第14讲线性系统的频域分析法20131124

1、第第5章章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法Frequency-response analysis频域分析法频域分析法频率特性及其表示法频率特性及其表示法典型环节的频率特性典型环节的频率特性稳定裕度和判据稳定裕度和判据频率特性指标频率特性指标 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法频域分析法。 5.15.1频率特性及其表示法频率特性及其表示法5.1.1 5.1.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性频率特性又称又称频率响应频率响应，它是系统（或元件）对不同频，它是系统（或元件）对不同频率率正弦输入信号正弦输入信号的响应特性。的响

2、应特性。 00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345输出的输出的振幅振幅和和相位相位一般均不同于输入量，且随着输入信一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化号频率的变化而变化 设系统的传递函数为设系统的传递函数为)()()()()(sVsUsGsRsC已知输入已知输入)sin()(tAtr系统输出系统输出为为:jAeeAjAeeAeaaetctjjtjjtjtj2)(2)()()()()(sin()(tAA-线性系统的线性系统的稳态输出稳态输出线性系统的线性系统的稳态输出稳态输出是和输入具有相

3、同频率的正弦信号，是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为其输出与输入的幅值比为)()(jGA输出与输入的相位差输出与输入的相位差)()(jG说明说明A A为常量为常量 ()SjG jG S)(jG 称为电路的称为电路的频率特性频率特性。)(jG是是)(jG的幅值的幅值)(是是)(jG的相角的相角)(jG和和)(都是输入信号频率都是输入信号频率故它们分别被称为电路的故它们分别被称为电路的幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性。它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。它表示在稳态时，电路的输出与输入的它表示在稳态

4、时，电路的输出与输入的幅值之比幅值之比。它表示在稳态时，输出信号与输入信号的它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差相位差。由于由于的函数的函数 ()SjG jG S5频率特性的频率特性的物理意义物理意义是：当一频率为是：当一频率为 的正弦信号加到的正弦信号加到电路的输入端后电路的输入端后，在在稳态稳态时，电路的输出与输入之比；时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。 下面以下面以R-C电路为例，说明频率特性的电路为例，说明频率特性的物理意义。图所示电路的传递函数为物理意义。图所示电路的传递函数为 R图5-3 R-C电路CiuouR

5、CssGsUsUio11)()()(设输入电压)sin()(tAtui由复阻抗的概念求得TjRCjjGjUjUio1111)()()()()()(jejGjG式中RCT 2211)(TjGarctgT)( 电路的输出与输入的幅值之比电路的输出与输入的幅值之比 (a) 幅频特性幅频特性 (b)相频特性相频特性 输出与输入的相位之差输出与输入的相位之差 RCssGsUsUio11)()()(TjRCjjGjUjUio1111)()()(频率特性与传递函数具有十分相的形式频率特性与传递函数具有十分相的形式 比较比较jssGjG)()(频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp 5.1.2 频率

6、特性的表示法 (1)1)极坐标图极坐标图 (Polar plot)(2)对数坐标图对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot)(3)对数幅相图对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)1. 极坐标图极坐标图(乃奎斯特图乃奎斯特图或乃氏图或或乃氏图或Nyquist图图)-幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线 系统频率特性可表示为系统频率特性可表示为 用一向量表示某一频率用一向量表示某一频率 下的下的 向量向量的长度的长度 ，向量极坐标角为，向量极坐标角为 ， 的正方向取为逆时针方向，选极坐标与直角的正方向取为逆时针方向，选极坐标

7、与直角坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。 ()() |( )|jG jGe i)(ijG|()|iG)(i)(极坐标图极坐标图 频率特性频率特性G(j)是输入频率是输入频率的复变函数，的复变函数，是一种变换，当频率是一种变换，当频率由由00时，时，G G( (jj) )变化变化的曲线，即向量端点轨迹就称为极坐标图。的曲线，即向量端点轨迹就称为极坐标图。 极坐标图在极坐标图在 时，在实轴上的投影时，在实轴上的投影为为实频特性实频特性 ，在虚轴上的投影为，在虚轴上的投影为虚频特虚频特性性 。i)(ip)(i)(i)(ip2. 对数坐标图对数坐标图(Bode图图)

8、Bode Bode图由图由对数幅频特性对数幅频特性和和对数相频特对数相频特性两性两张图组成。张图组成。 对 数 幅 频 特 性对 数 幅 频 特 性 是 频 率 特 性 的 对 数 值是 频 率 特 性 的 对 数 值 L()=20=20lg|G() |（dB）与频率与频率的关系曲线；的关系曲线； 对数相频特性对数相频特性是频率特性的相角是频率特性的相角 ( (度度) )与与频率频率的关系曲线。的关系曲线。 )(Bode图坐标系图坐标系 对数幅频特性的纵对数幅频特性的纵轴为轴为L()=2020lg|G()|采 用采 用 线 性 分 度线 性 分 度 ， |G()|每增加每增加1010倍，倍，L

9、()增加增加20dB20dB；横坐；横坐标采用标采用对数分度对数分度lg，即横轴上的即横轴上的取对数取对数后为等分点。后为等分点。 对数相频特性横轴对数相频特性横轴采用采用对数分度对数分度，纵轴，纵轴为为线性分度线性分度，单位为，单位为度。度。 0 00 0)()()()(21jGjGjGjGn )()(2)(1)()()(21njnjjeAeAeA )(.)()(2121)()()(njneAAA n个环节串联个环节串联 )()()(lg20)(lg20)(21nAAAjGL )(lg20)(lg20)(lg2021nAAA )()()(21nLLL )()()()()()(21njG 对数

10、相频特性对数相频特性 为为 对数幅频特性对数幅频特性L()为为对数幅相坐标系对数幅相坐标系3. 对数幅相图对数幅相图 对数幅相图是将对数幅相图是将对数幅频特性对数幅频特性和和相频特相频特性性两张图，在角频率为参变量的情况下合两张图，在角频率为参变量的情况下合成一张图，如图所示。成一张图，如图所示。 控制系统由若干典型环节组成，常见的控制系统由若干典型环节组成，常见的典型环节有典型环节有比例环节比例环节 K，积分环节积分环节 , ,惯性环惯性环节节 ，比例微分环节比例微分环节 1+1+Ts，微分环节微分环节s，振荡环节振荡环节 ，滞后环节滞后环节 等。等。 下面分别讨论典型环节的频率特性。下面分

11、别讨论典型环节的频率特性。1/ s1/(1)Ts12122TssTse 5.2 典型环节的频率特性L()=20lgA()1. 比例环节比例环节比例环节的传递函数：比例环节的传递函数： G(s)=K频率特性：频率特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性： KjG)(KA)(0)(KALlg20)(lg20)(比例环节幅相曲线比例环节幅相曲线 KA)(0)(KALlg20)(lg20)( 对数幅频特性为一水平线，对数幅频特性为一水平线，相频特性与横坐标重合。相频特性与横坐标重合。比例环节的极坐标图为一点。比例环节的极坐标图为一点。2. 积分环节积分环节积分环节的传

12、递函数：频率特性：频率特性： 幅频特性：幅频特性： 相频特性：相频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性：ssG1)(211)(jejjG1)(A2)(lg20)(lg20)(AL积分环节的极坐标图积分环节的极坐标图积分环节的积分环节的Bode图图lg20)(lg20)(AL1)(A2)(3. 微分环节微分环节纯微分环节的传递函数： G(s)=s 频率特性：频率特性： 幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性：2 )(jejjG)(A2)(lg20)(lg20)(AL纯微分环节的极坐标图纯微分环节的极坐标图纯微分环节的纯微分环节的Bode图图 lg20)(lg20)(A

13、L)(A2)(4. 惯性环节惯性环节惯性环节的传递函数：惯性环节的传递函数： 频率特性：频率特性： 幅频特性：幅频特性： 11)(TssGTjarctgeTTjjG2)(1111)(2222111TTjT2211)(TA相频特性：相频特性： 实频特性：实频特性： 虚频特性：虚频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：Tarctg)(2211)(Tp221)(TT221lg20)(lg20)(TALTarctg)(惯性环节极坐标图惯性环节极坐标图（1）当）当 时，对数幅频特性可近时，对数幅频特性可近似为似为 （2）当）当 时，对数幅频特性可近时，对数幅频特性可近似为似为惯

14、性环节的Bode图22( )20lg 10LTdB TTLlg201lg20)(22T1T1221lg20)(lg20)(TAL 惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交点处频率段直线。两直线相交，交点处频率 ，称，称为为转折频率转折频率。 两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为近线，故又称为对数幅频特性渐近线对数幅频特性渐近线。 用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折频率处，即误差发生在转折频率处，即 处。处。 T1T1误差为误差为 dB TLLL1)()

15、()(渐03. 3 在高于转折频率一个倍频处，即在高于转折频率一个倍频处，即 的的误差为误差为 dBT2)()()(渐LLL97. 0lg201lg2022TT 误差曲线如图5-11所示。图5-11 惯性环节的误差曲线2)()(211nnjj22222)2()1 (log20)()(211log20)(nnnnjjL在低频时，即当在低频时，即当nndBnnlog40log2022低频渐近线为一条低频渐近线为一条0分贝的水平线分贝的水平线-20log1=0dB在高频时，即当在高频时，即当高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-40分贝分贝/十倍频程的直线十倍频程

16、的直线由于在由于在n时时dBn01log40log40所以高频渐近线与低频渐近线在所以高频渐近线与低频渐近线在n处相交。这个频率称为处相交。这个频率称为交接频率交接频率。5. 二阶振荡环节二阶振荡环节对于欠阻尼对于欠阻尼n时时21)(jjGn相角相角90)(jG的轨迹与虚轴交点的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无处的频率，就是无阻尼自然频率阻尼自然频率n极坐标图上，距原极坐标图上，距原点最远的频率点，点最远的频率点，相应于谐振频率相应于谐振频率r这时这时)(jG可以用谐振频率可以用谐振频率r处的向量幅值，与处的向量幅值，与0处向量幅值之比来确定。处向量幅值之比来确定。当当Nyquist Diagr

17、amReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0的峰值的峰值过阻尼情况增加到远大于1时，)(jG的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。 当Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 04 .40-30-20-1001020dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 .

18、1图5-13 二阶因子的对数幅频特性曲线 幅频特性与 关系10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1图5-13 二阶因子的对数相频特性曲线 相频特性与 关系10-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1图5-14 二阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差幅值误差与 关系 22221()(1)(2)nnAG j2222232222222214( )014nnnnndAd 21200.707221rrMA谐振频率谐振频率谐振频率