级数-p一、交错及其审敛法

一、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.n

n

n1

n1n1

n(1)

u(1)

u

或n(其中u

0)N

1

u

.nnn1n1nrN

(1)

un1n

N

1)且lim

un

0,则交错级数(1)

u

收敛且余和的绝对值定理1(Leibnitz判别法)设un

0,

un

un1(n=1,2,证明:un1

un

0,

s2n

(u1

u2

)

(u3

u4

)

(u2n1

u2n

)数列s2n是单调增加的,又s2n

u1

(u2

u3

)

(u2n2

u2n1

)

u2n

u1

lim

s2n

s

u1

.nnlim

u2n1

0,数列s2n是有界的,

u2n1

)

s,

lim

s2n1

lim(s2nn

n级数收敛于和s,

且s

u1

.余项rn

(un1

un2

),

un1

un2rn

,满足收敛的两个条件,

rn

un1

.定理证毕.n1例1.判断交错级数(1)n21的敛散性.ln

n解:1ln

n1n

ln

n单调递减,且lim=0,n1ln

nn2故由Leibnitz判别法知交错级数(1)

收敛.i级数(1)n1

(1-en

)的敛散性.n1例2.解:

i由于en

cos

i

sin1n1n,故in1n1(1)

sinn1n1(1)n1

(1

-

en

)=(1)n1(1

-

cos )

inn1实部级数和虚部级数都是交错级数.n

n因

1

cos

1

0, sin

1

0,

所以上述复级数的又因

sin, 1

cos

1

cosn

11

1n n

111nsin且lim

1

cos

1

0,

limsin

1

0,nnn

n由Leibnitz判别法知交错级数(1)

(1

-

sin1n1n1

n11nnn(1)

(1-cos

)和)i再由复级数收敛的充要条件知级数(1)n1

(1-en

)收敛.n1练习.判别下述级数的敛散性inn(1)sin

,

(2)21

nnn1n1

u

)

(n

1,2,),2nn

n证明:

令

v

1

(un显然v

0,且vn

un

,n1vn收敛,

又un

(2vnn1

n1

un

),

un

收敛.n1二、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.

定理2

设un

是实数列,若

un

收敛,则un

也收敛.n1

n1定义2

设un

是实数列或复数列,若级数

un

收敛,n1n1则说级数un

绝对收敛.定理3

设un

是实数列或复数列,若级数

un

收敛,n1则级数un

必定收敛.n1证明:若un是实数列,由定理2知结论成立.现假定un

是复数列nn这时,an

un

,

bn

un

(n

1,

2,

),n1n1

n1因级数

un收敛,由比较判别法知,正项级数

ann1

n1

和

bn

都收敛.

由定理2,级数an和bn都收敛.从而根据复数项级数收敛的充要条件知:级数

un

=

an

i

bnn1

n1

n1收敛.定理3的作用：任意项级数正项级数注:由定理3知绝对收敛必收敛,但反之不对.

定义3

若级数un

收敛,而级数

un

发散,n1

n1条件收敛.则说级数unn12n的敛散性.n(1

i)n例3.判别级数n1解:

,2n2=nnn(1

i)nn1n12收敛(?练习)n又nn1n12nn(1

i)n

级数绝对收敛,从而由定理3知此级数收敛.例4.ln

n证明级数条件收敛.inn1证明:1,ln

ninln

nn1n11

11n发散,由比较判别法知级数而

,ln

n

n级数n1n11发散,ln

n所以也发散.inln

nn1另一方面,ink

0(1)k

1

,ln(2k

) ln(2k

1)

(1)k

1

ik

1n1

ln

n1而1关于k单调减少,ln(2k)ln(2k

1)和11lim

0,

lim=0,k

ln(2k)k

ln(2k

1)1ln(2k)1ln(2k

1)均收敛,故级数由Leibnitz判别法知级数和k(1)kk

1(1)k

1得证.收敛.ln

ninn1例5.2n1(1

i)nn]是否收敛，是否绝对收敛.(1)n判断级数[n1np何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散.(1)n例6.

p是实数, 级数n1解:(1)npn如果p

0,limn不存在有限的极限,故发散.如果p

0,np(1)nn1

npn1

1

是

p

当

p

1

时,此级数收敛;

当

0

p

1

时,npn

np此级数发散,

但这时

1

单调减少,且lim

1

0,np收敛.(1)n由Leibnitz判别法知交错级数n1np(1)n级数n1综上所述,p

1

时,绝对收敛,条件收敛,0

p

1

时,p

0

时.发散,定理4绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛,且其和不变.定理5(Cauchy定理)也是绝对收敛且其和为s

.n1

n1

u1v1

(u1v2

u2v1

)

(u1vn

unv1

)

ukvn1k