高中数学第三章导数及其应用32导数的计算学案(含解析)1-1

学必求其心得，业必贵于专精3。2导数的计算基本初等函数的导数[提出问题］已知函数:y＝f（x)＝c,(2)y＝f(x)＝x,3）y＝f（x）＝x2，（4）y＝f(x)＝错误!，5）y＝f（x)＝错误!。问题1：函数y＝f(x）＝c的导数是什么？提示：∵错误!＝错误!＝错误!＝0,∴y′＝错误!错误!＝0。问题2：函数(2）（3)（4）(5)的导数分别是什么?2提示：由导数的定义得：（x）′＝1，（x)′＝2x，问题3：函数（2)（3)(5）均可表示为y＝xα（α∈Q*）的形式，其导数有何规律？11-1提示:∵(x）′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，(错误!)′＝（x2）′＝错误!x2＝错误!,αα－1∴(x）′＝αx。[导入新知]基本初等函数的导数公式原函数导函数①f（x）＝cf′(x）＝0②f(x）＝xα＊）α－1（α∈Qf′(x)＝αx③f（x)＝sinxf′（x）＝cos_x④f（x)＝cosxf′（x)＝－sin_x⑤f（x)＝axf′(x)＝axln__a(a＞0）xx⑥f(x)＝ef′(x）＝e⑦f（x)＝logaxf′(x）＝错误!(a＞0，且a≠1）⑧f(x）＝lnxf′（x)＝错误!1学必求其心得，业必贵于专精[化解疑难]理解公式时要注意的五点：(1）对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可实行到α∈R也成立;对于正、余弦函数的导数，要点是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数;(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围;公式⑥是公式⑤的特例,公式⑧是公式⑦的特例；（5）要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要正确．导数的运算法规［提出问题］已知f（x）＝x，g(x)＝错误!.问题1:f（x），g（x）的导数分别是什么？提示：f′（x）＝1，g′（x)＝－错误!。问题2：试求Q(x)＝x＋错误!,H（x）＝x－错误!的导数．提示：∵Δy＝（x＋x）＋错误!－错误!x＋错误!，∴错误!＝1－错误!，∴Q′(x）＝错误!错误!＝错误!错误!＝1－错误!。同理H′（x)＝1＋错误!。问题3:Q(x),H(x）的导数与f（x)，g（x）的导数有何关系？提示：Q(x）的导数等于f(x),g(x)导数的和，H（x)的导数等于f(x），g(x)导数的差．问题4：[f（x)·g（x)]′＝f′(x）·g′（x)对吗？提示：不对，因为f(x)g(x）＝1，［f(x)g（x)］′＝0，而f′（x）·g′（x)＝1×错误!＝－错误!。[导入新知］导数的运算法规(1)[f(x）±g（x）]′＝f′（x)±g′(x)；2)［f(x)·g(x)]′＝f′（x）g（x）＋f（x)g′(x）；3)错误!′＝错误!（g（x)≠0）；4）[cf(x）]′＝cf′(x)．［化解疑难］导数的运算法规的认识2学必求其心得，业必贵于专精1．在两个函数积与商的导数运算中，不能够认为［f(x)·g（x）］′＝f′（x)·g′（x）以及错误!′＝错误!.2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“＋"，而商的导数公式中分子上是“－”．3．（1)[f1(x）＋f2（x)＋＋fn（x）］′＝f1′（x)＋f2′(x）＋＋fn′（x);（2)[cf（x）]′＝cf′(x），也就是说,常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．利用导数公式求函数的导数［例1］求以下函数的导数：(1）y＝x20；(2)y＝错误!；(3)y＝sin错误!；(4)y＝log6x;（5)y＝错误!.[解］(1）y′＝（x20)′＝20x20－1＝20x19.y′＝(x－4）′＝－4x－4－1＝－4x－5.(3）y′＝错误!′＝错误!′＝0.y′＝（log6x)′＝错误!.227（5）y′＝错误!′＝（x5）′＝－错误!x5-1。＝－错误!x5[类题通法］求简单函数的导函数有两种基本方法(1）用导数的定义求导，运算比较繁琐．2）用导数公式求导，能够简化运算过程、降低运算难度．解题时依照所给函数的特点，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[活学活用]求以下函数的导数:(1）y＝x6；(2）y＝log7x；(3）y＝x2x.解：(1）y′＝（x6）′＝6x5.(2)y′＝(log7x）′＝错误!。153y′＝(x2错误!)′＝(x2·x2）′＝（x2）′＝错误!x2。求导公式及导数运算法规［例2］求以下函数的导数：3学必求其心得，业必贵于专精1）y＝x5－3x3－5x2＋6;(2)y＝(2x2＋3）（3x－2）;3)y＝错误!;3x(4）y＝x·e；(5）y＝x2＋log3x。［解](1)y′＝（x5－3x3－5x2＋6)′(x5)′－(3x3）′－(5x2）′＋6′5x4－9x2－10x.法一：y′＝(2x2＋3）′（3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2）′＝4x（3x－2)＋（2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.法二:∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，y′＝18x2－8x＋9。（3）法一：y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝错误!.法二:∵y＝错误!＝错误!＝1－错误!,∴y′＝错误!′＝错误!′2′x＋1－2x＋1′＝错误!.＝－x＋12(4）y′＝（x3）′ex＋x3(ex）′＝3x2ex＋x3ex＝x2x。(3＋x）e5）y′＝(x2＋log3x)′＝（x2）′＋（log3x）′＝2x＋错误!。[类题通法]解决函数的求导问题，应先解析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法规，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导从前应先将函数化简，尔后求导，以减少运算量．[活学活用］求以下函数的导数:(1）y＝x错误!；（2）y＝错误!；(3）y＝3xex－2x＋e.解:(1)因为y＝x错误!＝x3＋1＋错误!，因此y′＝3x2－错误!。4学必求其心得，业必贵于专精2)y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!。（3）y′＝（3xex）′－(2x)′＋(e)′xxxx）′－（2x)′＝（3)′e＋3(exxxxx＝3ln3·e＋3e－2ln2＝（ln3＋1)·（3e)x－2xln2。求曲线的切线方程[例3](1）曲线y＝sinxx＋e在点（0，1)处的切线方程是________．（2）若曲线f（x)＝xsinx＋1在x＝错误!处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数a＝________.[解](1)∵y＝sinx＋ex，y′＝cosx＋ex，y′错误!＝cos0＋e0＝2,∴曲线y＝sinx＋ex在点（0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0），即2－＋1＝0。xy（2）因为f′（x）＝sinx＋xcosx，因此f′错误!＝sin错误!＋错误!cos错误!＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－错误!，因此依照题意得1×错误!＝－1，解得a＝2.答案：（1)2x－y＋1＝0(2)2[类题通法］依照导数的几何意义,可直接获取曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的实质特点．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标,然后依照已知条件求出切点坐标．［活学活用]求曲线y＝错误!在点错误!处的切线方程．解：∵y＝错误!，∴y′＝2x2＋1－2x·2x＝2－2x22，1＋x221＋x2∴y′｜x＝2＝错误!＝－错误!.因此曲线y＝错误!在点错误!处的切线方程为y－错误!＝－错误!（x－2)，即6x＋25y－32＝0.5学必求其心得，业必贵于专精错误!［典例］(12分)已知函数f（x）＝x3＋x－16，直线l为曲线y＝f（x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．[解题流程］［随堂即时演练]1．曲线f（x）＝xlnx在点x＝1处的切线方程为(）A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋1解析：选C∵y＝xlnx,∴y′＝lnx＋1，故切线斜率为k＝y′｜x＝1＝1.∴切线方程为y＝x－1。2．函数y＝错误!的导数是（)A.错误!B。错误!C。错误!D。错误!解析：选Ay′＝错误!′6学必求其心得，业必贵于专精x2′x＋3－x2·x＋3′＝x＋32＝错误!＝错误!。3．曲线y＝x(3lnx＋1)在点（1,1)处的切线方程为________．解析：y′＝3lnx＋4，则曲线在点（1，1）处的切线斜率为4，故切线方程为y－1＝4x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－34．已知函数f（x）＝错误!，则f′错误!＝________。解析：f′(x)＝错误!sinx－x＋1cosx＝sin2x，则f′错误!＝错误!＝1.答案：15．已知抛物线f（)＝ax2＋bx－7经过点（1,1），且在点(1，1）处的切线方程为4xx－y－3＝0,求a，b的值．2解:因为抛物线f(x)＝ax＋bx－7经过点(1,1),又在点(1,1）处的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0,其斜率为4,f′（x）＝2ax＋b，因此f′（1)＝4,即2a＋b－4＝0。解方程组｛a＋b－8＝0，，2a＋b－4＝0，得错误!［课时达标检测]一、选择题1．给出以下结论：①（cosx）′＝sinx；②错误!′＝cos错误!；③若y＝错误!，则y′＝－错误!；④错误!′＝错误!。其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3解析:选B(cosx）′＝－sinx，因此①错误;sin错误!＝错误!，而错误!′＝0，因此②错误；7学必求其心得，业必贵于专精错误!′＝错误!＝错误!＝－2x－3，因此③错误；错误!′＝－错误!＝错误!＝错误!x－错误!＝错误!，因此④正确．2．已知曲线y＝错误!－3lnx的一条切线的斜率为错误!，则切点的横坐标为（）1A．3B．2C．1D.2解析:选A因为y′＝错误!－错误!，因此由导数的几何意义可知，错误!－错误!＝错误!,解得x＝3（x＝－2不合题意,舍去）．3．对任意的x，有f′（x）＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为(）A．f（x）＝x3B．f（x)＝x4－2C．f(x）＝x3＋1D．f(x）＝x4－1解析：选B由f′(x)＝4x3知，f(x）中含有x4项，尔后将x＝1代入选项中考据可得．4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为(）A．1B．±1C．－1D．－2解析:选A设切点为（x0，y0），则y0＝3x0＋1，且y0＝ax错误!＋3,因此3x0＋1＝ax错误!3.①对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax错误!＝3，ax错误!＝1.②由①②可得x0＝1，因此a＝1.5．若f0（x)＝sinx，f1（）＝f0′（x），2（）＝f1′( )，,n＋1(x）＝fn′( )，xfxxfxn∈N，则f2015(x）＝（）A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：选D因为f1(x）＝（sinx)′＝cosx，f2(x)＝（cosx）′＝－sinx，f(x)＝（－sinx)′＝－cosx，3f（x)＝（－cosx）′＝sinx,4f5(x)＝(sinx)′＝cos，因此循环周期为4，x因此f2015(x)＝f3(x）＝－cosx。二、填空题6．若f（)＝e－x(cosx＋sinx)，则f′( )＝________.xx解析：f′（x）＝错误!′＝cosx－sinxex－excosx＋sinxe2x＝错误!＝－2e－xsinx.8学必求其心得，业必贵于专精－x答案：－2esinx7．（陕西高考）设曲线y＝ex在点(0,1）处的切线与曲线y＝错误!（x＞0）上点P处的切线垂直,则P的坐标为________．解析:y′＝ex，曲线y＝ex在点（0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n）,y＝错误!11(x＞0）的导数为y′＝－x2（x＞0),曲线y＝x(x＞0）在点P处的切线斜率k2＝－错误!（m＞0），因为两切线垂直，因此k1k2＝－1,因此m＝1，n＝1,则点P的坐标为（1,1)．答案：(1,1)8．已知f（x）＝x2＋2f′错误!x，则f′错误!＝________.解析：f′（x）＝2x＋2f′错误!,令x＝－错误!,则f′错误!＝－错误!＋2f′错误!，∴f′错误!＝错误!.答案：错误!三、解答题9．求以下函数的导数:1)y＝(x＋1)2（x－1)；（2)＝2sinx；yx(3）y＝错误!。解:(1）法一:y′＝［（x＋1）2］′(x－1）＋（x＋1)2（x－1）′＝2(x＋1）(x－1）＋(x＋1）2＝3x2＋2x－1.法二：y＝（x2＋2x＋1）(x－1)＝x3＋x2－x－1，y′＝(x3＋x2－x－1）′＝3x2＋2x－1.2）y′＝(x2sinx）′＝（x2）′sinx＋x2(sinx）′＝2xsinx＋x2cosx。(3）y′＝错误!＝错误!＝错误!。10．设f（x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x）满足f′(1)＝2a，f′(2）＝－b，其中常数a，b∈R。求曲线y＝f(x）在点（1，f(1)）处的切线方程．解：因为f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，因此f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b。又f′(1)＝2a，因此