概率论与数理统计长线基础讲义第一节

考研数学-概率论与数理统计讲义主讲：李良第一讲随机事件和概 第二讲一维随量及其分 第三讲二维随量及其分 第四讲随量的数字特 一、预备知识1、两个基本原理n1n2 nk种方法。

nk种，则完成此事共乘法原理：完成某事要k个步骤，每一步有n1, ,nk种方法，则完成此事共 nk种方法2、排 nn1选排列（0rn）Prn(n1 (nnn（rn3、组

Pnn!Urn定义：从n个不同的元素种任取r个（0rn），不计顺序拼成一组，称为从n个元素中取出r个元素的组合，记为nCrnC C

(nr) 性质Cr Cr

CC二、随机事件【 1.2】下列试验是否均为随机试验？若是，写出所有可能结果 ：一批产品中任取一件，观察是正品还是次 ：射击一个目标，为止，记录射击次E5：从一批灯泡中任取一只，测其E6：从东方升样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间。定义：样本空间ABC655必然事件：样本空间包含所有样本点，它是自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。记为。不可能事件：空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。记为。事件相等ABBAA

k

Ak为n个事件A1, ,An的和事件 A，B同时发 件AB发

k

,An的积事件（5）A和B的差事件事件AB 件AB发生也记为AB互斥（互不相容）事件：AB 对立（互逆）ABABAB在一次试验中必然发生且只A的对立事件记为A。,完全事件组：若事件A1 An,AiAj,1ijn，则称事件,ABBAABBABC)ABCABC)ABABCABAC)ABC)ABA德摩根律（对偶律ABAB,ABA【例1.4】设A,B为任意两个事件，则下列选项错误（A）AB，则A,B可能不相 （B）AB，则A，B也可能相（C）ABAB也可能相容（D）ABAB 2）A,B都发生，而C不发3）A,B,C同时发 4）A,B,C至少有一个发5）A,B,C至少有两个发 6）A,B,C只有一个发三、古典概率和几何概型 e1,

Pe1Pe2 PAA中基本事件的个数a个AbB球形状完全相同，A①从袋中任取ｃ＋ｄcAdB球的概率（cadb②从袋中任意连取出k+1（k1ab）个球，如果每球被取出后不放回，试求最后取出的球是A球的概率（cadb）放回与不放回抽样，求PA),P(B)，其中A{3件均为次品}B{两正品一次品}【例1.7】一组中有a名b名男生随机地站成一列求从前面数第k（1kab）分房问题例如将n个人等可能地分配到N（nN）间去，试求下列事件的概率点位于中任意两个长度（或平面、体积）相等的子区间（或子区域）内的可能性相同，则所取得点位于中任意子区间（或子区域）A内这一事件（仍记作A）的概率为【例1.11】午来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点时报时一次，求他等待时间短于10min的概率四、随机事件的概率

2称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：P(

是两两互不相容的事件，即对于ij,AiAj,i,j1, P(A1A2

)P(A1)P(A2)②规范性：P(0P(③有限可加性：设A1, ,An是两两互不相容的事件，即对ij,AiAj,i,j1, ,

P(A1

An)P(A1)P(A2) P(An④逆事件的概率对于任一事件APA1P P(BA)P( P(ABAB，则有PAP(BP(BA)P(B)P(ABPABPAP(BPP(ABC)P() P( P( (P (P1.15ABPA0.5PAB0.8,ABP(B)1.16】PA0.8PAB)0.1PAB)1.17ABPABPABPApP(B)1 4PABPBC0,PAC1,A,BC三个事件中至少出现一个的概81.19】AB，AC，且PA)09，P(BC)0.8PABC)1 和P(AB)1则12(A)AB (B)AB(C)P(AB) (D)P(AB)五、条件概率件B发生的条件概率。

P(BA)P(P(

【例1.21】在1, ,9中任取一数，令A{是3的倍数}，B1={偶数}，B2{大于P(AP(A|B1P(A|B2（1）0P(B|A)（2）P(|A)1，P(|A)（3）P(A|B)1P(A|（4）P(A1A2)|BP(A1|B)P(A2|B)P(A1A2|3、乘法公式PA)0P(AB)P(BAP或P(B)0PAB)PAB)P(B)ABCPAB0P(ABC)P(CAB)P(B【例1.23】判断下列命题是否正确，为什么【例1.24】袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人一次随机地从 （B）AA

P(AB) , nP(B)P(Ai)P(BAi ,P(

B)P(Ai)P(AinP(Ai)P(Ain

i1,2,品的次品率分别为0.04，0.02，0.05，现从中任取一件，求

X中任取一个数，记为Y球，这样连续进行m-1次，求此时再从袋中摸出1个球为黑球的概率。六、事件的独立性 P(A 若0PA1AB独立P(B)P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(B|A)P(B|A)P(B|P(AB)P( P(AC)P( P(BP(B) P(ABC)P(

ABC靶的概率分别为0.5,0.6,0.8，求下列事件的概率：1.30】ABC是三个相互独立的随机事件，且0P(C1，则下列给定的四对事件中可能不相互独立的是（）(A)AB与 (B)AC与(C)AB与 (D)AB与 (A)AB与B (B)AB与AB(C)AC与 (D)ABCAB与AB【例1.32】设事件A与事件B互不相容，则 AP(AB)CP(A)1

BP(AB)P(DP(AB)（A）A和BC独 （B）AB与AC独（C）AB与AC独 （D）AB与AC独次出现正面}，A3={正、各出现一次}，A4=