三重积分及重积分应用课件

第三节三重积分一、问题的提出二、三重积分的概念三、直角坐标系下三重积分的计算六、小结思考题四、柱面坐标系下三重积分的计算五、球面坐标系下三重积分的计算第三节三重积分一、问题的提出二、三重积分的概念三、1x0z

y为图示曲顶柱体一、问题的提出x0zy为图示曲顶柱体一、问题的提出2x0z

yx0zy3三重积分及重积分应用课件4x0z

yz2(x,y)为图示曲顶柱体I=P..积分区域是曲顶柱体Dz1(x,y)三、直角坐标系下三重积分的计算这就化为一个定积分和一个二重积分的运算如图，x0zyz2(x,y)为图示曲顶柱体I=P..积分区域5三重积分化为三次积分的过程：得到先z后y再x三重积分化为三次积分的过程：得到先z后y再x6三重积分化为三次积分的过程：得到先z后x再y三重积分化为三次积分的过程：得到先z后x再y7三重积分及重积分应用课件8三重积分及重积分应用课件9解解10解解11前面介绍的方法称为先一后二法或穿针、切丝法前面介绍的方法称为先一后二法或穿针、切丝法12三重积分及重积分应用课件13即即14三重积分及重积分应用课件15解解16原式原式17四、利用柱面坐标计算三重积分规定：简单地说，柱面坐标就是xoy面上的极坐标+z坐标四、利用柱面坐标计算三重积分规定：简单地说，柱面坐标就是xo18柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面19如图，柱面坐标系中的体积元素为再根据中z，r，的关系，化为三次积分。一般，先对z

积分，再对r，最后对积分。如图，柱面坐标系中的体积元素为再根据中z，r，20由前面的讨论可知:在柱面坐标系下三重积分可表示为解由前面的讨论可知:在柱面坐标系下三重积分可表示为解2110xz

yDxy1解10xzyDxy1解220xz

y1Dxy11解0xzy1Dxy11解23五、三重积分的球面坐标计算法0xz

yM(r,,)rNyxz

空间任一点M还可用有序数组(r,θ,φ)来表示.(r,θ,φ)也称为点M的球面坐标.圆锥面；球面；半平面．且五、三重积分的球面坐标计算法0xzyM(r,,)r24球面坐标与直角坐标的关系为如图，球面坐标与直角坐标的关系为如图，25球面坐标系中的体积元素为如图，一般，先对r

积分，再对，最后对积分。球面坐标系中的体积元素为如图，一般，先对r积分，再对26解一、直角坐标系下

二、柱面坐标系下

三、球面坐标系下

解一、直角坐标系下二、柱面坐标系下三、球面坐标系下27三重积分及重积分应用课件28三重积分及重积分应用课件29解解30补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分31解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,32解解33三重积分及重积分应用课件34三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）六、小结三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积35复习三重积分的计算法

1.三重积分的直角坐标计算法2.三重积分的柱面坐标计算法3.三重积分的球面坐标计算法截面计算法复习三重积分的计算法1.三重积分的直角坐标计算36解法1：先一后二解法1：先一后二37解法2：先二后一解法3：柱坐标解法2：先二后一解法3：柱坐标38解法4：球坐标解法4：球坐标39思考题思考题40练习题练习题41三重积分及重积分应用课件42练习题答案练习题答案43

第四节重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、质心四、转动惯量五、引力六、小结思考题第四节重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、质心44重积分应用问题1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法重积分应用问题1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是45一、从定积分定义出发可解决的问题一、从定积分定义出发可解决的问题46二、曲面的面积二、曲面的面积471.设曲面的方程为：在D上偏导数连续设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为曲面S的面积元素)则1.设曲面的方程为：在D上偏导数连续设光滑曲面则面积A可48故有曲面面积公式即2.若光滑曲面方程为则有3.若光滑曲面方程为则有故有曲面面积公式即2.若光滑曲面方程为则有3.若光滑曲面方程49【例1】【解】【例1】【解】50在D上无界在D上无界51于是半个球面的面积为整个球面的面积为【注】反常二重积分于是半个球面的面积为整个球面的面积为【注】反常二重积分52【解】补充动画演示【解】补充动画演示53三重积分及重积分应用课件54【解】解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为【解】解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为55三重积分及重积分应用课件56例4.

计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影为则出的面积A.azoxyz=xy.例4.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面57axz

y0axzy058DaaaaxoyDxz

y0DaaaaxoyDxzy0592xzyo2xzyo60xzy2问题：曲面向哪个坐标面投影？o只能向zox平面投影xzy2问题：o只能向zox平面投影61xzy2Dxzoxzy2Dxzo62xzy2Dxzoxzy2Dxzo63三、质心1.平面薄片的质心三、质心1.平面薄片的质心64当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法(二重积分表示)当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法(二重积分表示)65【解】【解】66【解】【解】67【例8】薄片关于轴对称【解】【例8】薄片关于轴对称【解】682.空间物体的质心其中（推广）(三重积分表示)2.空间物体的质心其中（推广）(三重积分表示)69四、转动惯量1.平面薄片的转动惯量四、转动惯量1.平面薄片的转动惯量70薄片对于

轴的转动惯量薄片对于

轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量71【解】【解】72三重积分及重积分应用课件732.空间立体的转动惯量点到x轴的距离平方点到原点的距离平方2.空间立体的转动惯量点到x轴的距离平方点到原点的距离平方74【例10】【解】【例10】【解】75三重积分及重积分应用课件76薄片对

轴上单位质点的引力为引力常数五、引力薄片对轴上单位质点的引力为引力常数五、引力77【解】由积分区域的对称性知【解】由积分区域的对称性知78所求引力为【推广】空间立体对质点的引力（略）所求引力为【推广】空间立体对质点的引力（略）79【几何应用】曲面的面积【物理应用】质心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结【几何应用】曲面的面积【物理应用】质心、转动惯量、对质点的引80

第三节三重积分一、问题的提出二、三重积分的概念三、直角坐标系下三重积分的计算六、小结思考题四、柱面坐标系下三重积分的计算五、球面坐标系下三重积分的计算第三节三重积分一、问题的提出二、三重积分的概念三、81x0z

y为图示曲顶柱体一、问题的提出x0zy为图示曲顶柱体一、问题的提出82x0z

yx0zy83三重积分及重积分应用课件84x0z

yz2(x,y)为图示曲顶柱体I=P..积分区域是曲顶柱体Dz1(x,y)三、直角坐标系下三重积分的计算这就化为一个定积分和一个二重积分的运算如图，x0zyz2(x,y)为图示曲顶柱体I=P..积分区域85三重积分化为三次积分的过程：得到先z后y再x三重积分化为三次积分的过程：得到先z后y再x86三重积分化为三次积分的过程：得到先z后x再y三重积分化为三次积分的过程：得到先z后x再y87三重积分及重积分应用课件88三重积分及重积分应用课件89解解90解解91前面介绍的方法称为先一后二法或穿针、切丝法前面介绍的方法称为先一后二法或穿针、切丝法92三重积分及重积分应用课件93即即94三重积分及重积分应用课件95解解96原式原式97四、利用柱面坐标计算三重积分规定：简单地说，柱面坐标就是xoy面上的极坐标+z坐标四、利用柱面坐标计算三重积分规定：简单地说，柱面坐标就是xo98柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面99如图，柱面坐标系中的体积元素为再根据中z，r，的关系，化为三次积分。一般，先对z

积分，再对r，最后对积分。如图，柱面坐标系中的体积元素为再根据中z，r，100由前面的讨论可知:在柱面坐标系下三重积分可表示为解由前面的讨论可知:在柱面坐标系下三重积分可表示为解10110xz

yDxy1解10xzyDxy1解1020xz

y1Dxy11解0xzy1Dxy11解103五、三重积分的球面坐标计算法0xz

yM(r,,)rNyxz

空间任一点M还可用有序数组(r,θ,φ)来表示.(r,θ,φ)也称为点M的球面坐标.圆锥面；球面；半平面．且五、三重积分的球面坐标计算法0xzyM(r,,)r104球面坐标与直角坐标的关系为如图，球面坐标与直角坐标的关系为如图，105球面坐标系中的体积元素为如图，一般，先对r

积分，再对，最后对积分。球面坐标系中的体积元素为如图，一般，先对r积分，再对106解一、直角坐标系下

二、柱面坐标系下

三、球面坐标系下

解一、直角坐标系下二、柱面坐标系下三、球面坐标系下107三重积分及重积分应用课件108三重积分及重积分应用课件109解解110补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分111解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,112解解113三重积分及重积分应用课件114三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）六、小结三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积115复习三重积分的计算法

1.三重积分的直角坐标计算法2.三重积分的柱面坐标计算法3.三重积分的球面坐标计算法截面计算法复习三重积分的计算法1.三重积分的直角坐标计算116解法1：先一后二解法1：先一后二117解法2：先二后一解法3：柱坐标解法2：先二后一解法3：柱坐标118解法4：球坐标解法4：球坐标119思考题思考题120练习题练习题121三重积分及重积分应用课件122练习题答案练习题答案123

第四节重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、质心四、转动惯量五、引力六、小结思考题第四节重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、质心124重积分应用问题1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法重积分应用问题1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是125一、从定积分定义出发可解决的问题一、从定积分定义出发可解决的问题126二、曲面的面积二、曲面的面积1271.设曲面的方程为：在D上偏导数连续设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为曲面S的面积元素)则1.设曲面的方程为：在D上偏导数连续设光滑曲面则面积A可128故有曲面面积公式即2.若光滑曲面方程为则有3.若光滑曲面方程为则有故有曲面面积公式即2.若光滑曲面方程为则有3.若光滑曲面方程129【例1】【解】【例1】【解】130在D上无界在D上无界131于是半个球面的面积为整个球面的面积为【注】反常二重积分于是半个球面的面积为整个球面的面积为【注】反常二重积分132【解】补充动画演示【解】补充动画演示133三重积分及重积分应用课件134【解】解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为【解】解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为135三重积分及重积分应用课件136例4.

计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影为则出的面积A.azoxyz=xy.例4.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面137axz

y0axzy0138DaaaaxoyDxz

y0DaaaaxoyDxzy01392xzyo2xzyo140xzy2问题：曲面向哪个坐标面投影？o只能向zox平面投影xzy2问题：o只能向zox平面投影141x