指数与对数的运算

-.z.指数与对数的运算【课标要求】〔1〕通过具体实例〔如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等〕，了解指数函数模型的实际背景；〔2〕理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。〔3〕理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等根本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进展变形处理。【要点精讲】1、整数指数幂的概念。〔1〕概念：n个a(2)运算性质：两点解释：①可看作∴==②可看作∴==2、根式：〔1〕定义：假设则*叫做a的n次方根。〔2〕求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作：当n为偶数时，正数的n次方根有两个〔互为相反数〕记作：负数没有偶次方根0的任何次方根为0名称：叫做根式n叫做根指数a叫做被开方数〔3〕公式：；当n为奇数时；当n为偶数时3、分数指数幂〔1〕有关规定：事实上，假设设a>0,，由n次根式定义,次方根，即：〔2〕同样规定：；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。〔3〕指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。〔注〕上述性质对r、R均适用。4、对数的概念〔1〕定义：如果的b次幂等于N，就是，则数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。=1\*GB3①以10为底的对数称常用对数，记作；=2\*GB3②以无理数为底的对数称自然对数，，记作；〔2〕根本性质：=1\*GB3①真数N为正数〔负数和零无对数〕；2〕；=3\*GB3③；4〕对数恒等式：。〔3〕运算性质：如果则=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③R〕。〔4〕换底公式：两个非常有用的结论=1\*GB3①；=2\*GB3②。【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：af(*)=bf(*)=logab,logaf(*)=bf(*)=ab;〔定义法〕af(*)=ag(*)f(*)=g(*),logaf(*)=logag(*)f(*)=g(*)>0〔转化法〕af(*)=bg(*)f(*)logma=g(*)logmb(取对数法)logaf(*)=logbg(*)logaf(*)=logag(*)/logab(换底法)【典例解析】题型1：指数运算例1．〔1〕计算：；〔2〕化简〔3〕化简：。〔4〕化简：例2．，求的值。题型2：对数运算例3．计算〔1〕；〔2〕；〔3〕。例4．设、、为正数，且满足〔1〕求证：；〔2〕假设，，求、、的值。例5。〔1〕log189=a,18b=5,求log3645〔用a,b表示〕〔2〕设求证：题型4：指数、对数方程例6：解方程〔1〕〔2〕例7．设关于的方程R〕，〔1〕假设方程有实数解，**数b的取值范围；〔2〕当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。.【稳固练习】1..假设，则的值为A．50B．58C．89D．111〔〕2.假设，则=；3.的值域为[1，7]，则的取值范围是〔〕A.［２，４］B.C.D.4假设则(a>0)，则.6.〔1〕；〔2〕.7.假设，求的值．8.解以下指数方程：(1)(2)(3)(4)9.解以下对数方程(1)(2)(3)(4)10.如果函数在区间[-1，1]上的最大值是14，求的值。11.设假设时有意义，**数的范围。【思维总结】1．〔其中〕是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进展它们之间的相互转化，选择最好的形式进展运算.在运算中，根式常常化为指数式比拟方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进展数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化〔分子或分母〕、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经历；3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比拟高的知识；【课后作业】1.计算。1〕；〔2〕2.化简以下各式〔结果用有理数指数幂表示〕：〔1〕；〔2〕；3.化简以下各式〔结果用有理数指数幂表示〕：〔1〕；〔2〕4.，求以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕；5.计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕6.〔1〕，，用表示；〔2〕设，用表示；设，，且，求的最小值。〔1〕，求的值。答案详解题型1：指数运算例1．解：〔1〕原式=；〔2〕原式==〔注意复习，根式开平方〕〔3〕原式=。〔4〕原式＝点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保存；一般的进展指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2．解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。点评：此题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算例3解：〔1〕原式；〔2〕原式；〔3〕分子=；分母=；原式=。点评：这是一组很根本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的根本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例4．证明：〔1〕左边；解：〔2〕由得，∴……………①由得………②由①②得……③由①得，代入得，∵，∴………………④由③、④解得，，从而。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指对数式的简单应用例5〔1〕解：∵log189=a∴∴log182=1a∵18b=5∴log185=b∴〔2〕证：∵∴∴题型4：指数、对数方程例6：解〔1〕但必须：∴舍去〔2〕,∴,例7．解：〔1〕原方程为，，时方程有实数解；〔2〕①当时，，∴方程有唯一解；②当时，.的解为；令的解为；综合①、②，得1〕当时原方程有两解：；2〕当时，原方程有唯一解；3〕当时，原方程无解。点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种根本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经历。【稳固练习】1.答案:C易得；2、-23、答案