【教学课件】环节二 函数的概念（二）

函数的概念及其表示环节二函数的概念（二）复习引入问题1

在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，你还记得吗？对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．问题2

研究函数时我们经常会用到区间的概念，请同学们阅读下面的内容（同见课本第64页），试着完成后面两个表格：探究新知定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}{x|a＜x＜b}{x|a≤x＜b}{x|a＜x≤b}闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间［a，b］（a，b）［a，b）（a，b］定义名称数轴表示{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤b}{x|x＜b}［a，＋∞）（a，＋∞）（－∞，b］（－∞，b）表格1表格2答案探究新知追问1

区间的左端点a与右端点b的关系是什么？a＜b．追问2

区间与数轴之间的关系是什么？任何区间均可在数轴上表示出来，区间中的每个元素对应数轴上的一个点．追问3

学习区间的意义是什么？区间表示连续性的数集，为我们研究函数的定义域、值域提供方便．探究新知解得：x≥－3且x≠－2．所以函数f（x）的定义域为[－3，－2）∪（－2，＋∞）．解：（1）要使该函数有意义，则需例1

已知函数f（x）＝，（1）求函数f（x）的定义域；

（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．知识应用例1

已知函数f（x）＝，（1）求函数f（x）的定义域；

（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．解：

知识应用例1

已知函数f（x）＝，（1）求函数f（x）的定义域；

（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．解：（3）因为a＞0时，所以f（a），f（a－1）有意义．知识应用追问1

如何求解函数的定义域？答案：当已知解析式

y＝f（x），那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．比如：①偶次方根中被开方数非负；②分式中分母不能为0；③0次幂式中底数不能为0；④在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体量的允许值范围．知识应用追问2

f（x）＝与y＝的含义相同，都是给出了一个函数的解析式，用f（x）替换y之后有什么优势？答案：在y＝中，要表示－3对应的函数值，我们一般都需要这样描述：当x＝－3时，y＝－1；而在f（x）＝中，我们只需要用f（－3）＝－1表示即可．知识应用追问3

f（x）与f（a）有何区别与联系？答案：f（a）表示当自变量x＝a时的函数值，是一个确定的数，而f（x）表示变量，f（a）是f（x）的一个特殊值．知识应用追问4

能说说你对记号“y＝f（x）”的理解吗？在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．答案：首先它不能理解为“y等于f与x的乘积”，它是“y是x的函数”的符号表示，具体而言是：变量x在对应关系f的作用下对应到y．知识应用解：（1）（x∈[0，＋∞）），它与函数y＝x（x∈R）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．（1）

；（2）

；（3）

；

（4）

．例2

下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？（2）（v∈R），它与函数y＝x（x∈R）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）是同一个函数．知识应用例2

下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？解：（3）它与函数y＝x（x∈R）虽然定义域都是实数集R，但是当x＜0时，它的对应关系与y＝x（x∈R）不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．（1）

；（2）

；（3）

；

（4）

．知识应用例2

下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？（1）

；（2）

；（3）

；

（4）

．（4）

（n∈（－∞，0）∪（0，＋∞）），它与函数y＝x（x∈R）的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．解：知识应用追问1

两个函数相等的含义是什么？答案：函数的三要素都相等．值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系一致，这两个函数就相等．知识应用追问2

你能总结判断两个函数是否相同的步骤吗？答案：先求函数的定义域，如果定义域不相同，则不是相同函数，结束判断；如果相等，则判断对应关系是否相同，定义域和对应关系均相等才能得出相等的结论.高中阶段对应关系一般都是以解析式的形式给出，我们一般需要先考虑化简解析式再判断，若解析式也相等，则是相同函数，若否，则不是相同函数.知识应用追问3

你如何理解函数u＝的对应关系?所以对于R中的任一实数v，通过对应关系u＝v，在R中都有唯一的一个实数u与之对应，因为u＝v，所以就是任一实数与它本身的对应．答案：因为u＝＝v（v∈R），知识应用只有图（2）中的图象与y=x的图象完全相同.追问4

你能结合函数的图象验证你的判断吗？知识应用（1）区间是表示什么的符号？（2）在判断两个函数是否相同时，我们需要注意什么？区间是用于表示连续数集的符号．定义域相同是函