专题限时集训22　不等式选讲

3/3专题限时集训(二十二)不等式选讲1．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解](1)当a＝－3时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋5，x≤2，,1，2<x<3，,2x－5，x≥3.))当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔(4－x)－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3,0]．2．已知函数f(x)＝|ax＋1|＋|x－1|.(1)若a＝2，解关于x的不等式f(x)<9；(2)若当x>0时，f(x)>1恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝2时，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x＋1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))x－1))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x>1，,x＋2，－\f(1,2)≤x≤1，,－3x，x<－\f(1,2)，))当x＞1时，由f(x)＜9得3x＜9，解得1＜x＜3；当－eq\f(1,2)≤x≤1时，由f(x)＜9，得x＋2＜9，解得－eq\f(1,2)≤x≤1；当x＜－eq\f(1,2)时，用f(x)＜9得f(x)＜9得－3x＜9，解得－3＜x＜－eq\f(1,2)；由此可知，f(x)<9的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3<x<3)).(2)当a>0时，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))x－1))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((\a\vs4\al\co1(a＋1))x，x>1，,(\a\vs4\al\co1(a－1))x＋2，－\f(1,a)≤x≤1，,－(\a\vs4\al\co1(a＋1))x，x<－\f(1,a).))f(x)的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))和feq(\a\vs4\al\co1(1))中的最小值，其中feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝1＋eq\f(1,a)>1，f(1)＝a＋1>1.所以f(x)>1恒成立．当a＝0时，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))＋1≥1，且f(1)＝1，f(x)>1不恒成立，不符合题意．当a<0时，feq(\a\vs4\al\co1(1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋a))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，若－2≤a<0，则feq(\a\vs4\al\co1(1))≤1，故f(x)>1不恒成立，不符合题意；若a<－2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))<1，故f(x)>1不恒成立，不符合题意．综上，a∈eq(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)).3．已知a，b，c∈R＋，∀x∈R，不等式|x－1|－|x－2|≤a＋b＋c恒成立．(1)求证：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)；(2)求证：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2).[证明](1)∵|x－1|－|x－2|≤|x－1－x＋2|＝1，∴a＋b＋c≥1.∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋∴3a2＋3b2＋3c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＝(a＋b＋c)2≥1，∴a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).(2)∵a2＋b2≥2ab,2eq(\a\vs4\al\co1(a2＋b2))≥a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，即a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)，两边开平方得eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)|a＋b|＝eq\f(\r(2),2)(a＋b)．同理可得eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)，eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(c＋a)．三式相加，得eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)≥eq\r(2).4．已知函数feq(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))－2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋1)).(1)解不等式feq(\a\vs4\al\co1(x))≥eq\f(1,2)x；(2)设feq(\a\vs4\al\co1(x))的最大值为m，若2ab＋2bc＋2ca＝m，a，b，c∈R＋，求a＋b＋c的最小值．[解](1)由题意，函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x<－1，,－3x－1，－1≤x<1，,－x－3，x≥1，))因为feq(\a\vs4\al\co1(x))≥eq\f(1,2)x，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≥\f(1,2)x，,x<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x－1≥\f(1,2)x，,－1≤x＜1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－3≥\f(1,2)x，,x≥1，))解得－6≤x≤－eq\f(2,7)，所以不等式解集为：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－6≤x≤－\f(2,7))))).(2)由(1)知，当x＝－1时，feq(\a\vs4\al\co1(x))max＝2，所以m＝2，由题知a>0，b>0，c>0，所以