工学第八章 不可压缩流体的无粘流动课件

第八章不可压缩流体的无粘流动§8.1速度环量§8.2流函数与速度势§8.3基本平面势流§8.4基本平面势流的叠加§8.5平行流饶圆柱体的流动[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件1§8.1速度环量、速度环量求微元线段

与速度

在方向上的分量的乘积沿AB曲线的积分：

§8.1速度环量2

若A与B重合,便成了封闭周线。速度在封闭周线切线上的分量沿该封闭周线K的线积分称为速度环量Γ：

速度环量的正向规定为：沿封闭周线前进时，周线所包围的面积在速度方向的左侧。因此，逆时针方向的速度环量为正。若A与B重合,便成了封闭周线。速度在封闭周线3二、斯托克斯定理（StokesLaw）

封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的漩涡强度之和。这就是斯托克斯定理。表示为：

或：二、斯托克斯定理（StokesLaw）41.微元封闭周线的斯托克斯定理

在oxy平面上取一微元矩形封闭周线，面积dA=dxdy，流体在A、B、C、D四点的速度如图。

1.微元封闭周线的斯托克斯定理5沿封闭周线ABCDA的速度环量为：

沿微元封闭周线的速度环量等于该周线所包围面积内的漩涡强度。沿封闭周线ABCDA的速度环量为：6

2．单连通域与多连通域

要保证流场中的u、v、w、p等都是x、y、z、t的单值连续函数，对流场区域要有限制条件：区域内任一条封闭周线连续地收缩成一点而不越出流体的边界。这种区域称为单连通区域，否则称多连通区域。

将外周线K1、内周线K2用AB、A’B’连接，将原区域用封闭周线ABK2B’A’K1A所包围,则该区域即为单连通区域。2．单连通域与多连通域73.有限单连通区域的斯托克斯定理

对任一微元矩形可求得速度环量dΓi=dIi，总速度环量：

另一方面,总速度环量中沿各微元矩形内周线的相邻切向速度线积分方向相反，刚好抵消，仅剩下沿外封闭周线K的切向速度线积分，即：

∴总速度环量：

沿有限单连通域K封闭周线的速度环量等于通过该区域漩涡强度的总和—有限单连通区域斯托克斯定理。3.有限单连通区域的斯托克斯定理84.多连通区域的斯托克定理

对右图中由多连通区域改成的单连通区域，速度环量可写成：

∵

4.多连通区域的斯托克定理9

由Stokes定理，假如外周线内有多个内周线，则多连通区域的Stokes定理成为：

Stokes定理说明：

速度环量取决于所包围区域内的漩涡。没有旋涡，就没有环量。反之，环量等于零，总漩涡强度等于零；环量不等于零，必然存在漩涡。由Stokes定理，假如外周线内有多个内周线，则多连10

例1：试证明平行流的速度环量等于零。流体以等速度u0沿水平方向流动，求沿矩形封闭周线的速度环量：同样可证明，沿其它周线的速度环量也等于零。

11例2：求有间断面的平行流中的速度环量。

包有间断面的两股平行流中矩形封闭周线的速度环量：∵有间断面的平行流中速度环量不等于零。

实际流体中由于粘滞力的作用，使分界面上下形成速度梯度，即所以有漩涡存在。例2：求有间断面的平行流中的速度环量。12三.汤姆生定理（Thomson’sLaw）

汤姆生定理：正压性的理想流体在有势的质量力的作用下，沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化。1.证明：沿封闭周线的速度环量：速度环量随时间的变化率：三.汤姆生定理（Thomson’sLaw）13从矢量四边形ABB′A′可以得到：在三个坐标轴上的分量为：代入（a）式右边第一部分得：从矢量四边形ABB′A′可以得到：14理想流体欧拉运动微分方程：代入（a）式右边第二项得：∴(a)式成为理想流体欧拉运动微分方程：152.讨论

理想流体中的速度环量和漩涡都不能自行产生、自行消灭。流场中原来有涡的则永远有涡；原来没有涡的就永远没有。[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件16四、海姆霍兹定理（Helmholez’sLaw）

海姆霍兹的三个漩涡定理是研究理想流体有旋流动的基本定理，它说明了漩涡的基本性质（通过环量证明Stokes定理）。1．海姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上的漩涡强度都相同。证明：四、海姆霍兹定理（Helmholez’sLaw）17

即沿包围涡管任一封闭周线的速度环量都相等。也就是在涡管各截面上的漩涡强度都相等。即可见，涡管在流体中既不能开始，也不能终止，只能是

自成封闭的管圈，或在边界

上开始、终止，如图。[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件182.海姆霍兹第二定理:(涡管守恒定理）

正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。证明：在涡管表面上取封闭周线K沿周线K的速度环量等于零速度环量不随时间变化，沿周线K的速度环量永远是零。∴涡管永远保持为由相同质点组成的涡管。2.海姆霍兹第二定理:(涡管守恒定理）193．海姆霍兹第三定理：

在有势质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的漩涡强度不随时间变化，保持定值。证明：

根据汤姆生定理，沿封闭周线的速度环量不随时间变化，环量等于涡管的漩涡强度，故涡管的漩涡强度也不随时间变化。3．海姆霍兹第三定理：20§8.2,速度势与流函数一.有势流动无旋流动满足：令：得：则

§8.2,速度势与流函数21同理，可得按矢量分析：∴无旋流动必可表示成某一函数的梯度，函数称为速度的势函数。无旋流动也称有势流动。二、速度势的特点１.有势流动中沿ＡＢ曲线的切向速度线积分等于终点Ｂ和起点Ａ的速度势之差，与曲线形状无关。同理，可得22证：

２.在有势流动中，沿任一封闭周线Ｋ的速度环量等于零。证：

证：23３．不可压缩流体的有势流动，速度势满足拉普拉斯方程。证：不可压流体的连续方程：将代入得

满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，速度势函数是一个调和函数。求解不可压缩流体有势流动，归结为根据起始条件和边界条件求解Laplace方程得到速度势进而求得速度场，再根据伯努里方程求得压力分布。３．不可压缩流体的有势流动，速度势满足拉普拉斯方程。24三、流函数1．流函数的导出不可压缩流体的连续性方程：平面流动的流线微分方程：

全微分∴三、流函数25

函数ψ永远满足连续性方程。

在流线上，dψ=

-vdx+udy=0，即ψ=

常数。函数ψ(x,y)称流函数。

26

2．流函数的物理意义

流函数的物理意义：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。证明：通过AB上流函数为ψ1的流线和流函数为ψ2的流线间的体积流量为：2．流函数的物理意义273．讨论（1）只要是不可压缩流体的平面运动，就存在流函数，而不论其是理想流体还是粘性流体，是无旋流动还是有旋流动。（2）不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。证明：无旋ωz=0,∵

3．讨论28（3）等势线簇和流线簇构成流网。∵∴即∴满足上式的等势线簇和流线簇互相正交，构成正交网络，简称流网(如图)。（3）等势线簇和流线簇构成流网。29§8.3基本平面势流一、平行流设流体作等速直线流动。∵积分得速度势：(a)又∵

§8.3基本平面势流30

积分得流函数(b)

显然（a）、(b)两式满足Laplace方程，而且等势线

与流线

互相垂直。

31二、点源与点汇1.点源与点汇定义

在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，这种流动称为点源，这个点称为源点,如图(a)；若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点，如图(b)。二、点源与点汇32

从源点流出和向汇点流入都只有径向速度。将极坐标的原点作为源点（或汇点），则：

即

2．势函数每秒通过半径为的单位长度圆柱面的流量为：

得点源，点汇从源点流出和向汇点流入都只有径向速度。将极坐标的原点33

积分得：源点（汇点）为奇点。3．流函数积分：等势线是一系列半径不同的同心圆，与流线正交。

同样可证明φ和ψ都满足Laplace方程，点源和点汇都是无旋流动。积分得344．压力分布

平面oxy是无限水平面，根据伯努里方程：

将表达式代入上式，得：可见:图中表示时,点汇沿半径r的压力分布。4．压力分布35三、涡流和点涡1．涡束与涡流

涡束象刚体一样以等角速度绕自身（Z轴）旋转，由涡束诱导出的平面流，称为涡流，是以坐标原点为圆心的同心圆。

按Stokes定理，沿圆周流线的速度环量等于涡束的漩涡强度（I），即:

可见：

三、涡流和点涡36在涡束内2．势流旋转区的压力分布伯努里方程：∴在涡束边缘由此解得涡核半径在涡束内373．涡核区的压力分布

平面定常流动的Eular运动方程：

3．涡核区的压力分布38

涡内速度代入,再分别乘相加:

即

积分得：[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件394．压力分布图涡核中心压力：涡核边缘压力：[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件40

故可见，涡核内、外压降相等，都等于以涡核边缘的速度计算的动压头。故415．点涡

成为一条涡线，这样的涡流称为点涡。

涡点是一奇点。(1)速度势

积分得速度势5．点涡42（2）流函数∵积分得流函数环流逆时针,环流顺时针.（2）流函数43§8.4基本平面势流的简单迭加一、无旋流动的特性

无旋流动重要特性：几个无旋流动迭加后仍然是无旋流动。证：设则同样：

§8.4基本平面势流的简单迭加44求对x的偏导数速度在x方向的分量：同样，求对y的偏导数：即可见，无旋流动的速度势及流函数的代数和等于新的无旋流动的速度势和流函数，它的速度是这些无旋流动速度的矢量和。求对x的偏导数45二、点汇和点涡——螺旋流在旋风燃烧室、离心式喷油嘴和离心式除尘器等设备中，流体自外沿圆周切向进入，又从中央不断流出。这样的流动可认为是点汇和点涡的迭加。设环流方向为逆时针方向，迭加后新的组合流动速度势为：流函数为：二、点汇和点涡——螺旋流46令=常数，得等势线=常数，得流线两组相互正交的对数螺旋线簇(如图)称螺旋流。切向速度：径向速度：代入伯努里方程，得流场中的压力分布令=常数，得等势线47水泵、风机等外壳中的流动是点源和点涡迭加的例子，如图。三、点源和点汇——偶极流1.点源与点汇将位于A(-a,0)的点源和位于B(a,0)的点汇迭加,迭加后速度势为:

水泵、风机等外壳中的流动是点48如图若

流函数式中为动点P与源点A和汇点B的连接线之间的夹角。由流线方程得,流线是经过源点A和汇点B的圆线簇。如图492．偶极流点源和点汇无限接近，即，就是偶极流。使(有限常量)，M为偶极矩。偶极流的速度势：2．偶极流50如图,

[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件51[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件52即流线是半径为和圆心为且与x轴在原点相切的圆周簇，如图中实线。等势线是半径为和圆心为且与y轴在原点相切的圆周簇，如图中虚线。即流线是半径为53§8.5平行流绕圆柱体的流动一.平行流绕圆柱体无环量的流动1.平行流和偶极流迭加而成的组合平面流动流函数

流线方程

零流线方程：即

§8.5平行流绕圆柱体的流动54

零流线是一个以坐标原点为圆心、半径的圆周和x轴所构成的图形。这流线到A处分

成两股，沿上、

下两个半圆周流

到B点，又重新

汇合，如图。零流线是一个以坐标原点为圆心、半径55

2、平行流绕圆柱体无环流的平面流动

一个平行流绕半径为

的圆柱体的平面流动，可以用这个平行流与偶极矩的偶极流迭加面成的组合流动代替。

流函数

速度势2、平行流绕圆柱体无环流的平面流动563、绕流的速度分布任一点的速度分量

沿包围圆柱体圆形周线的速度环量：

∴平行流绕圆柱体的平面流动没有速度环量。3、绕流的速度分布57在圆柱面上速度按正弦曲线分布，如图。在0°和180°(A点)处，,称为驻点。在90°，270°处，达到最大值[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件584、绕流的压力分布圆柱面上任一点的压力，由伯努里方程：

4、绕流的压力分布59工程上常用无因次的压力系数表示作用在物体任一点的压力，定义为：

绕流圆柱体：

由上式计算的理论无因次

压力系数曲线如图中实线

所示。此时

角是从前

驻点Ａ沿顺时针方向增加。工程上常用无因次的压力系数表示作用在物体任一点的压力60前驻点Ａ(0°)：(90°):后驻点Ｂ（180°）：与Ａ点相同。可见，圆柱体所受流体压力上下左右都对称。因此，作用在圆柱面上的压力在各个方向都互相平衡，合力等于零。前驻点Ａ(0°)：615、达朗伯疑题理想流体绕流圆柱体，作用在圆柱面上的合力为零(用分析法可证明)。如图，单位柱长圆柱体，作用在微元弧段的微小总压力，则沿x向、y向的分量为：

5、达朗伯疑题62流体作用在圆柱体上总压力沿x向、y向的分量：

作用在圆柱体上压力的合力为零。圆柱体受到与来流方向平行和垂直的力，又称为流体作用在圆柱体上的阻力和升力。所以，当理想流体的平行流无环流地绕流圆柱体时，圆柱体不受阻力和升力的作用。这个结果与实验有很大的矛盾，这就是著名的达朗伯疑题，其原因在于实际流体是有粘性的，理想流体不考虑粘性。本分析法不适用于流体粘性起作用的流动阻力分析场合。流体作用在圆柱体上总压力沿x向、y向的分量：63二、平行流绕圆柱体有环流的平面流动1、流动特点平行流绕圆柱体有环流的平面流动，实际上就是平行流绕圆柱体无环流的平面流动和纯环流的迭加。二、平行流绕圆柱体有环流的平面流动64假定速度环量顺时针方向，则组合流动的流函数：速度势：

∴满足用r=r0

的圆柱体的周线代替这条流线的边界条件。假定速度环量顺时针方向，652、驻点位置驻点Ａ和Ｂ离开x轴，向下移动,在圆柱面上的速度分量：

对驻点，vθ=0，得驻点的位置：

2、驻点位置66两驻点在圆柱面上,左右对称位于第三、第四象限内。Γ增加，两驻点向下移动，互相靠拢。如图（a）Γ=4πr0V∞,sinθ=-1，两驻点重合成一点，位于圆柱面最下端，如图（b）Γ>4πr0V∞,|sinθ|>1驻点脱离圆柱面。如图（c）[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件67

全流场由经过驻点Ａ的闭合流线分为内、外两个区域。外部：平行流绕圆柱体有环流的流动。内部：自成闭合的非圆形环流。可见驻点位置由决定。全流场由经过驻点Ａ的闭合683、库塔——儒可夫斯基公式（Kutta-Joukowski’sequation）圆柱面上的压力分布

3、库塔——儒可夫斯基公式（Kutta-Joukowski’69流体作用的单位长度圆柱上的阻力：[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件70库塔——儒可夫斯基公式，简称升力公式。表明：在理想流体平行流绕流圆柱体有环流的流动中，在垂直于来流方向上，流体作用于单位长度圆柱体上的升力等于流体密度、来流速度和速度环量三者的乘积。矢量形式：可见升力的方向由来流速度矢量沿反速度环流的方向旋转

90°确定。如图。[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件71第八章不可压缩流体的无粘流动§8.1速度环量§8.2流函数与速度势§8.3基本平面势流§8.4基本平面势流的叠加§8.5平行流饶圆柱体的流动[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件72§8.1速度环量、速度环量求微元线段

与速度

在方向上的分量的乘积沿AB曲线的积分：

§8.1速度环量73

若A与B重合,便成了封闭周线。速度在封闭周线切线上的分量沿该封闭周线K的线积分称为速度环量Γ：

速度环量的正向规定为：沿封闭周线前进时，周线所包围的面积在速度方向的左侧。因此，逆时针方向的速度环量为正。若A与B重合,便成了封闭周线。速度在封闭周线74二、斯托克斯定理（StokesLaw）

封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的漩涡强度之和。这就是斯托克斯定理。表示为：

或：二、斯托克斯定理（StokesLaw）751.微元封闭周线的斯托克斯定理

在oxy平面上取一微元矩形封闭周线，面积dA=dxdy，流体在A、B、C、D四点的速度如图。

1.微元封闭周线的斯托克斯定理76沿封闭周线ABCDA的速度环量为：

沿微元封闭周线的速度环量等于该周线所包围面积内的漩涡强度。沿封闭周线ABCDA的速度环量为：77

2．单连通域与多连通域

要保证流场中的u、v、w、p等都是x、y、z、t的单值连续函数，对流场区域要有限制条件：区域内任一条封闭周线连续地收缩成一点而不越出流体的边界。这种区域称为单连通区域，否则称多连通区域。

将外周线K1、内周线K2用AB、A’B’连接，将原区域用封闭周线ABK2B’A’K1A所包围,则该区域即为单连通区域。2．单连通域与多连通域783.有限单连通区域的斯托克斯定理

对任一微元矩形可求得速度环量dΓi=dIi，总速度环量：

另一方面,总速度环量中沿各微元矩形内周线的相邻切向速度线积分方向相反，刚好抵消，仅剩下沿外封闭周线K的切向速度线积分，即：

∴总速度环量：

沿有限单连通域K封闭周线的速度环量等于通过该区域漩涡强度的总和—有限单连通区域斯托克斯定理。3.有限单连通区域的斯托克斯定理794.多连通区域的斯托克定理

对右图中由多连通区域改成的单连通区域，速度环量可写成：

∵

4.多连通区域的斯托克定理80

由Stokes定理，假如外周线内有多个内周线，则多连通区域的Stokes定理成为：

Stokes定理说明：

速度环量取决于所包围区域内的漩涡。没有旋涡，就没有环量。反之，环量等于零，总漩涡强度等于零；环量不等于零，必然存在漩涡。由Stokes定理，假如外周线内有多个内周线，则多连81

例1：试证明平行流的速度环量等于零。流体以等速度u0沿水平方向流动，求沿矩形封闭周线的速度环量：同样可证明，沿其它周线的速度环量也等于零。

82例2：求有间断面的平行流中的速度环量。

包有间断面的两股平行流中矩形封闭周线的速度环量：∵有间断面的平行流中速度环量不等于零。

实际流体中由于粘滞力的作用，使分界面上下形成速度梯度，即所以有漩涡存在。例2：求有间断面的平行流中的速度环量。83三.汤姆生定理（Thomson’sLaw）

汤姆生定理：正压性的理想流体在有势的质量力的作用下，沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化。1.证明：沿封闭周线的速度环量：速度环量随时间的变化率：三.汤姆生定理（Thomson’sLaw）84从矢量四边形ABB′A′可以得到：在三个坐标轴上的分量为：代入（a）式右边第一部分得：从矢量四边形ABB′A′可以得到：85理想流体欧拉运动微分方程：代入（a）式右边第二项得：∴(a)式成为理想流体欧拉运动微分方程：862.讨论

理想流体中的速度环量和漩涡都不能自行产生、自行消灭。流场中原来有涡的则永远有涡；原来没有涡的就永远没有。[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件87四、海姆霍兹定理（Helmholez’sLaw）

海姆霍兹的三个漩涡定理是研究理想流体有旋流动的基本定理，它说明了漩涡的基本性质（通过环量证明Stokes定理）。1．海姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上的漩涡强度都相同。证明：四、海姆霍兹定理（Helmholez’sLaw）88

即沿包围涡管任一封闭周线的速度环量都相等。也就是在涡管各截面上的漩涡强度都相等。即可见，涡管在流体中既不能开始，也不能终止，只能是

自成封闭的管圈，或在边界

上开始、终止，如图。[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件892.海姆霍兹第二定理:(涡管守恒定理）

正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。证明：在涡管表面上取封闭周线K沿周线K的速度环量等于零速度环量不随时间变化，沿周线K的速度环量永远是零。∴涡管永远保持为由相同质点组成的涡管。2.海姆霍兹第二定理:(涡管守恒定理）903．海姆霍兹第三定理：

在有势质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的漩涡强度不随时间变化，保持定值。证明：

根据汤姆生定理，沿封闭周线的速度环量不随时间变化，环量等于涡管的漩涡强度，故涡管的漩涡强度也不随时间变化。3．海姆霍兹第三定理：91§8.2,速度势与流函数一.有势流动无旋流动满足：令：得：则

§8.2,速度势与流函数92同理，可得按矢量分析：∴无旋流动必可表示成某一函数的梯度，函数称为速度的势函数。无旋流动也称有势流动。二、速度势的特点１.有势流动中沿ＡＢ曲线的切向速度线积分等于终点Ｂ和起点Ａ的速度势之差，与曲线形状无关。同理，可得93证：

２.在有势流动中，沿任一封闭周线Ｋ的速度环量等于零。证：

证：94３．不可压缩流体的有势流动，速度势满足拉普拉斯方程。证：不可压流体的连续方程：将代入得

满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，速度势函数是一个调和函数。求解不可压缩流体有势流动，归结为根据起始条件和边界条件求解Laplace方程得到速度势进而求得速度场，再根据伯努里方程求得压力分布。３．不可压缩流体的有势流动，速度势满足拉普拉斯方程。95三、流函数1．流函数的导出不可压缩流体的连续性方程：平面流动的流线微分方程：

全微分∴三、流函数96

函数ψ永远满足连续性方程。

在流线上，dψ=

-vdx+udy=0，即ψ=

常数。函数ψ(x,y)称流函数。

97

2．流函数的物理意义

流函数的物理意义：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。证明：通过AB上流函数为ψ1的流线和流函数为ψ2的流线间的体积流量为：2．流函数的物理意义983．讨论（1）只要是不可压缩流体的平面运动，就存在流函数，而不论其是理想流体还是粘性流体，是无旋流动还是有旋流动。（2）不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。证明：无旋ωz=0,∵

3．讨论99（3）等势线簇和流线簇构成流网。∵∴即∴满足上式的等势线簇和流线簇互相正交，构成正交网络，简称流网(如图)。（3）等势线簇和流线簇构成流网。100§8.3基本平面势流一、平行流设流体作等速直线流动。∵积分得速度势：(a)又∵

§8.3基本平面势流101

积分得流函数(b)

显然（a）、(b)两式满足Laplace方程，而且等势线

与流线

互相垂直。

102二、点源与点汇1.点源与点汇定义

在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，这种流动称为点源，这个点称为源点,如图(a)；若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点，如图(b)。二、点源与点汇103

从源点流出和向汇点流入都只有径向速度。将极坐标的原点作为源点（或汇点），则：

即

2．势函数每秒通过半径为的单位长度圆柱面的流量为：

得点源，点汇从源点流出和向汇点流入都只有径向速度。将极坐标的原点104

积分得：源点（汇点）为奇点。3．流函数积分：等势线是一系列半径不同的同心圆，与流线正交。

同样可证明φ和ψ都满足Laplace方程，点源和点汇都是无旋流动。积分得1054．压力分布

平面oxy是无限水平面，根据伯努里方程：

将表达式代入上式，得：可见:图中表示时,点汇沿半径r的压力分布。4．压力分布106三、涡流和点涡1．涡束与涡流

涡束象刚体一样以等角速度绕自身（Z轴）旋转，由涡束诱导出的平面流，称为涡流，是以坐标原点为圆心的同心圆。

按Stokes定理，沿圆周流线的速度环量等于涡束的漩涡强度（I），即:

可见：

三、涡流和点涡107在涡束内2．势流旋转区的压力分布伯努里方程：∴在涡束边缘由此解得涡核半径在涡束内1083．涡核区的压力分布

平面定常流动的Eular运动方程：

3．涡核区的压力分布109

涡内速度代入,再分别乘相加:

即

积分得：[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件1104．压力分布图涡核中心压力：涡核边缘压力：[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件111

故可见，涡核内、外压降相等，都等于以涡核边缘的速度计算的动压头。故1125．点涡

成为一条涡线，这样的涡流称为点涡。

涡点是一奇点。(1)速度势

积分得速度势5．点涡113（2）流函数∵积分得流函数环流逆时针,环流顺时针.（2）流函数114§8.4基本平面势流的简单迭加一、无旋流动的特性

无旋流动重要特性：几个无旋流动迭加后仍然是无旋流动。证：设则同样：

§8.4基本平面势流的简单迭加115求对x的偏导数速度在x方向的分量：同样，求对y的偏导数：即可见，无旋流动的速度势及流函数的代数和等于新的无旋流动的速度势和流函数，它的速度是这些无旋流动速度的矢量和。求对x的偏导数116二、点汇和点涡——螺旋流在旋风燃烧室、离心式喷油嘴和离心式除尘器等设备中，流体自外沿圆周切向进入，又从中央不断流出。这样的流动可认为是点汇和点涡的迭加。设环流方向为逆时针方向，迭加后新的组合流动速度势为：流函数为：二、点汇和点涡——螺旋流117令=常数，得等势线=常数，得流线两组相互正交的对数螺旋线簇(如图)称螺旋流。切向速度：径向速度：代入伯努里方程，得流场中的压力分布令=常数，得等势线118水泵、风机等外壳中的流动是点源和点涡迭加的例子，如图。三、点源和点汇——偶极流1.点源与点汇将位于A(-a,0)的点源和位于B(a,0)的点汇迭加,迭加后速度势为:

水泵、风机等外壳中的流动是点119如图若

流函数式中为动点P与源点A和汇点B的连接线之间的夹角。由流线方程得,流线是经过源点A和汇点B的圆线簇。如图1202．偶极流点源和点汇无限接近，即，就是偶极流。使(有限常量)，M为偶极矩。偶极流的速度势：2．偶极流121如图,

[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件122[工学]第八章不可压缩流体的无粘流动课件123即流线是半径为和圆心为且与x轴在原点相切的圆周簇，如图中实线。等势线是半径为和圆心为且与y轴在原点相切的圆周簇，如图中虚线。即流线是半径为124§8.5平行流绕圆柱体的流动一.平行流绕圆柱体无环量的流动1.平行流和偶极流迭加而成的组合平面流动流函数

流线方程

零流线方程：即

§8.5平行流绕圆柱体的流动125

零流线是一个以坐标原点为圆心、半径的圆周和x轴所构成的图形。这流线到A处分

成两股，沿上、

下两个半圆周流

到B点，又重新

汇合，如图。零流线是一个以坐标原点为圆心、半径126

2、平行流绕圆柱体无环流的平面流动

一个平行流绕半径为

的圆柱体的平面流动，可以用这个平行流与偶极矩的偶极流迭加面成的组合流动代替。

流函数

速度势2、平行流绕圆柱体无环流的平面流动1273、绕流的速度分布任一点的速度分量

沿包围圆柱体圆形周线的速度环量：

∴平行流绕圆柱体的平面流动没有速度环量。3、绕流的速度分布12