高中人教A版数学必修4：第31课时 简单的三角恒等变换 Word版含解析

第31课时简单的三角恒等变换课时目标1.能够利用半角公式进行化简．2．了解和差化积与积化和差公式，以及它与两角和与差公式的内在联系．3．了解y＝asinx＋bcosx的函数的变换，并会求形如y＝asinx＋bcosx的函数的性质．识记强化1．半角公式：sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα)，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))根号前符号，由eq\f(α,2)所在象限三角函数符号确定．2．辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).课时作业一、选择题1．已知cosθ＝－eq\f(1,4)(－180°<θ<－90°)，则coseq\f(θ,2)＝()A．－eq\f(\r(6),4)B.eq\f(\r(6),4)C．－eq\f(3,8)D.eq\f(3,8)答案：B解析：因为－180°<θ<－90°，所以－90°<eq\f(θ,2)<－45°.又cosθ＝－eq\f(1,4)，所以coseq\f(θ,2)＝eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝eq\r(\f(1－\f(1,4),2))＝eq\f(\r(6),4)，故选B.2．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosα＝eq\f(4,5)，则taneq\f(α,2)＝()A．3B．－3C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)答案：D解析：因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且cosα＝eq\f(4,5)，所以eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，taneq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝－eq\r(\f(1－\f(4,5),1＋\f(4,5)))＝－eq\f(1,3)，故选D.3．在△ABC中，若B＝45°，则cosAsinC的取值范围是()A．[－1,1]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)－2,4)，\f(\r(2)＋2,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2)＋2,4)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2)＋2,4)))答案：B解析：在△ABC中，B＝45°，所以cosAsinC＝eq\f(1,2)[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝eq\f(\r(2),4)－eq\f(1,2)sin(A－C)，因为－1≤sin(A－C)≤1，所以eq\f(\r(2)－2,4)≤cosAsinC≤eq\f(\r(2)＋2,4)，故选B.4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))等于()A．7B．－7C.eq\f(1,7)D．－eq\f(1,7)答案：C解析：∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝eq\f(4,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5).又α是第二象限角，∴sinα＝eq\f(3,5)，则tanα＝－eq\f(3,4).∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).5．函数f(x)＝eq\f(sin2xcosx,1－sinx)的值域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))答案：B解析：f(x)＝eq\f(2sinxcos2x,1－sinx)＝eq\f(2sinx1－sin2x,1－sinx)＝2sinx＋2sin2x，又－1≤sinx<1，∴f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4)).故选B.6．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形答案：B解析：sinAsinB＝eq\f(1＋cosC,2)2sinAsinB＝1－cos(π－A－B)cosAcosB＋sinAsinB＝1cos(A－B)＝1A＝B∴是等腰三角形．二、填空题7．若3sinx－eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于________．答案：－eq\f(π,6)解析：3sinx－eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，所以φ＝－eq\f(π,6).8．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(α,2)))＝________.答案：eq\f(5,6)解析：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(2,3).所以cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(α,2)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)),2)＝eq\f(1＋\f(2,3),2)＝eq\f(5,6).9．在△ABC中，若3cos2eq\f(A－B,2)＋5sin2eq\f(A＋B,2)＝4，则tanAtanB＝________.答案：eq\f(1,4)解析：因为3cos2eq\f(A－B,2)＋5sin2eq\f(A＋B,2)＝4，所以eq\f(3,2)cos(A－B)－eq\f(5,2)cos(A＋B)＝0，所以eq\f(3,2)cosAcosB＋eq\f(3,2)sinAsinB－eq\f(5,2)cosAcosB＋eq\f(5,2)sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝eq\f(1,4).三、解答题10．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，求coseq\f(α－β,2).解：∵α为钝角，β为锐角，sinα＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，∴cosα＝－eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(5,13).cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(33,65).又∵eq\f(π,2)<α<π，0<β<eq\f(π,2)，∴0<α－β<π，0<eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2).∴coseq\f(α－β,2)＝eq\r(\f(1＋cosα－β,2))＝eq\f(7\r(65),65).11．已知sin(2α＋β)＝5sinβ.求证：2tan(α＋β)＝3tanα.证明：由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.整理得：4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα.两边同除以cos(α＋β)cosα得：2tan(α＋β)＝3tanα.能力提升12．要使eq\r(3)sinα＋cosα＝eq\f(4m－6,4－m)有意义，则应有()A．m≤eq\f(7,3)B．m≥－1C．m≤－1或m≥eq\f(7,3)D．－1≤m≤eq\f(7,3)答案：D解析：eq\r(3)sinα＋cosα＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinα＋\f(1,2)cosα))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4m－6,4－m)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(2m－3,4－m)，由于－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))≤1，所以－1≤eq\f(2m－3,4－m)≤1，所以－1≤m≤eq\f(7,3).13．已知函数f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，且f(α)＝－eq\f(5\r(2),13)，求sin2α的值．解：(1)因为f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x，所以f(x)＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以函数f(x)的最小正周期是π.(2)f(α)＝－eq\f(5\r(2),13)，即eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝－eq\f(5\r(2),13)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝－eq\f(5,13).因为eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，所以eq\f(3π,4)<2α＋eq\f(π,4)<eq\f(5π,4)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝－eq\f(12,13)，所以sin2α＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))－\f(π,