c)

1

第i行第i列cei第二类初等变换与初等矩阵2_效果Pi(c)左(右)乘矩阵等价与对该矩阵的行(列)实施第二类初等变换即该矩阵的第i行(列)各元素乘以c。212imim

2a1nca1ia

ca

aaPaaa

ca

aaaaa1i

1a1i

12i

12i

1i

1,1i

1,2mi

1mi

1

a11

a12a1n

ai

1,1

ai

1,2ai

1,n

a11

a

(c)

aa

m1i

1,n

a

m1mn

2n

mn

i列第三类初等变换与初等矩阵1_定义11ijc[e1en

]定义

c为一数1T

(c)

第i行

第j行第i列ei

cej1第j列ej第三类初等变换与初等矩阵2_效果Tij(c)左(右)乘矩阵等价与对该矩阵的行(列)实施第三类初等变换即将该矩阵的第i行(第j列)乘以c后加到第j行(第i列)上。212i2

j2

jijijm

2a1

ja11

a12

a1nai1

ai

2

ainaaa

aaa1i

ca1

ja1n

a11

aa

caT

(c)A

AT

(c)

2n

a

ca

a

caj1

i1

j

2

i

2amn

m1mn

i行ajn

cain

j行amjj列am1

ami

camji列初等矩阵的性质iP

(c)

cPij

1ijT

(c)

1初等矩阵的行列式

•初等矩阵均可逆Pij－1

＝

PijPi

－1(c)

＝

Pi

(c－1)Tij

－1(c)

＝

Tij

(－c)矩阵的逆矩阵可逆的定义矩阵求逆运算规则逆的计算特殊可逆矩阵——初等矩阵Pij,Pi(c),Tij(c)初等矩阵的逆Pij,Pi(c－1),Tij(－c)初等矩阵与初等变换xy

cos

sin

T

sincos

T逆时针旋转

角如果要把

变回到

,怎么操作?

S几何角度:反向旋转矩阵表示

cos

sin

S

sin

cos

T

1ST

I

S

ST

I

r

sin

r

cos

例例1

求P13A,P1(3)A,T13(1)A,

AP13,AP1(3),AT13(1),其中例2

将写出相应初等矩阵。2

1

2

3

4A

5

6

7

8

1

0

1

5

00

2

0

2

0A

1

2

01

00化为00

形式，并rI目的要求熟练掌握矩阵的相抵概念及性质；掌握方阵乘积的行列式等于行列式的乘积;熟练掌握矩阵可逆的等价命题;学会用初等变换计算矩阵的逆的方法;一些应用。相抵1_定义及性质定义如果一个矩阵A

经过有限次初等变换后变成B，则称A

与B

相抵。矩阵的相抵关系具有下列性质反身性A

与A

相抵对称性若A

与B

相抵，则B

与A

相抵传递性若A

与B相抵，B与C相抵，则A

与C

相抵Q1Q2使得Ps

Ps1Qt

B，则称A

与B

相抵。定义’如果存在有限个初等矩阵P1

,P2

,,

P

,2

,

,Qt

,相抵2_相抵一个m×n矩阵A=(aij)m×n必相抵于下面形式的矩阵：上面这个矩阵称为A的相抵。

Ir

0

A

00

一系列初等行列变换

0000

0

011

00

Ir

0例例1

A,B都是m×n阶矩阵,若A,B分别相抵于则A相抵于B的充要条件是r

=s.例2n阶方阵A不可逆的充要条件是存在不为0的矩阵B,使得AB

=0.

,

0

0

0

0

Ir

0

Is

0复习:Laplace定理设|A|是n阶矩阵A的行列式，在|A|中任取k行（列），那么含这k行（列）的全部k阶子式与它们对应的代数 式的乘积之和等于|A|.

即若取定k个行：211

k

k

k

k

||A

1j1jj2n

...kiiijjjAiiijjjAk12121212ˆ方阵的逆阵1_等价命题若A,B都是n阶方阵,则|AB|=|A||B|等价命题A可逆存在B,使得AB=BA=I存在B,使得AB=I|A|≠0A和I

相抵存在可逆阵P,Q使得PAQ=IA可表示为有限个初等矩阵之积重要提示

AB=I

则AB=BA.而AB=BA

未必有AB=I.例例1矩阵A相抵于B的充要条件是存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B.例2方阵A是可逆矩阵,则A必可经过有限次初等行变换化为In,也可经过有限次初等列变换化为In.此命题不可推广到一般方阵(矩阵)情形.例3

方阵A,B满足AB=A+B.证明:1)A-I是可逆矩阵;2)A,B乘积可交换,即AB=BA.例例4

计算n+1阶行列式nn1011011000(a

b

)n(a

b

)n

(a

b

)n0

n(a

b

)n(a

b

)n

(a

b

)n1

n(a

b

)n(a

b

)n

(a

b

)nn

n方阵的逆2_计算逆阵的计算A*1其中A*为A的伴随矩|

A

|

阵12222nAAAA

A11

A21An1

An2

A

1nnn

A

AI

一系列初等行变换

IA1

A

A1

I

I

一系列初等列变换例例1

求A－1,其中例2

解矩阵方程:4

12

1

2

3A

2

13

1

1

00

41

21

3

1

0

1X

1

1

1方阵的逆3_常见矩阵的逆上(下)三角矩阵的逆仍为上(下)三角矩阵对角矩阵的逆仍为对角矩阵对称矩阵的逆仍为对称矩阵单位矩阵的逆仍为单位矩阵初等矩阵的逆仍为同类初等矩阵，且有P

1

P P

(c)1

P

(c1

)

T

(c)1

T

(c)ij

ij

i

i

ij

ij矩阵方程的计算以下设A为可逆阵AX

B

X

A1

BXA

B

X

BA1A1

B

A

B

一系列初等行变换

IIBA1

B

A

一系列初等列变换

矩阵可逆的判断及证明找一个同阶方阵，使AB

=I

或BA

=I若|A|≠0，则A可逆；若|A|=0

，则A不可逆目的要求掌握分块矩阵的运算掌握分块矩阵的块初等变换,以及相应的2×2块初等矩阵熟练掌握分块矩阵的应用利用Cauchy-Binet公式计算及证明分块矩阵_1分块矩阵及其运算不是新的运算,而是矩阵运算的简化形式.把大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.在运算中,把这些小矩阵当作“数”一样来实行形式计算,同时又要求这些“数”间的运算满足矩阵间运算所必须满足的条件,这就是所谓的分块矩阵的运算.分块矩阵_2对m×n矩阵A,先用若干条横线将其划成r块,再用若干条竖线将把它划成s块,这样就得到了rs块分块矩阵,记为21AAA

Aij

mnij

rs

A11A12

A1s

22

AA

(a

)

2

s

(

A

)

A

r

1

r

2

rs

其中Aij是mi×nj矩阵,1≤i≤r,1≤j≤s,满足m=m1+m2+…+mr,n=n1+n2+…+ns.Aij称为A的第(i,j)块,A可记为A=(Aij)r×s.需注明分块矩阵的运算矩阵的运算相等加法数乘乘法转置分块矩阵的运算相等加法数乘乘法转置分块矩阵的转置1121111221221222r

11sr

2r

22

sAAA

AAA

AA

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A2

s

r1rs

1srs

即(Aij)rs’=(Aji’)sr例•i

i都是n阶方阵.计算AB,|A|,A可逆充要条件,A-1.例2

对角块为方阵的块上(下)三角矩阵的行列式.例3

分别将Am×n,

Bn×r按行及列分为m块和r块,

计算AB.

特例,

AI,

IA,

ei’Aej,

AEij,

EijA,

EijAEkl.

k

k

0

,A

与B0

,

B

0例1

A

0

B1

0

0

B2

0 0

B

A1

0

0

A2

0 0

A

注2BA2

0

BA

B

A

AB

0

B

A例01

2例4

计算

0

10

,分块形式

01

02n2

1

02计算

1

0

10

00

1k

n

k

n

1

.I

0kInk

k

n1

一般地

,分块形式22

1IIIn2

n1

II

Ikk

1nk

1

k

n.n1

一般地例h

l

,计算s例

5

设

A

A

A

21 22

A12

r

A11NIs

I

A

r

Irl

Ihs

Irss

A,,I

A,

A

K

I

K块初等变换_1第一类块初等变换0

I

I

0

D

,

00

I

A B

CI

X

Y

I

0

C

D

AB

I

0

Y

X

A B

0A

,

XY

0I

BI

Y X

C

D

I

0

D C

I

0

块初等变换_2第二类块初等变换

I

0

0

F

F为可逆矩阵

I

0

AB

,

IB

A0

X

X

0

F

C

DF