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文档简介

一、四心的概念介绍（1重心——中线的交点：重心将中线长度分成2；（2垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3心——角平分线的交内圆的圆线的任意点到角两边的距离相等；（4外心——中垂线的交点（外接圆的圆心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合1）

OAOBOC0O

是

的重心证法1：设

Ox),A(x,y),(x,y(xy)11223OAOB是的心证法2：如图OAOBOC

)x)x)23())y)23

33y3AOD0

O

EA、、D

三点共线，且

分

AD

为2：OABC的重心(2)若是ABC的重心则故SBOCOAOB;1PO(PAPC)OABC的重心3

BDCSAOCAOB

2.

OBOC为的心证明：如图所示是角形ABC的心BE垂直ACAD垂，D、E是足OAOBOA)

A,同OA，OC

EO为的心

O3.设

,

,

是三角形的三条边长O是

ABC的内心

BC(1)

cOC0O为ABC的心证明：

ACAB分为AC方上的单位向量，cc

平分,

(

ACb

)，

bcAC（)a化简得

(a

,

bOBcOC0内心的充要条件是/

ABCABC

)OB

|

BC

)

CB

)4.

为ABC的心。典型例题：例：是面上一点，

A、B、C

是平面上不共线的三个点，动点

满足OPABAC，

，则点

的轨迹一定通过

的（）A外心B内心．重心

D．心分析：如图所示中点

，

分别为边

AC

的

ABOA

OA

DC

AP//AD点P的迹一定通过ABC的心，即选C例全理4O

是平面上一定点，

A、C

是平面上不共线的三个点点

满足

OA

ACAC

)

点

的轨迹一定通过B）A外心

B内心

．重心

D．心分析：

AC、

分别为

AC

方向上的单位向量，

平分

,AC点P的轨迹一定通过ABC的心，即选.例3：

是平面上一定点，

A、B、

是平面上不共线的三个点，动点

满足OA

(

AC

)

，

0,则P的迹一定通过（cBA外心

ACcB内心

C．重心

D．心分析如所示垂直BCBE直ACDE是足

(

cos

ACACcos

)

=

ACAC

C/

22222222ABBCcos

BCcos=

ABB

cosC

=

+

=0

点

的轨迹一定通过

ABC

的垂心，即选

D

练习：．已知

ABC

三个顶点

A、B、C

及平面内一点

P

，满足

PB

，若实数

满足：

AC

，则

的值为（）A2B．

32

．3D6若ABC的接圆的圆心为半径为1OAOC则

()A

11B．0．1．22．

在

内部且满足

OC

，则

面积与凹四边形ABOC

面积之比是（）A0B．

354C．．23．

的外接圆的圆心为O，若

OA

，则

H

是

的（）A外心

B内心

C．重心

D．心．

是平面上一定点，

A、B、C

是平面上不共线的三个点，若

OAOC，是ABC的）A外心

B内心

．重心

D．心外接圆的圆心为O边的高的交点为HOHOAOBOC)则实数=

，→→→→→→AC→AC陕）已知非零向A与AC足(+)且·=则→→→→|AB||AC|△ABC为()A三边均不相等的三角形C．腰非等边三角形

B直角三角形D．边角形

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