第二章 动量守恒定律和能量守恒定律概要课件

力的时间积累一、冲量设在dt时间间隔内，质点所受的力为则称是在dt时间内的冲量。大小：方向：与同向。对质点的冲量单位：N·S当时间由§2.1动量动量定理力的时间积累一、冲量设在dt时间间隔内，质点所受的力为讨论:tFt1t2Ft1t2t分量式:3)合力的冲量合力的冲量等于各分力冲量的矢量和1)为恒力2)为变力讨论:tFt1t2Ft1t2t分量式:3)合力的冲量合力二、质点的动量定理力的时间积累效果,使物体的动量改变。1.推导2.物理意义t1FFmt2二、质点的动量定理力的时间积累效果,使物体的动量改变。1.推注意该定律的矢量性，冲量的方向与动量改变量的方向相同。

某方向受到冲量,某方向的动量就改变。外力对物体的冲量，等于物体动量的改变量。质点的动量定理:分量式:注意该定律的矢量性，冲量的方向与动量改变量的方向相同。外5说明:A.动量定理的矢量性：在实际应用时常采用分量式,在直角坐标系中：B.常用于解决碰撞、冲击问题：作用时间短，力大且变化(称为冲力)，而一些常力(如重力、摩擦力)的冲量很小，可以忽略。平均冲力：C.动量定理只在惯性系中成立。D.动量定理是过程的，而不是瞬时的。5说明:A.动量定理的矢量性：在实际应用时常采用分量式,三、质点系的动量定理质点系：由两个或两个以上的质点构成的系统。质点所受的冲量:质点系的动量定理：作用于系统合外力的冲量等于系统动量的改变量。两式相加得:f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin三、质点系的动量定理质点系：由两个或两个以上的质点构成的系统7

质点系—若干质点组成的系统。内力—系统内各质点间的相互作用力。外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。

设系统有n个物体,如图所示。用f12、f21、…、fn1…等表示系统内物体间相互作用的内力;用F1、F2、…Fn分别表示系统外的物体对系统内物体作用的外力。f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin对每一个质点运用动量定理：三、质点系的动量定理

mi:

7质点系—若干质点组成的系统。设系统有n个物体,8

这就是质点系的动量定理,它表明系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量。对所有质点求和，就得:

根据牛顿第三定律,内力之和于是f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin8这就是质点系的动量定理,它表明系统所(2)内力仅能改变系统内某个物体的动量,但不能改变系统的总动量。质点系含有n个质点：注意:(1)作用于系统的合外力指系统内每一个质点所受外力的矢量和，只有外力才能使系统的动量改变。(3)适用条件：惯性系,所有质点相对于同一参考系。(2)内力仅能改变系统内某个物体的动量,但不能改变系统的总系统在某一方向上受到的合外力为零,则在该方向上动量守恒.动量守恒定律：当系统不受外力的作用或所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变。

推广:质点系的动量定理:§2.2动量守恒定律系统在某一方向上受到的合外力为零,则在该方向上动量守恒.动动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律注意：1.系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。2.在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）。3.定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。5.动量守恒定律在微观、高速范围仍适用。4.动量守恒定律只适用于惯性系。6.动量守恒定律在外力远小于内力的条件下仍适用。动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律注意：1.系统例1

每颗轻机枪子弹的质量为50g，离开枪口时的速度为800m/s，若每分钟发射300发子弹，则射手平均要用多大的力才能顶住枪托？解:例1每颗轻机枪子弹的质量为50g，离开枪口解:例2

一质量为5kg的物体,其所受作用力F随时间的变化关系如图,设物体从静止开始运动,则20秒末物体的速度为多少?解:-5101020t(s)F(N)5例2一质量为5kg的物体,其所受作用力F随时间的变化关系例3

一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h＝19.6m

处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2)(P1023-6)已知第一块方向竖直向下解：hS1hxy例3一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h＝19.6m爆炸中系统动量守恒炮弹到最高点时vy=0，设炮弹到最高点的时间为t1：hS1hxy爆炸中系统动量守恒炮弹到最高点时vy=0，设炮弹到最高点的时第二块作斜抛运动,设第二块的落地时间为t2：落地时，y2=0

所以t2=4st2＝－1s(舍去）x2=500

mhS1hxy第二块作斜抛运动,设第二块的落地时间为t2：落地时，y2=例4水平光滑铁轨上有一小车,长度为l,质量为M,车的一端有一人质量为m,人和车原来静止,现该人从车的一端走到另一端,问人和车各移动了多少距离?解:设人速为v，车速为V，人相对车的速度为v’mlMx例4水平光滑铁轨上有一小车,长度为l,质量为M,车的一端例5

一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳的下端刚好触到水平桌面上,如果把绳的上端放开,绳将落在桌面上,试证明:在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力,等于已落到桌面上的绳重量的三倍.(设绳的密度为)(习题3-9,题解P14)解：dxx例5一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳的下端刚好触到19例4：火箭飞行。火箭是依靠燃料燃烧后喷出气体来获得向上的推力。设火箭发射时的质量为m0，燃料烧尽时的质量为m，气体相对于火箭喷出的速率为u。不计空气的阻力，求火箭所能达到的最大速率。t+dt时刻（-dm）m+dmu解：将火箭和燃气系统作为研究对象。t时刻m设t时刻火箭体的总质量为m，速度为，则此时系统的总动量设在dt时间内火箭排出了质量为(-dm)的燃气，则在t+dt时刻火箭的质量为m+dm，速度为。19例4：火箭飞行。火箭是依靠燃料燃烧后喷出气体来获得向上的20t时刻t+dt时刻（-dm）mm+dmu在t+dt时刻系统的总动量为：在dt时间内，系统总动量的增量为：若用F表示火箭系统受到的外力(重力和空气阻力)，则根据质点系动量定理：上式称为火箭体的运动方程。20t时刻t+dt时刻（-dm）mm+dmu在t+dt时刻21若忽略空气阻力，F=-mg，则：对上式两边积分，从火箭点火（t=0,m=m0,=0）到燃料燃尽(t,m,)这就是火箭能达到的最大速率。如果重力也可以忽略，则t时刻t+dt时刻（-dm）mm+dmu21若忽略空气阻力，F=-mg，则：对上式两边积分，从火22讨论(1)火箭的最大速度与喷气速度成u正比，还与火箭始末质量比N的自然对数成正比。(2)目前火箭的喷气速度u=4.1km/s，火箭质量比N=15实际发射时，火箭要受到地球引力和空气阻力，所以实际最大速度只有7km/s左右，小于第一宇宙速度。(3)目前均采用多级火箭技术，火箭最后达到的速度22讨论(1)火箭的最大速度与喷气速度成u正比，还与火箭始末本节要点力的时间积累质点的动量定理：质点系的动量定理：三、动量守恒定律二、动量定理一、冲量本节要点力的时间积累质点的动量定理：质点系的动量定理：三、动2.3

功和功率一、功设一质点在力的作用下由A→B称作元功3.同时作用在质点上合力作的功------力的空间积累效应2.质点由A→B，对质点作的功1.任一小位移元，对质点作的功AB2.3功和功率一、功设一质点在力的作用下由A→B称作25若质点在恒力

作用下，力做的功为(1)功是标量,且有正负。在直角坐标中说明力所做的功等于各分力fx、fy、fz所作的功的代数和。说明:ab25若质点在恒力作用下，力做的功为(1)功是标量,26推广：若质点同时受到几个力的作用，则合力做的功等于各分力作的功的代数和。(2)功是过程量，功是力对空间的累积，功总是和某个运动过程相联系。因此功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径有关。(3)功是相对量，其大小随所选参考系的不同而不同。(4)力在单位时间内作的功称为功率，用P表示26推广：若质点同时受到几个力的作用，则合力做的功等于各分力27(5)一对力的功：om1m2

和是一对相互作用力，则设在某段时间内，m1和m2分别发生了位移和，则这一对力所做的功：上式说明两质点间的一对相互作用力的元功等于其中一个质点受的力和该质点相对另一质点的元位移的标积。27(5)一对力的功：om1m2和是一对相互28对上式积分可得到两质点从初始位置到终点位置,一对力做的总功：结论:A.

一对相互作用力做的总功只取决于两质点间的相对运动,与参考系的选择无关。B.

如果两质点间无相对运动，或相对运动的方向与相互作用力垂直，则一对力所做的功之和为零，否则，一对力的总功不为零。28对上式积分可得到两质点从初始位置到终点位置,一对力做29mMxoVuL例：如图所示，物体m放在粗糙斜面M上，而斜面B放在光滑水面上。当m下滑时，M也将运动。试说明在这个过程中，m、M间的一对摩擦力做功之和是正还是负？A、B间的一对正压力做功之和又如何？A=-f·L在m下滑的过程中，m与M之间的一对摩擦力做的功:一对正压力做的功:A=029mMxoVuL例：如图所示，物体m放在粗糙斜面M上，而二、功率平均功率：瞬时功率(功率)：注意：1、功是过程量,与路径有关。

2、功是标量，但有正负。描述作功快慢的物理量二、功率平均功率：瞬时功率(功率)：注意：1、功是过程量,与1.质点的动能定理质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的改变量。只在惯性系中成立。2.4动能动能定理

质点由A→B，合外力对质点作的功AB——是质点以速率v运动时具有的动能1.质点的动能定理质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于2.质点系的动能定理质点：m1m2初速度：外力：内力：末速度：2.质点系的动能定理质点：m1m2初速度：外力：内力两式相加得：外力的功之和＋内力的功之和=系统末动能－系统初动能注意：内力能改变系统的总动能，不能改变系统的总动量。记作：W外＋W内＝Ek-Ek0质点系动能定理:

所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的改变量。两式相加得：外力的功之和＋内力的功之和=系统末动能－系统初

某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关,这种力称为保守力,否则该力称为非保守力。2.5

保守力与非保守力势能一、保守力与非保守力ABCD若沿闭合路径ACBD运动一周:物体沿任意闭合路径运动一周，保守力作功为零保守力作功:某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径1.重力的功m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.二、三种保守力的功2.弹力的功重力作功只与质点的始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。弹性力作功和重力作功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。1.重力的功m在重力作用下由a运动到b，取地

两个质点在引力作用下作相对运动，以M为原点作m的位矢,M指向m的方向为该矢径的正方向。m受的引力方向与该矢径方向相反,m由a→b时引力所作的功为:3.引力的功Mmrab万有引力的功也只与质点始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。两个质点在引力作用下作相对运动，以M为原点作m的位37

2.势能重力的功弹性力的功引力的功

定义：Epa是系统在位置a的势能;

Epb是系统在位置b的势能。保守力的功等于势能增量的负值，这一结论称为势能定理。372.势能重力的功弹性力的功引力的功定义：Epa38说明:(1)只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。(2)势能不属于一个质点或物体，势能属于以保守力相互作用的整个系统。势能是一种相互作用能。(3)势能具有相对意义。要确定系统在任意位置的势能，必须选定势能零点。上式表示，系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。原则上，势能零点的位置可以任意选择。38说明:(1)只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。(239力学中三种常见的势能：

(1)零势面可任意选择。

(2)重力势能为Ep=±mgh

(1)重力势能(h是物体相对于零势面的高度)(2)弹性势能

(1)通常规定弹簧无形变时的势能为零。

(2)弹簧伸长(或压缩)x时的弹性势能为(3)弹性势能总是正值。39力学中三种常见的势能：(1)零势面可任意选择。40xo

(原长)oxabx(4)如选x=xo处为势能零点，则弹性势能40xo(原长)oxabx(4)如选x=xo处为势能零点41(1)通常取无穷远为势能零点。

(3)引力势能总是负值。(2)M、m相距r时的引力势能:(3)引力势能rfMdrm势能曲线41(1)通常取无穷远为势能零点。(3)引力势能总是万有引力的功等于引力势能增量的负值。引力势能常以无穷远为零势能点。弹性力的功等于弹性势能增量的负值。弹性势能常以弹簧原长为零势能点。三、势能重力的功等于重力势能增量的负值。重力势能常以地面为零势能。万有引力的功等于引力势能增量的负值。引力势能常以无穷远为零势根据式在一维情况下有：则有：根据该式，若已知势能函数，就能求出保守力。讨论：（1）势能是状态函数;（2）势能是相对的;（3）势能只对系统而言。根据式在一维情况下有：则有：根据该式，若已知势能函数，就能求例6

质量为m=0.5kg的质点，在xy平面内运动,方程为x=5t，y=0.5t2(SI),求从t=2s到t=4s这段时间内,外力对质点作的功.解:例6质量为m=0.5kg的质点，在xy平面内运动,解：例7

一质量为m的质点，在xoy平面上运动。其位置矢量为：

,其中a,b,为正值常数，a>b。(1)求质点在A(a,0)点和B(0,b)点时的动能。(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的过程中分力、所做的功。解：例7一质量为m的质点，在xoy平面上运动。其位置矢A(a,0)点：cost=1

sint=0B(0,b)点：cost=0sint=1A(a,0)点：cost=1sint=例8

一链条总长为l，质量为m。放在桌面上并使其一部分下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则:(1)到链条离开桌面时，摩擦力对链条做了多少功？(2)链条离开桌面时的速率是多少？al-a

xO解：(1)建立坐标系如图所示注意：摩擦力作负功！例8一链条总长为l，质量为m。放在桌面上并使其一部分下(2)对链条应用动能定理：前已得出：(2)对链条应用动能定理：前已得出：例10

如图,物体质量m=2kg,由静止开始沿固定的四分之一圆弧从A滑下,到达B点时的速率v

=6m/s,求摩擦力作的功.AOBR=4m解:由动能定理fNmg例9

如图,木块m沿固定的光滑斜面由静止开始下滑,当下降h高度时,重力的瞬时功率为多少?解:hmgv例10如图,物体质量m=2kg,由静止开始沿固定的四2.6功能原理机械能守恒定律1.

机械能=动能+势能

物体组的受力外力内力一、功能原理2.功能原理合力分类:外力：内力：系统外物体对系统内物体的作用力。系统内物体间的相互作用力非保守内力保守内力由动能定理：2.6功能原理机械能守恒定律1.机械能=动能+势功能原理:外力和非保守内力作功之和,等于系统机械能的改变量。注意:动能和势能都可变化，但其和为恒量。二、机械能守恒定律条件：结论:功能原理:外力和非保守内力作功之和,等于系统机械能的改变量52

Ep+Ek=恒量

这一结论称为机械能守恒定律。说明:(1)机械能守恒的条件是A外+A非保守内力=0，是对惯性系而言的。即机械能守恒定律只适用于惯性系。(2)在某一惯性系中系统的机械能守恒,并不能保证在其他惯性系中也守恒，因为A外与参考系的选择有关。

(3)保守内力作功只能使系统的动能和势能相互转化，并不能改变系统的总能量。A外+A非保守内力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)如果合外力的功与非保守内力的功之和为零

(A外+A非保守内力=0)时,则52Ep+Ek=恒量53判断下列说法的正确性:A.不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒。B.所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒。C.不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒。D.外力对一个系统做的功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒。53判断下列说法的正确性:A.不受外力作用的系统，其动量和机例10

如图,物体质量m=2kg,沿固定的四分之一圆弧由A静止滑下,到达B点时的速率v

=6m/s,求摩擦力作的功.AOBR=4m

解:由功能原理例10如图,物体质量m=2kg,沿固定的四分之一圆弧由3-6

完全弹性碰撞完全非弹性碰撞

形变完全恢复，动量和机械能守恒。一、碰撞类型1.完全弹性碰撞m1v10m2v20v1v2形变不能完全恢复,动量守恒,机械能不守恒。2.非弹性碰撞碰撞过程：压缩阶段；恢复阶段3-6完全弹性碰撞完全非弹性碰撞形变完全恢复，动量

粘在一起运动,动量守恒,机械能不守恒。3.完全非弹性碰撞m1v1m2v2v二、牛顿碰撞定律碰前：牛顿恢复系数:碰后分离的相对速度碰前接近的相对速度碰后：非弹性碰撞;完全弹性碰撞;完全非弹性碰撞;e完全决定于相碰两物体的弹性，是二者的联合性质。粘在一起运动,动量守恒,机械能不守恒。3.完全非弹性碰撞例11

试证明任何两个质量相等的质点在完全弹性碰撞时（对心的正碰除外），如果其中一个最初是静止的，则碰撞后，两个质点总是沿着相互垂直的方向分开。

解:动能守恒，沿两坐标轴方向动量守恒：例11试证明任何两个质量相等的质点在完全弹性碰撞时（对第二章动量守恒定律和能量守恒定律概要课件59碰撞问题(1)特点：内力>>外力，系统动量守恒。(2)分类：弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞；(3)恢复系数：59碰撞问题(1)特点：内力>>外力，系统动量守恒。(2)分60由以上两式解出碰撞后两小球的速度为形变完全恢复，为弹性碰撞形变部分恢复，非弹性碰撞形变完全不能恢复，完全非弹性碰撞

60由以上两式解出碰撞后两小球的速度为形变完全恢复，为弹性碰力的时间积累一、冲量设在dt时间间隔内，质点所受的力为则称是在dt时间内的冲量。大小：方向：与同向。对质点的冲量单位：N·S当时间由§2.1动量动量定理力的时间积累一、冲量设在dt时间间隔内，质点所受的力为讨论:tFt1t2Ft1t2t分量式:3)合力的冲量合力的冲量等于各分力冲量的矢量和1)为恒力2)为变力讨论:tFt1t2Ft1t2t分量式:3)合力的冲量合力二、质点的动量定理力的时间积累效果,使物体的动量改变。1.推导2.物理意义t1FFmt2二、质点的动量定理力的时间积累效果,使物体的动量改变。1.推注意该定律的矢量性，冲量的方向与动量改变量的方向相同。

某方向受到冲量,某方向的动量就改变。外力对物体的冲量，等于物体动量的改变量。质点的动量定理:分量式:注意该定律的矢量性，冲量的方向与动量改变量的方向相同。外65说明:A.动量定理的矢量性：在实际应用时常采用分量式,在直角坐标系中：B.常用于解决碰撞、冲击问题：作用时间短，力大且变化(称为冲力)，而一些常力(如重力、摩擦力)的冲量很小，可以忽略。平均冲力：C.动量定理只在惯性系中成立。D.动量定理是过程的，而不是瞬时的。5说明:A.动量定理的矢量性：在实际应用时常采用分量式,三、质点系的动量定理质点系：由两个或两个以上的质点构成的系统。质点所受的冲量:质点系的动量定理：作用于系统合外力的冲量等于系统动量的改变量。两式相加得:f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin三、质点系的动量定理质点系：由两个或两个以上的质点构成的系统67

质点系—若干质点组成的系统。内力—系统内各质点间的相互作用力。外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。

设系统有n个物体,如图所示。用f12、f21、…、fn1…等表示系统内物体间相互作用的内力;用F1、F2、…Fn分别表示系统外的物体对系统内物体作用的外力。f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin对每一个质点运用动量定理：三、质点系的动量定理

mi:

7质点系—若干质点组成的系统。设系统有n个物体,68

这就是质点系的动量定理,它表明系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量。对所有质点求和，就得:

根据牛顿第三定律,内力之和于是f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin8这就是质点系的动量定理,它表明系统所(2)内力仅能改变系统内某个物体的动量,但不能改变系统的总动量。质点系含有n个质点：注意:(1)作用于系统的合外力指系统内每一个质点所受外力的矢量和，只有外力才能使系统的动量改变。(3)适用条件：惯性系,所有质点相对于同一参考系。(2)内力仅能改变系统内某个物体的动量,但不能改变系统的总系统在某一方向上受到的合外力为零,则在该方向上动量守恒.动量守恒定律：当系统不受外力的作用或所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变。

推广:质点系的动量定理:§2.2动量守恒定律系统在某一方向上受到的合外力为零,则在该方向上动量守恒.动动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律注意：1.系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。2.在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）。3.定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。5.动量守恒定律在微观、高速范围仍适用。4.动量守恒定律只适用于惯性系。6.动量守恒定律在外力远小于内力的条件下仍适用。动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律注意：1.系统例1

每颗轻机枪子弹的质量为50g，离开枪口时的速度为800m/s，若每分钟发射300发子弹，则射手平均要用多大的力才能顶住枪托？解:例1每颗轻机枪子弹的质量为50g，离开枪口解:例2

一质量为5kg的物体,其所受作用力F随时间的变化关系如图,设物体从静止开始运动,则20秒末物体的速度为多少?解:-5101020t(s)F(N)5例2一质量为5kg的物体,其所受作用力F随时间的变化关系例3

一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h＝19.6m

处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2)(P1023-6)已知第一块方向竖直向下解：hS1hxy例3一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h＝19.6m爆炸中系统动量守恒炮弹到最高点时vy=0，设炮弹到最高点的时间为t1：hS1hxy爆炸中系统动量守恒炮弹到最高点时vy=0，设炮弹到最高点的时第二块作斜抛运动,设第二块的落地时间为t2：落地时，y2=0

所以t2=4st2＝－1s(舍去）x2=500

mhS1hxy第二块作斜抛运动,设第二块的落地时间为t2：落地时，y2=例4水平光滑铁轨上有一小车,长度为l,质量为M,车的一端有一人质量为m,人和车原来静止,现该人从车的一端走到另一端,问人和车各移动了多少距离?解:设人速为v，车速为V，人相对车的速度为v’mlMx例4水平光滑铁轨上有一小车,长度为l,质量为M,车的一端例5

一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳的下端刚好触到水平桌面上,如果把绳的上端放开,绳将落在桌面上,试证明:在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力,等于已落到桌面上的绳重量的三倍.(设绳的密度为)(习题3-9,题解P14)解：dxx例5一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳的下端刚好触到79例4：火箭飞行。火箭是依靠燃料燃烧后喷出气体来获得向上的推力。设火箭发射时的质量为m0，燃料烧尽时的质量为m，气体相对于火箭喷出的速率为u。不计空气的阻力，求火箭所能达到的最大速率。t+dt时刻（-dm）m+dmu解：将火箭和燃气系统作为研究对象。t时刻m设t时刻火箭体的总质量为m，速度为，则此时系统的总动量设在dt时间内火箭排出了质量为(-dm)的燃气，则在t+dt时刻火箭的质量为m+dm，速度为。19例4：火箭飞行。火箭是依靠燃料燃烧后喷出气体来获得向上的80t时刻t+dt时刻（-dm）mm+dmu在t+dt时刻系统的总动量为：在dt时间内，系统总动量的增量为：若用F表示火箭系统受到的外力(重力和空气阻力)，则根据质点系动量定理：上式称为火箭体的运动方程。20t时刻t+dt时刻（-dm）mm+dmu在t+dt时刻81若忽略空气阻力，F=-mg，则：对上式两边积分，从火箭点火（t=0,m=m0,=0）到燃料燃尽(t,m,)这就是火箭能达到的最大速率。如果重力也可以忽略，则t时刻t+dt时刻（-dm）mm+dmu21若忽略空气阻力，F=-mg，则：对上式两边积分，从火82讨论(1)火箭的最大速度与喷气速度成u正比，还与火箭始末质量比N的自然对数成正比。(2)目前火箭的喷气速度u=4.1km/s，火箭质量比N=15实际发射时，火箭要受到地球引力和空气阻力，所以实际最大速度只有7km/s左右，小于第一宇宙速度。(3)目前均采用多级火箭技术，火箭最后达到的速度22讨论(1)火箭的最大速度与喷气速度成u正比，还与火箭始末本节要点力的时间积累质点的动量定理：质点系的动量定理：三、动量守恒定律二、动量定理一、冲量本节要点力的时间积累质点的动量定理：质点系的动量定理：三、动2.3

功和功率一、功设一质点在力的作用下由A→B称作元功3.同时作用在质点上合力作的功------力的空间积累效应2.质点由A→B，对质点作的功1.任一小位移元，对质点作的功AB2.3功和功率一、功设一质点在力的作用下由A→B称作85若质点在恒力

作用下，力做的功为(1)功是标量,且有正负。在直角坐标中说明力所做的功等于各分力fx、fy、fz所作的功的代数和。说明:ab25若质点在恒力作用下，力做的功为(1)功是标量,86推广：若质点同时受到几个力的作用，则合力做的功等于各分力作的功的代数和。(2)功是过程量，功是力对空间的累积，功总是和某个运动过程相联系。因此功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径有关。(3)功是相对量，其大小随所选参考系的不同而不同。(4)力在单位时间内作的功称为功率，用P表示26推广：若质点同时受到几个力的作用，则合力做的功等于各分力87(5)一对力的功：om1m2

和是一对相互作用力，则设在某段时间内，m1和m2分别发生了位移和，则这一对力所做的功：上式说明两质点间的一对相互作用力的元功等于其中一个质点受的力和该质点相对另一质点的元位移的标积。27(5)一对力的功：om1m2和是一对相互88对上式积分可得到两质点从初始位置到终点位置,一对力做的总功：结论:A.

一对相互作用力做的总功只取决于两质点间的相对运动,与参考系的选择无关。B.

如果两质点间无相对运动，或相对运动的方向与相互作用力垂直，则一对力所做的功之和为零，否则，一对力的总功不为零。28对上式积分可得到两质点从初始位置到终点位置,一对力做89mMxoVuL例：如图所示，物体m放在粗糙斜面M上，而斜面B放在光滑水面上。当m下滑时，M也将运动。试说明在这个过程中，m、M间的一对摩擦力做功之和是正还是负？A、B间的一对正压力做功之和又如何？A=-f·L在m下滑的过程中，m与M之间的一对摩擦力做的功:一对正压力做的功:A=029mMxoVuL例：如图所示，物体m放在粗糙斜面M上，而二、功率平均功率：瞬时功率(功率)：注意：1、功是过程量,与路径有关。

2、功是标量，但有正负。描述作功快慢的物理量二、功率平均功率：瞬时功率(功率)：注意：1、功是过程量,与1.质点的动能定理质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的改变量。只在惯性系中成立。2.4动能动能定理

质点由A→B，合外力对质点作的功AB——是质点以速率v运动时具有的动能1.质点的动能定理质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于2.质点系的动能定理质点：m1m2初速度：外力：内力：末速度：2.质点系的动能定理质点：m1m2初速度：外力：内力两式相加得：外力的功之和＋内力的功之和=系统末动能－系统初动能注意：内力能改变系统的总动能，不能改变系统的总动量。记作：W外＋W内＝Ek-Ek0质点系动能定理:

所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的改变量。两式相加得：外力的功之和＋内力的功之和=系统末动能－系统初

某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关,这种力称为保守力,否则该力称为非保守力。2.5

保守力与非保守力势能一、保守力与非保守力ABCD若沿闭合路径ACBD运动一周:物体沿任意闭合路径运动一周，保守力作功为零保守力作功:某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径1.重力的功m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.二、三种保守力的功2.弹力的功重力作功只与质点的始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。弹性力作功和重力作功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。1.重力的功m在重力作用下由a运动到b，取地

两个质点在引力作用下作相对运动，以M为原点作m的位矢,M指向m的方向为该矢径的正方向。m受的引力方向与该矢径方向相反,m由a→b时引力所作的功为:3.引力的功Mmrab万有引力的功也只与质点始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。两个质点在引力作用下作相对运动，以M为原点作m的位97

2.势能重力的功弹性力的功引力的功

定义：Epa是系统在位置a的势能;

Epb是系统在位置b的势能。保守力的功等于势能增量的负值，这一结论称为势能定理。372.势能重力的功弹性力的功引力的功定义：Epa98说明:(1)只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。(2)势能不属于一个质点或物体，势能属于以保守力相互作用的整个系统。势能是一种相互作用能。(3)势能具有相对意义。要确定系统在任意位置的势能，必须选定势能零点。上式表示，系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。原则上，势能零点的位置可以任意选择。38说明:(1)只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。(299力学中三种常见的势能：

(1)零势面可任意选择。

(2)重力势能为Ep=±mgh

(1)重力势能(h是物体相对于零势面的高度)(2)弹性势能

(1)通常规定弹簧无形变时的势能为零。

(2)弹簧伸长(或压缩)x时的弹性势能为(3)弹性势能总是正值。39力学中三种常见的势能：(1)零势面可任意选择。100xo

(原长)oxabx(4)如选x=xo处为势能零点，则弹性势能40xo(原长)oxabx(4)如选x=xo处为势能零点101(1)通常取无穷远为势能零点。

(3)引力势能总是负值。(2)M、m相距r时的引力势能:(3)引力势能rfMdrm势能曲线41(1)通常取无穷远为势能零点。(3)引力势能总是万有引力的功等于引力势能增量的负值。引力势能常以无穷远为零势能点。弹性力的功等于弹性势能增量的负值。弹性势能常以弹簧原长为零势能点。三、势能重力的功等于重力势能增量的负值。重力势能常以地面为零势能。万有引力的功等于引力势能增量的负值。引力势能常以无穷远为零势根据式在一维情况下有：则有：根据该式，若已知势能函数，就能求出保守力。讨论：（1）势能是状态函数;（2）势能是相对的;（3）势能只对系统而言。根据式在一维情况下有：则有：根据该式，若已知势能函数，就能求例6

质量为m=0.5kg的质点，在xy平面内运动,方程为x=5t，y=0.5t2(SI),求从t=2s到t=4s这段时间内,外力对质点作的功.解:例6质量为m=0.5kg的质点，在xy平面内运动,解：例7

一质量为m的质点，在xoy平面上运动。其位置矢量为：

,其中a,b,为正值常数，a>b。(1)求质点在A(a,0)点和B(0,b)点时的动能。(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的过程中分力、所做的功。解：例7一质量为m的质点，在xoy平面上运动。其位置矢A(a,0)点：cost=1

sint=0B(0,b)点：cost=0sint=1A(a,0)点：cost=1sint=例8

一链条总长为l，质量为m。放在桌面上并使其一部分下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则:(1)到链条离开桌面时，摩擦力对链条做了多少功？(2)链条离开桌面时的速率是多少？al-a

xO解：(1)建立坐标系如图所示注意：摩擦力作负功！例8一链条总长为l，质量为m。放在桌面上并使其一部分下(2)对链条应用动能定理：前已得出：(2)