湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数课件

正弦和余弦4.1第4章锐角三角函数正弦和余弦4.1第4章锐角三角函数1【学习目标】1．了解正弦的概念，知道特殊角30°的正弦值．2．通过具体实例，分析、比较后知道“当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也固定”的事实．3．通过实际动手，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力和学生独立思考、勇于创新的精神．【学习重点】理解正弦的概念与意义．【学习难点】正弦的概念。【学习目标】2情境导入扬水站的图片．修建一个扬水站，在选择扬水泵时，必须知道扬水站(点A)与水平面(BC)的高度(AC)．斜坡与水平面所成的角(∠B)可以用测角器测出来，水管的长度(AB)也能直接量得．提问：你能求出它的高度(AC)吗？情境导入扬水站的图片．3知识模块一正弦的概念如图，（1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A=∠A’=65°，∠C=∠C’=90°.ACBB'C'A'65°65°知识模块一正弦的概念如图，（1）和（2）分别是小明、小亮4小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出：小亮量出∠A'的对边B'C'=2cm，斜边A'B'=2.2cm，算出：小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出：5这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的6如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=.∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？探究如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中探究7∠A=∠D=，∠C=∠F=90°，∵△DEF.Rt∽△ABC∴Rt即∴∴∠A=∠D=，∠C=∠F=90°，∵△DEF8

这说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.这说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，9如图，在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比叫作角的正弦，记作sin，即结论根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到

sin30°=如图，在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比叫作角10(1)在有一个锐角为α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．(2)在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即sinα＝

．(3)sin30°＝

．(4)如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，sinA＝

，sinB＝

．归纳(1)在有一个锐角为α的所有直角三角形中，角α的对边归纳11知识模块二正弦概念的应用例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5.（1）求sinA的值（2）求sinB的值BCA解：（1）∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是（2）∠B的对边AC，根据勾股定理，得AC²=AB²-BC²=5²-3²=16于是AC=4因此知识模块二正弦概念的应用例1如图，在Rt△ABC中，12如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值.2.解：如图，设点A（3，0），连接PA.A●在△APO中，由勾股定理得因此如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），2.解：如图，设13如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是∠B=45°.从而AC=BC．根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是AB=BC.因此如何求sin45°的值？动脑筋如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°14如图所示，构造一个Rt△ABC

，使∠B=60°，则∠A=30°，从而.根据勾股定理得AC2=AB2-BC2=AB2-于是因此如何求sin60°的值？动脑筋如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠B=60°，则∠A=315例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键，显示结果为0.7660…至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角的正弦值，我们可以利用计算器来求.例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键16如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知sinα

=0.7071，依次按键，显示结果为44.999…，表示角α约等于45°.如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，17在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，则AB=AC=归纳在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，s18做一做利用计算器计算：（1）sin40°≈________（精确到0.0001）；（2）sin15°30′≈________（精确到0.0001）；（3）若sinα=0.5225，则α≈____（精确到0.1°）；（4）若sinα=0.8090，则α≈_____（精确到0.1°）.0.64280.267231.554.0做一做利用计算器计算：0.64280.267231.554.191.用计算器求下列锐角的正弦值（精确到0.0001）：

（1）35°；（2）65°36′；（3）80°54′.解:（1）sin35°=0.5736；

（2）sin65°36′=0.9107；

（3）sin80°54′=0.9874；练习1.用计算器求下列锐角的正弦值（精确到0.0001）：解:202.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角（精确到0.1°）：（1）sinα=0.8071；（2）sinα=0.8660.练习解：（1）α≈53.8°；

（2）α≈60.0°。2.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角练习解：（1）α≈21在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=22如下图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE因此探究如下图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，∵∠A=231、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．随堂练习1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sin242、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，求AC.2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝625正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长∠A的对边斜边sinA=课堂小结正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦264.1.2余弦的概念和余弦值的求法4.1.2余弦的概念和余弦值的求法27【学习目标】1．了解余弦的概念，能根据特殊角(30°、45°、60°角)的正、余弦值说出对应的锐角度数及其应用．2．掌握互余两锐角的正弦值与余弦值的关系．3．会用计算器求任意锐角的余弦值．会由任意锐角的余弦值求对应的锐角．【学习重点】余弦的概念和特殊角的余弦值．【学习难点】互余两锐角的正弦值与余弦值的关系。【学习目标】28情境导入通过正弦概念的学习，我们知道：直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个常数．我们可以猜想它的邻边与斜边的比值也是一个常数．那么，你能设计一个方案来证明我们的猜想是否正确吗？情境导入通过正弦概念的学习，我们知道：直角三角形的锐角固定时29归纳(1)在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数；(2)在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα，即cosα＝

；(3)对于任意锐角α，有cosα＝sin(90°－α)，sinα＝cos(90°－α)．(4)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对边分别为a、b、c，则cosA＝

，cosB＝

．归纳(1)在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与30知识模块一余弦的概念知识模块一余弦的概念31通过前面的学习，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，仍可以利用计算器来求.如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如已知cosα=0.8661，依次按键显示结果为29.9914…，表示角α约等于30°.例如求50°角的余弦值，可以在计算器上依次按键cos50

,显示结果为0.64627…通过前面的学习，我们已经知道了三个特殊角（30°，32知识模块二特殊角（30°、45°、60°角）的余弦值的应用知识模块二特殊角（30°、45°、60°角）的余33归纳：(2)把cos30°、cos45°、cos60°按从大到小的顺序排列．cos30°>cos45°>cos60°.(3)你发现有什么规律吗？解：对于任意锐角α，都有0<cosα<1；任意锐角α的余弦值随角度的变大而相应减小．归纳：341、求下列式子的值．1、求下列式子的值．35知识模块三用计算器求锐角的余弦值用计算器求cos70°的值(精确到0.0001)．解：依次输入：“cos”、“70”，显示结果为0.3420…变例：已知cosα＝0.3279，求锐角α(精确到1′)．解：依次输入：“2ndf”(或“SHIFT”)、“cos”、“0.3279”，显示结果，70.8586…(约为70°52′)知识模块三用计算器求锐角的余弦值用计算器求cos70°的3630°45°60°sinα221.什么是锐角α的正弦函数？2.下列特殊角的正弦值分别是什么？复习提问30°45°60°sinα221.什么是锐角α的正弦函数？复37

在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，叫作角α的正弦.

想一想上一节课已学内容，那角α的邻边与斜边的比值也会是一个常数吗？能用类比的方法证明吗？

同学们以小组讨论解决的方案，请典型代表展示.

新课导入在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边38如图４－7，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE.推理论证如图４－7，△ABC和△DEF都是直角三角形，其39

在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，对于锐角α的每一个确定的值,角α的邻边与斜边的比都有唯一确定的值与它对应，所以可把角α的邻边与斜边的比值看成角α的函数.通过上面问题的探讨，谈谈收获是什么？归纳在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，对于锐角α的每40定义在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作

cosα，即

角的邻边斜边结论定义在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦41如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.∠A的正弦值是什么？∠B的余弦值呢？它们相等吗？

探究如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的42从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有探究结论从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有探究结论4330°45°60°sinαcosα2222练习30°45°60°sinαcosα22441、利用计算器计算：（1）cos

15°≈

（精确到0.0001）；（2）cos

50°48′≈

（精确到0.0001）；（3）若cos

α=0.9659，则α≈

(精确到0.1°）；（4）若cos

α=0.2588，则α≈

（精确到0.1°）.1、利用计算器计算：452、如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=则AC和BC的长是多少？并求sinA的值.2、如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=463.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是()A.B.C.D.AABC3.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，A473.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定4.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则sinA

sinB;(2)若sinA=sinB,则∠A

∠B.ABC┌C==3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100485．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝(1)求点B的坐标；

(2)求cos∠BAO的值．ABH解：(1)如图所示，作BH⊥OA，垂足为H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝,∴BH=3，OH＝4，∴点B的坐标为(4，3)．5．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，49如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝

(2)求cos∠BAO的值．ABH

(2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6．∵在Rt△AHB中，BH=3，如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)50小结余弦余弦的概念：在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦余弦的性质：α确定的情况下，cosα为定值，与三角形的大小无关用计算器解决余弦问题小结余弦余弦的概念：在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫514.1.2余弦的概念和与余弦值的求法4.1.2余弦的概念和与余弦值的求法52FEDαBCAα新课导入△ABC

和

△DEF都是直角三角形，它们都有一个锐角等于α，即∠D=∠A=α．在Rt△ABC

中，∠A的相邻的直角边（简称邻边）为AC，斜边为AB；在Rt△DEF中，∠D的邻边为DF，斜边为DE．问

，成立吗∠B=90°－α＝∠E，AC是∠B的对边，DF是∠E的对边，依据正弦定理结论成立FEDαBCAα新课导入△ABC和△DEF都是直角三角形53在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα，这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值等于角90°－α的对边与斜边的比值．根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有探究新知定义在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作c54BCABCA典例讲解1、在Rt△ABC

中，∠C=90º，AC=5，AB=7．求cosA，cosB的值．答案：BCABCA典例讲解1、在Rt△ABC中，∠C=90553．对于任意锐角α，0＜cosα＜1都有你能说出道理吗？AC＜AB∴

0＜cosα＜13．对于任意锐角α，0＜cosα＜1都有你能说出道理吗？A564．求下列各式的值（１）sin²30°+cos²30°；（３）sin²60°+cos²60°；（２）sin²45°+cos²45°；4．求下列各式的值（１）sin²30°+cos²30°；（３57解对于任意角α是不是总有Sin²α+cos²α=1思考解对于任意角α是不是总有思考581．在Rt△ABC

中，∠C=90º，BC=5，AB=6．求sinA，sinB的值．6BCA5BCA87答案：答案：随堂练习2．在Rt△ABC

中，∠C=90º，BC=7，B=8．求cosA，cosB,sinA，sinB的值．1．在Rt△ABC中，∠C=90º，BC=5，AB593．求下列各式的值．（1）sin30°·cos30°；（3）sin45°·cos45°.（2）sin60°·cos60°；3．求下列各式的值．（1）sin30°·cos30°；（60解解61余弦余弦的概念：在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦余弦的性质：α确定的情况下，cosα为定值，与三角形的大小无关用计算器解决余弦问题课堂小结余弦余弦的概念：在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫做角624.2正切4.2正切63【学习目标】1．掌握正切的概念，知道锐角三角函数的概念．2．熟记30°、45°、60°角的正切值，会解决与之有关的数学问题．3．会用计算器计算任意锐角的正切值，会由任意锐角的正切值求对应的锐角．【学习重点】正切的概念，30°、45°、60°角的正切值．【学习难点】会利用30°、45°、60°角的正切值解决有关的计算题。【学习目标】64提问：在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边(或邻边)与斜边的比值是一个常数．想一想：这个锐角的邻边与对边的比值是否也是一个常数呢？那么，你能设计一个方案来证明我们的猜想是否正确吗？情景导入提问：情景导入65知识模块一正切的概念如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°∴Rt△ABC∽Rt△DEF∴即BC·DF=AC·EF∴ABCEFDαα知识模块一正切的概念如图，△ABC和△DEF都是直角三角66由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。如图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα，即对边邻边α由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与671.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，

∠A是一个锐角.

2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.3.tanA﹥0

且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.归纳1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角.68例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝12，b＝5，求∠A、∠B的正弦值、余弦值和正切值．典例精析例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C的对69知识模块二tan30°，tan60°，tan45°的值如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，于是BC=AB，∠B=60°.从而AC²=AB²-BC²=(2BC)²-BC²=3BC².由此得出因此BCA30°知识模块二tan30°，tan60°，tan45°的70归纳：1.(1)(2)把tan30°、tan60°、tan45°按从大到小的顺序排列：tan60°>tan45°>tan30°.(3)你发现有什么规律吗？对于任意锐角α，都有tanα>0；任意锐角α的正切值随角度的变大而相应变大．2．锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数．归纳：71例2计算：(1)sin30°＋cos30°·tan60°.(2)cos60°－3tan30°＋tan60°＋2sin245°.典例精析例2计算：典例精析72知识模块三用计算器计算任意锐角的正切值说一说tan45°的值tan45°=1知识模块三用计算器计算任意锐角的正切值说一说tan457330°、45°、60°的三角函数值：α30°45°60°sinαcosαtanα1归纳30°、45°、60°的三角函数值：α30°45°60°si74对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值，我们也可用计算器来求。归纳例如求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键“tan”

“25”

，显示结果为0.4663…例如已知tanα=0.8391，依次按键“2ndf”“tan”“0.8391”,显示结果为40.000…，表示角α约等于40°。如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角。40°。对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值751．用计算器求锐角的正切值（精确到0.0001）：

2．已知正切值，用计算器求相应的锐角（精确到1′）．（１）tan21º15′≈（２）tan89º27′≈（３）tan5º49′≈0.3889104.17090.1019（1）tanα＝1.2868，则α=（2）tanα

=108.5729，则α=52º9′89º28′做一做1．用计算器求锐角的正切值（精确到0.0001）：2．已知76例3(1)用计算器求tan58°的值．(精确到0.0001)解：依次输入：“tan”、“58”，显示结果为1.6003….tan58°≈1.6003.(2)已知tanα＝1.2868，求α的值．(精确到分)解：依次输入：“2ndf”(或“SHIFT”)、“tan”、“1.2868”，显示结果为52°9′.例377从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sinα（或cosα，tanα）与它对应。并且我们还知道，当锐角α变化时，它的比值sinα（cosα，tanα）也随之变化。因此，我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数。从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确78湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数课件79定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切(习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是801．在Rt△ABC

中，∠C=90º，AC=7，BC=5．求tanA，tanB的值．2．在Rt△ABC

中，∠C=90º，AC=2，AB=3．求tanA，tanB

的值．

BCA75BCA32答案：答案：练一练1．在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=7，BC81已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，

∴tanA＝1，sinB＝∴∠A＝45°，∠B＝60°，

∠C＝180°－45°－60°＝75°，

∴△ABC是锐角三角形．已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)82小结正切定义∠A越大，tanA越大,梯子越陡与梯子倾斜程度的关系小结正切定义∠A越大，tanA越大,与梯子倾斜程度的关系834.3解直角三角形ABC4.3解直角三角形ABC84【学习目标】1．理解解直角三角形的概念及直角三角形中五个元素之间的关系．2．会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．3．渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力．【学习重点】会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【学习难点】渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力。【学习目标】85直角三角形两锐角关系三边关系互余勾股定理边角关系ＡＣabcB

30°角所对的直角边等于斜边的一半；

锐角三角函数

议论一下直角三角形两锐角关系三边关系互余勾股定理边角关系ＡＣabcB86情境导入1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.(1)Rt△ABC的三边之间有什么关系？a2＋b2＝c2(勾股定理)(2)Rt△ABC的锐角之间有什么关系？∠A＋∠B＝90°(3)Rt△ABC的边和锐角之间有什么关系？情境导入1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C872．根据下列每一组条件，画直角三角形．你能画出多少个不同的直角三角形？然后与同伴所画图形进行交流比较：(1)斜边长为4cm，一条直角边长为3cm；(1)个(2)一个锐角40°，它的邻边长为3cm；(1)个(3)一个锐角40°，它的对边长为3cm；(1)个(4)一个锐角40°，斜边长为3cm；(1)个(5)一个锐角为40°，另一个锐角为50°.(无数)个2．根据下列每一组条件，画直角三角形．你能画出多少个不同的直88知识模块一解直角三角形的概念、已知一边及一锐角解直角三角形已知2个角不行.已知2个元素，且至少有1个是边就可以了在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。知识模块一解直角三角形的概念、已知一边及一锐角解直角三角89例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，cBABCcab还可以用勾股定理求c。像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，902、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB＝5.25，解这个三角形(长度精确到0.01)．解：∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.∵sinA＝

，∴BC＝AB·sinA＝5.25×sin40°≈3.37.∵cosA＝

，∴AC＝AB·cosA＝5.25×cos40°≈4.02.2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB＝5.91湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数课件92(1)三边之间的关系:a

2＋b2＝c2（勾股定理）;(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B=

90º;(3)边角之间的关系:sinA＝accosA＝tanA＝ＡＣＢabc有三条边和三个角，其中有一个角为直角bcab锐角三角函数一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？回忆一下(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）;(9330°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；对于cosα，角度越大，函数值越小.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：94

在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素?这5个元素之间有什么关系?知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?思考探索在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素?思考探索95在Rt△ABC中,（1）根据∠A=60°,斜边AB=30,你能求出这三个角的其他元素吗？A在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,就可以求出其余三个元素.(其中至少有一个是边),你发现了什么?BC∠B

AC

BC∠A∠B

AB一角一边两边

（2）根据AC=，BC=,你能求出这个三角形的其他元素吗？两角

（3）根∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?不能在Rt△ABC中,（1）根据∠A=60°,斜边AB=30,96ACBabc二）解直角三角形

解直角三角形一）直角三角形五元素直角三角形五个元素：三边两锐角

在直角三角形中已知两个元素（其中至少有一个是边）,求出其余未知元素的过程三）解直角三角形的依据感受新知ACBabc二）解直角三角形解直角三角形一）直角三97三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）

锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º

边角之间的关系（锐角三角函数）:tanA＝absinA＝accosA＝bc

解直角三角形三）解直角三角形的依据ACBabc感受新知三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）锐角之98例1：解直角三角形温馨点悟：

利用“勾股定理”；“两锐角余”；“锐角三角函数”关系是解题的关键闯关题：第一级

例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°,b=.解这个直角三角形.b=CBAac典例解析例1：解直角三角形温馨点悟：闯关题：第一级例1.在Rt△99

例1：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°,b=.解这个直角三角形.CBA解：在Rt△ABC中，

设a=x，c=2x由勾股定理得：∴c=8，a=4即：∴c=8∵方法一解：

∵∠B=60°,b=

∴∠A=30°,c=2a比较这两种方法哪个方法更简单？方法二即:解：又∵∠A=30°

例题分析例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60100例2：构造直角三角形闯关题：第二级例2：已知：△ABC中，∠A=105°，∠C=45°，BC=8，求AC和AB的长.[评析]

在解斜三角形、等腰三角形、梯形等一些图形的问题时，可以适当地添加辅助线构造直角三角形，然后利用解直角三角形，使问题得以解决.

设未知数得到相关的方程，是解本题的一个关键步骤.ABCD范例解析例2：构造直角三角形闯关题：第二级例2：已知：△ABC中，101规范解题解：

过点B作BD⊥AC.

例2：已知：△ABC中，∠C=105°，∠A=45°，BC=2，求AC的长.BCAD

在Rt△ABD中，∵∠A

=∠ABD=45°

在Rt△ABD中，∵

∠A=45°,则∠ABD=45°.∴∠CBD=∠ABC-∠ABD

∠CBD=60°

∴sin∠CBD

=即CDBC∴∴AC=AD+CD=∴例题分析规范解题解：例2：已知：△ABC中，∠102解直角三角形的思考方法是：

有斜（斜边）用弦（正、余弦），

无斜用切（正切）；宁乘勿除，尽量采用原始数据，以图辅助，启迪思维.意思：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则取原始数据，避免用中间数据.解直角三角形的思考方法是：意思：103如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.ACB解：设在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.随堂练习如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=104ACB∴AB的长为ACB∴AB的长为1051.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则

AB的值为()

A．4B．6C．8D．10D2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是()

A．10B．20C．40D．28C1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=106图①提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的长.解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；图①提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.在△ABC中，A107图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.∴BC的长为7或17.图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，∴BC的长为7或17108方法与技巧：构造直角三角形的两种常见三角形:(1)直接过顶点作底边上的高；(2)过顶点作底边延长线上的高.AABBCCDD方法与技巧：AABBCCDD109解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函数关系式

归纳小结解直角三角形：由已知元素求未知元素的过程直角三角形中，AB∠A的对边aC∠A的邻边b┌斜边c解直角∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函数1104.3解直角三角形ABC4.3解直角三角形ABC111【学习目标】1．理解解直角三角形的概念及直角三角形中五个元素之间的关系．2．会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．3．渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力．【学习重点】会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【学习难点】渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力。【学习目标】112ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.c290°情境导入ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；113已知两边解直角三角形在图中的Rt△ABC中，(1)根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC675°已知两边解直角三角形在图中的Rt△ABC中，ABC675°114(2)根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4(2)根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角115在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐116ABC解：例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，，解这个直角三角形.典例精析ABC解：例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，117在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=30，b=20，根据条件解直角三角形.

解：根据勾股定理ABCb=20a=30c练习在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=30，b=20，118已知一边及一锐角解直角三角形例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).ABCb20ca35°解：已知一边及一锐角解直角三角形例2如图，在Rt△ABC中，1191.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝72°，c=14.根据条件解直角三角形.ABCbac=14解：练习1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝72°，c1202.如图，已知AC=4，求AB和BC的长．提示：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD的长，从而求解．2.如图，已知AC=4，求AB和BC的长．提121在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，D解：如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，∴BD=CD=2.在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，D122已知一锐角三角函数值解直角三角形例3如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.ACB解：设在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.已知一锐角三角函数值解直角三角形例3如图，在Rt△ABC123ACB∴AB的长为ACB∴AB的长为1241.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则

AB的值为()A．4B．6C．8D．10D2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是()

A．10B．20C．40D．28C练习1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=125图①提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.例4在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的长.解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；图①提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.例4在△ABC126图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.∴BC的长为7或17.图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，∴BC的长为7或17127

C2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

AB=8，则BC的长是()

D1.在RT△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，

∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是()A.b=a·tanAB.b=c·sinAC.b=c·cosAD.a=c·cosA当堂练习C2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°1283.在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则

AC=

(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，

tan37°≈0.75).4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为

.

243.753.在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=31295.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC

的平分线，解这个直角三角形.解：∵

AD平分∠BAC，DABC65.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠B130解：过点A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，

求BC.DABC解：过点A作AD⊥BC于D.6.如图，在△ABC中，∠131解直角三角形依据解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课堂小结解直角三角形依据解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一1324.4解直角三角形的应用4.4解直角三角形的应用133在Rt△ABC中，∠C为直角，除直角C外，其余的5个元素（两角三边）之间有以下关系：

⑴三边之间的关系：

⑵锐角之间的关系：⑶边角之间的关系：

ABCcba复习回顾在Rt△ABC中，∠C为直角，除直角C外，其余的5个元素（134解直角三角形的定义:在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的两个元素（至少一个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的3个元素。

引入新课解直角三角形的定义:在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条135ABCcab有斜用弦，无斜用切，多乘少除，取原避中，数形结合，切勿凭空。例题讲解ABCcab有斜用弦，无斜用切，多乘少除，取原避中，数形结合136例2、

如图，在离上海东方明珠塔底部1000米的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面高AE为1.7m，求上海明珠塔的高度BD(结果精确到1m).解：ABCED25°如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000m，因此tan25°＝BCAC＝BC1000从而BC＝1000xtan25°≈466.3（m）因此，上海东方明珠塔的高度BD=466.3＋1.7=468（m）答：上海东方明珠塔的高度BD为468m例2、如图，在离上海东方明珠塔底部1000米的A处，用仪13730°10合作探究1、30°10合作探究1、138

2、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.ABCDαβ仰角水平线俯角分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°.Rt△ABD中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.巩固练习2、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为3139解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277.1m.ABCDαβ解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．答：1403、已知一直角三角形的两边为3和4，求第三边的长。43ABC34ABC巩固练习3、已知一直角三角形的两边为3和4，求第三边的长。43ABC141解直角三角形直角三角形的边角关系解直角三角形知一边一锐角解直角三角形知两边解直角三角形添设辅助线解直角三角形归纳小结解直角三角形直角三角形的边角关系解直角三角形知一边一锐角知两142由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？解：过A作AC⊥BM,垂足为C,在Rt△ABC中，∠B=30°,

∴AC=AB=x240=120（km)1212∴A城会受到沙尘暴影响。BA●东北MC拓展延伸由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。143A、必做题

1、已知中，∠C=90°,

,求∠A的其它锐角三角函数值。3、如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，你能求出哪些结论。75°BC45°

6ＡＢ、选做题课后作业A、必做题3、如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=751444.4解直角三角形及其应用

4.4解直角三角形及其应用1451.概念：

在直角三角形中，已知一些边和角求未知的边和角，叫做解直角三角形.

2.直角三角形的边角关系：如图:

在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c,则

（1）角与角的关系：∠A+∠B=90°（2）边与边的关系：a2+b2=c2一、解直角三角形1.概念：在直角三角形中，已知一些边和角求2146（3）边与角的关系：sinA==cosA==tanA==（3）边与角的关系：sinA==cosA==tanA==147例1如图，在中，a=5，求∠B，b，c.Rt△ABC∴∵又∵

∴5解：在Rt△ABC中，∴∵∠A+∠B=900例1如图，在中，148如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinB＝，AC=8，D为线段BC上一点，并且CD=2．那么BD=（）4做一做如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，4做一做1491、几个常用概念：（1）仰角：

视线与水平线所成的角，且视线在水平线上方.

（2）俯角：

视线与水平线所成的角，且视线在水平线下方.

如图：二、解直角三角形及其应用1、几个常用概念：（1）仰角：视线与水平线所成的角，且视线150（3）方位角（如图）OA：北偏东30°OB：东南方（南偏东45°）OC：南偏西70°OD：北偏西60°（4）坡角（α）如图:

坡面与水平面的夹角叫做坡角

（5）坡度（坡比,i）:

坡面的铅直高度（h）和水平宽度（l）的比.i=h：l=tanα

（3）方位角（如图）OA：北偏东30°（4）坡角（α）如图151

例2

如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为多少？（结果保留根号）例2如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的152解：作CE⊥AB于点E，则

BE=CD=5m，

在Rt△BCE中，

∵tan300=∴CE=

在Rt△ACE中，∵tan450=

∴AE=

∴AB=

5=5（m）CE·tan450=5（m），BE+AE=（5+5）（m）．解：作CE⊥AB于点E，则BE=CD=5m，

在Rt△153

在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：①不同地点看同一点图1方法指导在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构154图2

②同一地点看不同点

③利用反射构造相似

图3图2②同一地点看不同点③利用反射构造相似图3155

一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）试一试一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出156建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m54°45°解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2(m).ABCD40m54°45°建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部157请同学们谈谈这节课的收获.课堂小结请同学们谈谈这节课的收获.课堂小结1584.4解直角三角形应用4.4解直角三角形应用159在测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水线的夹角叫俯角.知识点回顾在测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，160学习目标1.正确理解方向角、坡度的概念.(重点)2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.(重点、难点)学习目标1.正确理解方向角、坡度的概念.(重点)161

如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ABC导入新课观察与思考如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡162如上图所示，从山坡脚下点

A上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC的长度）的比叫作坡度，用字母i表示，即（坡度通常写成1:m的形式）．坡度问题如上图所示，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度163坡度越大，山坡越陡．在下图中，∠BAC

叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作α，显然，坡度等于坡角的正切，即

坡度越大，山坡越陡．在下图中，∠BAC叫作坡角（即山坡1641.斜坡的坡度是，则坡角α=___度.2.斜坡的坡角是45°

，则坡比是_____.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.αlh301:1练一练1.斜坡的坡度是，则坡角α=___度165例1如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2案例分析例1如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，166在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此α