上海市名校高三数学试卷和剖析

上海市名校高三数学试卷和答案解析上海市名校高三数学试卷和答案解析上海市名校高三数学试卷和答案解析2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（每题4分）1．已知会集A={x||2x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=．4x1x11）的最大值等于．2．函数f（x）=﹣x++（∈[﹣，]3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．4y=sin2x+cos2x的最小正周期为．．函数5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是．6．已知函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）．7．方程

（θ为参数）所表示曲线的准线方程是

．8．已知（和为

1﹣2x）n关于．

x的张开式中，只有第

4项的二项式系数最大，则张开式的系数之9．若变量x，y满足拘束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．10．若正三棱锥的正视图与俯视图以下列图（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．11abc为会集A={12345中三个不相同的数，经过以下列图算法框图给出．已知、、，，，，}的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．12．在△ABC中，=+m?，向量的终点M在△ABC的内部（不含界线），则实数m的取值范围是．13a}的前n项和S，对任意nN*，S=1nn3且（apa∈a++﹣+﹣）（n．已知数列{nnn（﹣）nn1﹣p）＜0恒建立，则实数p的取值范围是．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若是存在非零常数T，关于任意x∈D，都有f（x+T）=T?f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①若是“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③x“”函数f（x）=2是似周期函数；④若是函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）二、选择题（每题5分）15．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜﹣1或a＞1D．﹣1＜a＜116．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件17．双曲线22）（a＞λ＞b）的焦点坐标为（A．B．C．D．18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不相同数x1，x2，，xn，使得===，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．以下列图．1）求证：DC1⊥平面BCD；2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前面B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米办理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时辰，摄影者可否都能够将彩杆所有摄入画面？说明原由．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x）2+（y﹣y）2作两条切线，切点分别为P，Q．00=8（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递加函数，其反函数是﹣1（x）．y=f2﹣1（x＞），求y=f﹣1M；（1）若y=x（x）并写出定义域（2）关于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y=f（x）和

y=f﹣1（x）有交点，那么交点必然在

y=x

上．23．关于实数

a，将满足“0≤y＜1且

x﹣y为整数”的实数

y称为实数

x的小数部分，用记号||x||表示，关于实数a，无量数列{an}满足以下条件：a1=|a，an+1=其中n=1，2，3，（1）若a=，求数列{an}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有an=a，求吻合要求的实数a构成的会集A．（3）若a是有理数，设a=（p是整数，q是正整数，p、q互质），问关于大于q的任意正整数n，可否都有an=0建立，并证明你的结论．2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷参照答案与试题解析一、填空题（每题4分）241A=xx12B=xx}，则AB=12）．||，＜∩（﹣，．已知会集{﹣|＜}{|【考点】交集及其运算．【解析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再依照两个会集的交集的定义求得A∩B．【解答】解：会集A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}，24=x2x2B={x|x＜}{|﹣＜＜}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：（﹣1，2）．24x1x114．2．函数f（x）=﹣x++（∈[﹣，]）的最大值等于【考点】二次函数在闭区间上的最值．【解析】依照f（x）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]），可得函数在[﹣1，1]上是增函数，进而求得函数获取最大值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]）∴函数在[﹣1，1]上是增函数，故当x=1时，函数获取最大值为4，故答案为：4．3z满足=1i，则复数z的模等于．．复数+【考点】复数求模；二阶矩阵．【解析】由条件求得z==2﹣i，再依照复数的模的定义求得|z|．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．4y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．．函数【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【解析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为（fx）=sin（2x+），进而求得函数的最小正周期【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【解析】依照这组数据的平均数是10，写出平均数的表示式，获取关于

2．x的方程，求出其中x的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，获取结果．【解答】解：∵数据8，9，x，11，12的平均数是10，∴=10x=10，∴这组数据的方差是（4+4+0+1+1）=2故答案为：2．6．已知函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）log2x．【考点】反函数．【解析】由题意可得f（x）=logax，再依照它的图象过点（a2，a），求得a的值，可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=logax，再依照它的图象过点（a2，a），可得=2=a，即a=2，故f（x）=log2x，故答案为：log2x．7．方程（θ为参数）所表示曲线的准线方程是．【考点】参数方程化成一般方程．【解析】利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，求得曲线方程，x2=y（0≤y≤2），由抛物线的性质，即可求得示曲线的准线方程．【解答】解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，参数方程（θ为参数）化为一般方程可得x2=y（0≤y≤2），则抛物线的焦点在y轴正半轴上，焦点坐标为（0，），∴曲线的准线方程，故答案为：．8．已知（1﹣2x）n关于x的张开式中，只有第4项的二项式系数最大，则张开式的系数之和为1．【考点】二项式系数的性质．【解析】由题意求得n=6，再令x=1，可得张开式的系数之和．【解答】解：∵（1﹣2x）n关于x的张开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，∴．∴解得5＜n＜7，再依照n∈N，可得n=6，6故答案为：1．9x，y满足拘束条件，且z=2xy的最小值为﹣6，则k=﹣2．．若变量+【考点】简单线性规划．【解析】作出不等式对应的平面地域，利用线性规划的知识，经过平移即先确定z的最优解，尔后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面地域，（阴影部分）由z=2xyy=﹣2xz+，得+，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，k=﹣2，故答案为：﹣2．10．若正三棱锥的正视图与俯视图以下列图（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【解析】由正三棱锥的正视图与俯视图形状能够看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，这样其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积．【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图．依照三视图间的关系可得侧视图中底AB=，高，∴S△VAB=×AB×h=××=．故答案为：11．已知a、b、c为会集A={1，2，3，4，5}中三个不相同的数，经过以下列图算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．【考点】程序框图．【解析】由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为须要有5，列举出从会集A中选三个不相同的数的情况即可解决问题．【解答】解：由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必定要有5，从会集A={1，2，3，4，5}中选三个不相同的数共有10种取法：123、124、125、134、135、145、234、235、245、345，

5，则这三个数中必满足条件的

6种，因此概率为

．故答案为：

．12ABC中，=+m?，向量的终点M在△ABC的内部（不含界线），则．在△实数m的取值范围是0＜m＜．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【解析】以下列图，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=m?，+可知点M在线段DE上（不含点D，E），借助于点D，E即可得出．【解答】解：以下列图，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．∵=+m?，可知点M在线段DE上（不含点DE，）当点M取点D时，，可得m=0，而M在△ABC的内部（不含界线），因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M在△ABC的内部（不含界线），因此m．∴．故答案为：．13．已知数列{an}的前n项和S，对任意n∈N*，Sn++n﹣3且（a﹣p）（ann=（﹣1）ann+1n﹣p）＜0恒建立，则实数p的取值范围是．【考点】数列递推式．【解析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数谈论，求出数列通项公式，可得函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．再由（an+1﹣p）（an﹣p）＜0恒建立求得实数p的取值范围．【解答】解：由，得；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1==

．若n为偶数，则

，∴

（n为正奇数）；若n为奇数，则

=

=

，∴

（n为正偶数）．函数

（n为正奇数）为减函数，最大值为

，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为若（an+1﹣p）（an﹣p）＜0恒建立，

．则a1＜p＜a2，即

．故答案为：

．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若是存在非零常数T，关于任意x∈D，都有f（x+T）=T?f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①若是“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④若是函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）【考点】抽象函数及其应用．【解析】①由题意知f（x﹣1）=﹣f（x），进而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T?f（x）得x+T=Tx恒建立；进而可判断；③由f（x+T）=T?f（x）得2x+T=T2x恒建立；进而可判断；④由（fx+T）=T?f（x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒建立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒建立，进而可得，进而解得．【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，f（x﹣1）=﹣f（x），f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f（x），即x+T=Tx恒建立；故（T﹣1）x=T恒建立，上式不能能恒建立；故错误；③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f（x），即2x+T=T2x恒建立；故2T=T建立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f（x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒建立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒建立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒建立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正确；故答案为：①④．二、选择题（每题5分）15．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜﹣1或a＞1D．﹣1＜a＜1【考点】函数零点的判判定理．【解析】由函数的零点的判判定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数fx）=ax1在区间（﹣11f（﹣1f10（+，）上存在一个零点，则）（）＜，1a1a0，解得a1a1．即（﹣）（+）＜＜﹣或＞应选：C．16．已知空间直线l不在平面α内，则“直线（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件

l上有两个点到平面

α的距离相等”是“l∥α”的C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【解析】依照充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可获取结论．【解答】解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等建立，当直线和平面订交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不能立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，应选：B．17．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【解析】依照a2＞λ＞b2，将双曲线化成标准形式：，再用平方关系算出半焦距为c=，由此即可获取该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵a2＞λ＞b2，∴a2﹣λ＞0且λ﹣b2＞0，由此将双曲线方程化为∴设双曲线的半焦距为c，可得c==∵双曲线的焦点坐标为（±c，0）∴该双曲线的焦点坐标为（±，0）应选：B18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不相同数x1，x2，，xn，使得===，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11【考点】正弦函数的图象．【解析】作出函数f（x）的图象，设====k，则由数形结合即可获取结论．【解答】解：设====k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，应选：C．三、解答题19ABC﹣ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA=4，D是棱AA1．（理）已知直三棱柱1111的中点．以下列图．1）求证：DC1⊥平面BCD；2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判断．【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明DC1⊥平面BDC．（2）分别求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的大小．【解答】（理）（1）证明：按以下列图建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与

的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C

是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前面B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米办理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时辰，摄影者可否都能够将彩杆所有摄入画面？说明原由．【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【解析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈02π），则N（﹣cossinθ），由（Ⅰ）知S3），利用向量的数量积的坐[，θ，﹣（，﹣标表示可求cosMSN=∈[，1∠]，结合余弦函数的性质可求答案．【解答】解：（1）如图，不如将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC?tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cossin02π），θ，θ），θ∈[，则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．故=（cosθ3，sinθ），=（﹣cosθ3，﹣sinθ），﹣+﹣+∴?=（cos3cos3sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11θ﹣）（﹣θ﹣）+（||?||=×=×==由θ∈[0，2π）知||?||∈[11，13]cosMSN=∈[，1]，因此∠∴∠MSN＜60°恒建立故在彩杆转动的任意时辰，摄影者都能够将彩杆所有摄入画面21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x）2+（y﹣y）2P，Q．00=8作两条切线，切点分别为（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【解析】（1）由直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，可得OR=4，再由R在椭圆上，满足椭圆方程，求得点R的坐标，即可获取圆R的方程；（2）运用直线和圆相切的条件：d=r，结合二次方程的韦达定理和点R满足椭圆方程，化简整理，即可得证．【解答】解：（1）由题圆R的半径为，由于直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，因此，即，①又R（x0，y0）在椭圆C上，因此，②由①②及R在第一象限，解得，因此圆R的方程为：；（2）证明：由于直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，因此，化简得，同理有，因此k1，k2是方程的两个不相等的实数根，因此．又由于R（x0，y0）在椭圆C上，因此，即，因此，即2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递加函数，其反函数是y=f﹣1（x）．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）关于（1）的y=f﹣1﹣1（x1）﹣f（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1（x）有交点，那么交点必然在

y=x

上．【考点】反函数；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【解析】（1）由

，解得

x=

，把

x与

y互换，即可得出

y=f﹣1（x）；（2）任意取

x1∈M，x2∈M，x1≠x2，则，利用不等式的性质即可证明；（3）设（

a，b）是

y=f（x）和

y=f﹣1（x）的交点，即

，可得

a=f（b），b=f（a），对a与b的大小关系分类谈论，再利用反函数的性质即可证明．【解答】（1）解：由，解得x=，把x与y互换，可得y=f﹣1（x）=，x，M=．（2）证明：任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2，则，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（3）证明：设（a，b）是y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点，即，∴a=f（b），b=f（a），当a=b，显然在y=x上；当a＞b，函数y=f（x）是单调递加函数，∴f（a）＞f（b），∴b＞a矛盾；当a＜b，函数y=f（x）是单调递加函数，∴f（a）＜f（b），∴b＜a矛盾；因此，若y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点必然在y=x上．23．关于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，关于实数aa}满足以下条件：a，无量数列{=aa+=其n1|，n1中n=1，2，3，（1）若a=，求数列{an}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有aa构成的会集A．n=a，求吻合要求的实数（3）若a是有理数，设a=（p是整数，q是正整数，p、q互质），问关于大于q的任意正整数n，可否都有an=0建立，并证明你的结论．【考点】数列递推式．【解析】（1）由题设知=，a2====，由此能求出．（2）由a=a=a1＜4，由此进行分类谈论，能求出吻合要求的实数1||||，知，＜a构成的会集A．（3）建立．证明：由a是有理数，可知对所有正整数n，an为0或正有理数，可设，由此利用分类谈论思想能够推导出数列{am}中am以及它此后的项均为0，因此对不大q的自然数n，都有a=0n．【解答】解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1=，an+1=其中n=1，2，3，∴=，a2====，ak=，则ak+1===，因此．（2）∵a=a=a，∴14，1||||，∴＜＜①当，即1＜＜2时，==﹣1=a，因此a2+a﹣1=0，解得a=，（a=?（，1），舍去）．②当，即2≤＜3时，a2==，因此a2+2a﹣1=0，解得a==，（a=﹣?（，]，舍去）．③当，即3＜4时，，因此a2+3a﹣1=0，解得a=（a=，舍去）．综上，{a=，a=，a=}．（3）建立．证明：由a是有理数，可知对所有正整数n，an为0或正有理数，可设（pn是非负整数，qn是正整数，且既约）．①由，得0≤p1≤q；②若pn≠0，设qn=apn+β（0≤βPn，α，β是非负整数）则=a+，而由，得=，==，故Pn+1=β，qn+1=Pn，得0≤Pn+1＜Pn．若Pn=0，则pn+1=0，若a1，a2，a3，，aq均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．故a1，a2，a3，，aq中最少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得am=0．进而数列{am}中am以及它此后的项均为0，因此对不大q的自然数n，都有an=0．（其他解法可参照给分）2015-2016学年上海市罗店中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共56分）1．“x＞1”是“x2﹣x＞0”的条件．2．若复数（b∈R）的实部与虚部相等，则实数b的值为．3．函数的定义域为．4解为，则c﹣c=．．若线性方程组的增广矩阵为125．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．6．抛物线的焦点为椭圆的右焦点，极点在椭圆中心，则抛物线方程为．﹣1．7．函数f（x）=1+log2x（x≥2）的反函数f（x）=8．已知α、β∈（0，），若cos（α+β）=，sin（α﹣β）=﹣，则cos2α=．9．已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．10．若一个圆锥的侧面张开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．11．三位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则最少有2位同学上了同一车厢的概率为．12．已知满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是．13fx）是偶函数，且fx）在[0∞f（ax1fx2，．（（，+）上是增函数，若是+）≤（﹣）在[1上恒建立，则实数a的取值范围是．]14．设函数，则方程有个实数根．二、选择题（每题5分，共20分）15．如图为函数y=m+lognx的图象，其中

m、n为常数，则以下结论正确的选项是（

）A．m＜0，n＞1B．m＞0，n＞1C．m＞0，0＜n＜1D．m＜0，0＜n＜1160απsinαcosα=，则cos2α）．已知＜＜，+的值为（A．B．﹣C．±D．﹣17．若点P（x0，y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上，y=f﹣1（x）为函数y=f（x）的反函数．设P1（y0，x0），P2（﹣y0，x0），P3（y0，﹣x0），P4（﹣y0，﹣x0），则有（）A．点P1、P、P、P有可能都在函数y=f﹣1（x）的图象上234y=f﹣1（x）的图象上B．只有点P2不能能在函数C．只有点P3不能能在函数y=f﹣1（x）的图象上D．点P2、P3都不能能在函数y=f﹣1（x）的图象上18．以下命题2命题“若am＞bm，则a＞b”的抗命题是真命题；②若，，则在上的投影是；③在（+）16的二项张开式中，有理项共有4项；④已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为4；⑤复数的共轭复数是abiabR），则ab=6+（，∈﹣．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答以下各题必定写出必要步骤．19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．1）求A的大小；2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点．（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的全面积；（2）求异面直线AE与A1C所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）．21．已知函数f（x）=2x+a?2﹣x（a∈R）．1）谈论函数f（x）的奇偶性；2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）设F是C1的左焦点，E是C1右支上一点．若|EF|=2，求E点的坐标；2）设斜率为1的直线l交CPQ两点，若l与圆x2y2（1于、+=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C：4x2+y2、C上的动点，且OM⊥ON，求证：O到2=1．若M、N分别是C12直线MN的距离是定值．23．已知函数，m为正整数．（Ⅰ）求f1f0fxf（1x（）+（）和（）+﹣）的值；（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为（n=1，2，，m），求数列{an}的前m项和Sm；（Ⅲ）设数列{bn}满足：，bn+1=bn2+bn，设，若（Ⅱ）中的Sm满足对任意不小于3的正整数n，恒建立，试求m的最大值．2015-2016学年上海市罗店中学高三（上）期中数学试卷参照答案与试题解析一、填空题（每题4分，共56分）21．“x＞1”是“x﹣x＞0”的充分非必要条件．2【解析】由于“x﹣x＞0”能够求出x的范围，再依照充分必要条件的定义进行求解；若x＞1可得“x2﹣x＞0＞0，∴“x＞1”?“x2﹣x＞0”，∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分非必要条件，故答案为：充分非必要；2．若复数（b∈R）的实部与虚部相等，则实数b的值为2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本看法．【解析】经过复数的分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi，a，b∈R的形式，利用复数实部与虚部相等，求出实数b的值．【解答】解：复数===，由于复数（b∈R）的实部与虚部相等，因此b=2．故答案为：2．3的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣13．．函数，]【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【解析】由函数的意义可得，进而可求得f（x）=的定义域．【解答】解：依题意得：，即，∴﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x≤3．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，3]．4．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【解析】依照增广矩阵的定义获取

，是方程组

的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．5．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．【考点】等比数列的性质．【解析】先依照等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为6．抛物线的焦点为椭圆的右焦点，极点在椭圆中心，则抛物线方程为y2=4x．【考点】椭圆的简单性质；抛物线的标准方程．【解析】依照椭圆的方程，可得c==1，进而获取椭圆的右焦点为F（1，0），由此结合题意设抛物线方程为y2=2px，依照抛物线的简单几何性质算出2p=4，即可获取抛物线方程．【解答】解：∵椭圆的方程为，22=1∴a=5，b=4，可得c=因此，椭圆的右焦点为F（1，0）∵抛物线的焦点为F（1，0），且极点在原点∴设抛物线方程为y2=2px，可得=1，2p=42由此可得抛物线的方程为y=4x2故答案为：y=4x﹣1﹣1x﹣17．函数f（x）=1+log2x（x≥2）的反函数f（x）=f（x）=2（x≥2）．【解析】由x≥2，可得y=1+log2x≥2，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，把x与y互换即可得出反函数．【解答】解：∵x≥2，∴y=1+log2x≥2，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，故f﹣1（x）=2x﹣1（x≥2）．故答案为：f﹣1（x）=2x﹣1（x≥2）．8αβ0，），若cosαβ=，sinαβ=﹣，则cos2α=．．已知、∈（（+）（﹣）【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin（α+β）=，cos（α﹣β）=，再由cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]，利用两角和的余弦公式求出结果．0），若cos=，sin=﹣，∴sin【解答】解：∵α、β∈（，（α+β）（α﹣β）（α+β），cos（α﹣β）=，故cos2α=cosαβαβ=cosαβcosαβsinαβsinαβ=，[（+）+（﹣）]（+）（﹣）﹣（+）（﹣）故答案为．9．已知函数f（x）=e|x﹣a|（afx）在区间[1a的取值为常数）．若（，+∞）上是增函数，则范围是（﹣∞，1]．【考点】指数函数单调性的应用．【解析】由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1∞t=|x﹣aa∞1，+）上是增函数，又绝对值函数|在区间[，+）上是增函数，可得出[，+∞）?[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围【解答】解：由于函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=xa在区间[1∞|﹣|，+）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数因此[1，+∞）?[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]10．若一个圆锥的侧面张开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解析】经过侧面张开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面张开图是面积为2π的半圆面，由于4π=πl2，因此l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，因此圆锥的体积为：=．故答案为：．11．三位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则最少有2位同学上了同一车厢的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【解析】利用分步乘法原理求出三位同学乘同一列火车乘车方式；利用排列求出没有同学在同一节车厢的乘车方式，利用古典概型的概率公式求出没有同学在同一节车厢的概率；利用对峙事件的概率公式求出最少有2位同学上了同一车厢的概率．【解答】解：三位同学乘同一列火车，所有的乘车方式有103=1000没有同学在同一节车厢的乘车方式有A310=10×9×8=720没有同学在同一节车厢的概率为=，∴最少有2位同学上了同一车厢的概率为1﹣=．故答案为：．12．已知满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是[，2）．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【解析】先确定函数在R上单调增，再利用单调性的定义，建立不等式，即可求得a的取值范围．【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有＞0建立∴函数在R上单调增∴∴故答案为：[，2）．13fx）是偶函数，且fx）在[0f（ax1fx2，．（（，+∞）上是增函数，若是+）≤（﹣）在[1]上恒建立，则实数a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】不等式的综合；奇偶性与单调性的综合．【解析】本题观察的是不等式、函数性质以及恒建立有关的综合类问题．在解答时，应先分析好函数的单调性，尔后结合条件f（ax1fx﹣2）在[1+）≤（，]上恒建立，将问题转变为有关x的不等式在[，1]上恒建立的问题，在进行解答即可获取问题的解答．【解答】解：由题意可知：f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，∴由f（ax+1）≤f（x﹣2）在[，1]上恒建立，可知：|ax+1|≤|x﹣2|在[，1]上恒建立，∴1在[，]上恒建立，∴﹣2≤a≤0．20故答案为：[﹣，]．14．设函数，则方程有2n+1个实数根．【考点】函数迭代；根的存在性及根的个数判断．【解析】利用归纳法思想，先令n=1，可知方程22=4个根，再考虑当n=k+1时，会有fk+1（x）=±[fk（x）﹣]=，依此类推，每个方程去掉绝对值符号，都对应两个方程，而每个方程又会有两个根，由此可得结论．【解答】解：先令n=1，则有：|f0（x）﹣|=，∴或，可知有22=4个根；于是当n=k+1时，会有fk+1（x）=±[fk（x）﹣]=，依此类推，每个方n+1程去掉绝对值符号，都对应两个方程，而每个方程又会有两个根，进而能够获取有2个根．二、选择题（每题5分，共20分）15．如图为函数y=m+lognx的图象，其中

m、n为常数，则以下结论正确的选项是（

）A．m＜0，n＞1B．m＞0，n＞1C．m＞0，0＜n＜1D．m＜0，0＜n＜1【考点】对数函数的图象与性质．【解析】由图中特别地址：x=1时函数的值是负值，可得m的取值范围，再依照对数函数的性质即可．【解答】解：当x=1时，y=m，由图形易知m＜0．又∵函数是减函数，∴0＜n＜1．应选D．答案：D．16．已知0＜α＜π，sinα+cosα=，则cos2α的值为（）A．B．﹣C．±D．﹣【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．【解析】第一由已知条件与同角正余弦关系式列方程组，尔后解sinα（由于0＜α＜π），最后由余弦的二倍角公式解之．【解答】解：∵∴解得sinα=，又0＜α＜π，∴sinα=．y=f﹣1（x）的图象上．∴cos2α=1﹣2sin2α=．应选B．17Px，y）（xy≠0）在函数y=f（x）的图象上，y=f﹣1（x）为函数y=f（x）的．若点（0000反函数．设P1（y0，x0），P2（﹣y0，x0），P3（y0，﹣x0），P4（﹣y0，﹣x0），则有（）A．点P1、P2、P3、P4有可能都在函数y=f﹣1（x）的图象上B．只有点P不能能在函数y=f﹣1（x）的图象上2y=f﹣1（x）的图象上C．只有点P3不能能在函数D．点P2、P3都不能能在函数y=f﹣1（x）的图象上【考点】反函数．【解析】存在反函数的条件是原函数必定是一一对应的，尔后依照反函数的性质可判断点P1、P2、P3、P4可否有可能在函数【解答】解：互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性，单调函数才有反函数；存在反函数的条件是原函数必定是一一对应的依照点P（x，y）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上，则P（y，x）在反函数y=f﹣100100（x）的图象若点P1（y0，x0）与点P3（y0，﹣x0）都在反函数y=f﹣1（x）的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不吻合一一对应；若点P2（﹣y0，x0）在反函数图象上则点（x0，﹣y0）在函数y=f（x）的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不吻合一一对应；﹣1故点P2、P3都不能能在函数y=f（x）的图象上18．以下命题①命题“若am2＞bm2，则a＞b”的抗命题是真命题；②若，，则在上的投影是；③在（+）16的二项张开式中，有理项共有4项；④已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为4；⑤复数的共轭复数是abiabR），则ab=6+（，∈﹣．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【考点】二项式定理；命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算．【解析】依照题意，依次解析命题：关于①，先写出命题“若am2＞bm2，则a＞b”的抗命题举出反例当m=0时，命题不能立，则①不正确；关于②，由数量积计算在上的投影可得②不正确；③，写出（+）16的张开式通项解析可得其有理项共3项，则③错误；关于④，由方差的计算公式可得数据

x1，x2，x3，x4的平均数为

2，数据

x1+2，x2+2，x3

+2，x4+2的平均数为

2+2=4，则④正确；⑤，求出复数

的共轭复数是

2+3i，则可得

a=2，b=3，进而有ab=6，则⑤不正确；综合可得答案．【解答】解：依照题意，依次解析命题：①，命题“若am2＞bm2，则a＞b”的抗命题为“若a＞b，则am2＞bm2”，当m=0时，命题不能立，则①不正确；②，在上的投影是=﹣1，则②不正确；③，（+16的张开式通项为T+=Cr?）16﹣r?r=2rCr?，）r116（（）16当r=0、4、8时，为有理项，则其有理项共3项，则③错误；④，依照题意，由方差的计算公式22x2x2x2﹣42），而这组数据的方差为S=（x1+2+3+4，则这组数据x1，x2，x3，x4的平均数为2，即x1+x2+x3+x4）=2，则（x1+x2+x3+x4）=8，那么数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为（x+2+x+2+x+2+x+2）=（x+x+x+x+8）=4，则④正确；12341234⑤，复数=2﹣3i，则其共轭复数是23i，则a=2b=3ab=6⑤不正确；+，，有，则有1个命题正确；应选B．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答以下各题必定写出必要步骤．19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．1）求A的大小；2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，依照sinB不为0求出sinA的值，依照A为锐角求出A的度数即可；（2）由a，b，cosA的值，利用余弦定理求出c的值，依照b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）∵b=2asinB，∴由正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，a＜b＜c，∴A为锐角，则A=；（2）∵a=2，b=2，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=12+c2﹣2×2×c×，整理得：c2﹣6c+8=0，解得：c=2（舍去）或c=4，则S=bcsinA=×2×4×=2．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点．（1）求直三棱柱ABC﹣ABC的全面积；111（2）求异面直线AE与A1C所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【解析】（1）利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、直棱柱的表面积计算公式即可得出；（2）利用直角三角形的边角关系、余弦定理、异面直线所成的角即可得出．【解答】解：（1），，∴．（2）取BC的中点E，连AE，则AE∥AE，即∠CAE即为异面直线AE与AC所1111111111θ成的角．连接E1C．在Rt△ECC中，由，CC=2111知在Rt△A1C1C中，由A1C1=1，CC1=2知，在△A1E1C中，，∴．21．已知函数f（x）=2x+a?2﹣x（a∈R）．1）谈论函数f（x）的奇偶性；2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求a的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【解析】（1）分类谈论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得a值，进而可得结论；（2）由减函数可得对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）﹣f（x2）＞0，变形可得恒建立，又可得，可得a≥16．【解答】解：（1）∵f（x）=2x+a?2﹣x，f（﹣x）=2﹣x+a?2x，若f（x）为偶函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=f（﹣x），即2x+a?2﹣x=2﹣x+a?2x对任意的x∈R都建立．化简可得（2x﹣2﹣x）（1﹣a）=0对任意的x∈R都建立．由于2x﹣2﹣x不恒等于0，故有1﹣a=0，即a=1∴当a=1时，f（x）是偶函数；若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=﹣f（﹣x），即2x+a?2﹣x+2﹣x+a?2x=0，（2x+2﹣x）（1+a）=0对任意的x∈R都建立．由于2x+2﹣x不恒等于0，故有1+a=0，即a=﹣1∴当a=﹣1时，f（x）是奇函数，综上可合适a=1时，f（x）是偶函数；当a=﹣1时，f（x）是奇函数；当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．2）∵函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，∴对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）=恒建立．由，知恒建立，即恒建立．由于当x1＜x2≤2时，∴a≥1622．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）设F是C1的左焦点，E是C1右支上一点．若|EF|=2，求E点的坐标；（2）设斜率为1的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2相切，求证：OP⊥OQ；4x221=1（3）设椭圆C2：y分别是C1、COM⊥ON，求证：O到+=1．若M、N2上的动点，且直线MN的距离是定值．【考点】椭圆的简单性质．1|EF=2，建立方程，即可求E点的坐标．【解析】（）利用|（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，经过直线PQ与已知圆相切，获取b2=2，经过求解?=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=﹣x，求出|OM|2，|ON|2，设O到直线MN的距离为d，经过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．【解答】（1）解：左焦点．设E（x，y），则，由E是右支上一点，知，因此，得．因此．（2）证明：设直线PQ的方程是y=xb．因直线与已知圆相切，+故=1，即b=．由y=x+b与双曲线C1：2x2﹣y2=1联立，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=2b，x1x2=﹣b2﹣1，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．2因此?=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y=kx（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=﹣x．由y=kx与椭圆方程联立，得x2=，y2=，因此|ON|2=．2．同理|OM|=设O到直线MN的距离为d，由于（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，因此=+=3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．23．已知函数，m为正整数．（Ⅰ）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1﹣x）的值；（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为（n=1，2，，m），求数列{an}的前m项和Sm；（Ⅲ）设数列{bn}满足：，bn+1=bn2+bn，设，若（Ⅱ）中的Sm满足对任意不小于3的正整数n，恒建立，试求m的最大值．【考点】数列与函数的综合；数列的应用．【解析】（Ⅰ）由函数值的求法律x=1，x=0直接求解f（1）+f（0）；先求得f（1﹣x）再求解fxf1x（）+（﹣）．（Ⅱ）依照（Ⅰ）的结论，即=1，进而有ak+am﹣k=1，尔后由倒序相加法求解．（Ⅲ）将b2bb1，进而n+1=bn+n=bn（n+），取倒数转变成：有．尔后用错位相消法求得．再由sm构造恒建立，用最值法求解．【解答】解：（Ⅰ）=1；f（x）+f（1﹣x）===1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即k=1，由Sm=a1+a2+a3++am﹣1+am，①得Sm=am﹣1+am﹣2+am﹣3++a1+am，②由①+②，得2Sm=（m﹣1）×1+2am，∴，（Ⅲ）∵b2bb1），∴对任意的nN*b0．，n+1=bn+n=bn（n+∈，n＞∴，即．∴bn+1﹣bn=bn2＞0，∴bn+1＞bn，∴数列{bn}是单调递加数列．∴Tn关于n递加．当n≥3，且n∈N+时，Tn≥T3．∵∴．∴，∴m＜．而m为正整数，∴m的最大值为650．

=1，∴ak+am．2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1A={x||x2}，，则A∩B=．．已知会集|≤212cosθ5sinθ=AcosθφA0），则tanφ=．．已知﹣（+）（＞3f（x）=arcsin（2x1），则f﹣1（）=．．已知函数+4．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是

．5．已知函数

f（x）=3

x﹣1，

g（x

）=x2﹣2x﹣1，若存在实数

a、b使得

f（a）=g（b），则

b是取值范围是

．6．已知函数

f（x）=

若f（2﹣a2）＞f（a），则实数

a的取值范围为

．7．已知θ为锐角，且cos（θ+）=，则cosθ=．2b22的最小值是．8a0b＞0且ab=1，则（a2）+（+）．已知＞，++9fx）对任意x∈Rfx4fx=2f2），则f=x1|+mx2|+6|x．已知偶函数（都有（+）﹣（）（|﹣|﹣﹣3|在x=2时获取最小值，则实数m的取值范围是．11．已知f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）在[﹣，]上单调递加，则ω的取值范围是．12[﹣m，m]（m0f（x）=xcosxa0a1）的最大．若定义在＞）上的函数+（＞，≠值和最小值分别是M、N，则M+N=．13．在某一个圆中，长度为2、3、4的平行弦分别对应于圆心角α、β、α+β，其中α+β＜π，则这个圆的半径是．14．若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒建立，则实数a的取值范围是．二.选择题15．函数的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π16．已知y=f（x）是周期为2π的函数，当x∈[0，2π）时，f（x）=sin，则f（x）=的解集为（）A．{x|x=2kπ+，k∈Z}B．{x|x=2kπ+，k∈Z}C．{xx=2kkZ}D．{xx=2k1k，k∈Z}|π±，∈|π+（﹣）17“x＜”“x11”）．＜是不等式|﹣|＜建立的（A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不用要条件18．设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则以下结论中正确的选项是（）①对所有x∈（﹣∞，1）都有f（x）＞0；②存在x∈R+，使ax，bx，cx不能够构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．①②B．①③C．②③D．①②③三.解答题19ABC中，角A、B、C的对边分别为abcsinCcosBsinBcosC=3sinAcosB；．在△、、，且+1）求cosB的值；2）若?=2，且b=2，求ac的值．（+20．已知函数f（x）=，a，b∈R，a≠0，b≠0，f（1）=，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解；（1）求a、b的值；（2）当x∈（，]时，不等式（x+1）?f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒建立，求实数m的范围．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数将所得图象向右平移

f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π个单位长度后获取函数g（x）的图象；

2倍（纵坐标不变），再1）求函数f（x）与g（x）的解析式；2）当a≥1，求实数a与正整数n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019个零点．22．已知数列{an}的前n项和为S，且a*；n1=a（a∈R），an+1=，n∈N1）若0＜an≤6，求证：0＜an+1≤6；2）若a=5，求S2016；3）若a=（m∈N*），求S4m+2的值．25abRf1f1=14．23．已知函数f（x）=ax++（常数，∈）满足（）+（﹣）（1）求出a的值，并就常数b的不相同取值谈论函数f（x）奇偶性；（2）若f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，求b的最小值；（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：f（x）恰有一个零点q且存在递加的正整数数列{an}，使得=q+q+q++q+建立．2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷参照答案与试题解析一.填空题1．已知会集A={x||x|≤2}，，则A∩B={x|﹣2≤x＜1}．【考点】交集及其运算．【解析】求出会集A中绝对值不等式的解集确定出会集A；把会集B中的不等式转变成两个不等式组，求出不等式组的解集确定出会集B，尔后把求出的两会集的解集表示在数轴上，依照图形即可获取两会集的交集．【解答】解：由会集A中的不等式|x22x2，|≤，解得﹣≤≤∴会集A={x|﹣2≤x≤2}；由会集B中的不等式≤0，可化为：或，，解得：﹣5≤x＜1，∴会集B={x|﹣5≤x＜1}，把两会集的解集表示在数轴上，以下列图：依照图形得：A∩B={x|﹣2≤x＜1}．故答案为：{x|﹣2≤x＜1}．2．已知12cosθ﹣5sinθ=Acos（θ+φ）（A＞0），则tanφ=．【考点】三角函数的化简求值．【解析】利用辅助角和两角和与差的余弦函数对已知函数式进行变形，求得sinφ、cosφ的值．尔后依照同角三角函数关系进行解答．【解答】解：∵12cosθ﹣5sinθ=13（cosθ﹣sinθ）=13（cosφcosθ﹣sinφsinθ）=Acos（θ+φ）（A＞0），∴cosφ=，sinφ=，∴tanφ===．故答案是：．3．已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．【考点】反函数．【解析】欲求，只需令arcsin2x1）=求出x的值，依照原函数与反函数之（+间的关系可得结论．【解答】解：令arcsin（2x+1）=即sin=2x1=+解得x=故答案为：4．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是12（，]．【考点】对数函数的单调性与特别点．【解析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，即logax≥1，故有log21，由此求得a的范围，综合可得结论．a≥【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．5．已知函数f（x）=3x﹣1，g（x）=x2﹣2x﹣1，若存在实数a、b使得f（a）=g（b），则b是取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【考点】二次函数的性质．【解析】若存在实数a、b使得f（a）=g（b），则g（b）属于函数f（x）的值域，进而获取答案．x【解答】解：函数f（x）=3﹣1∈（﹣1，+∞），则g（b）=b2﹣2b﹣1＞﹣1，解得：b∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．已知函数

f（x）=

若f（2﹣a2）＞f（a），则实数

a的取值范围为

（﹣2，1）．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质．【解析】先依照二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，

进而获取函数（x）的单调性，由此性质转变求解不等式，解出参数范围即可．【解答】解：函数fx），当x≥0fx）=x24x，由二次函数的性质知，它在0∞）（时，（+[，+上是增函数，当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x）是定义在R上的增函数f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a解得﹣2＜a＜1实数a的取值范围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）7θcosθ）=，则cosθ=．．已知为锐角，且（+【考点】两角和与差的余弦函数．【解析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cosθ=cos）﹣]的值．[（【解答】解：∵θcosθ）=，∴θ为锐角，为锐角，且（++故sin（）==，则cosθ=cos[（）﹣]=cos（θ+）cos+sin（θ+）sin=?+?=，故答案为：．2b22的最小值是．8a0，b＞0ab=1，则（a2）+（+）．已知＞且++【考点】直线和圆的方程的应用．【解析】利用几何意义，转变求解即可．【解答】解：a＞0，b＞0且a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值就是（﹣2，﹣2）到直ab=1的距离的平方，线+依题意可得：=．故答案为：．9fx）对任意x∈R都有fx4fx）=2f2），则ffx）=2f（2），．已知偶函数（（+）﹣（（﹣（令x=﹣2，求出f（2）=0，进而函数f（x）是周期为4的函数，f，再由偶函数的定义得f2）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣2）=f（2），∵对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），令x=﹣2，则f（2）=f（﹣2）+2f（2），∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是最小正周期为4的函数，f=f（2）=0．故答案为：0．10fx）=x1|+mx2|+6|x3|在x=2时获取最小值，则实数m的取值范围．若函数（|﹣|﹣﹣是[5，+∞）．【考点】函数的最值及其几何意义．【解析】依照条件可得，化为分段函数，依照函数的单调性和函数值即可获取则解得即可．【解答】解：当x＜1时，f（x）=1﹣x+2m﹣mx+18﹣6x=19+2m﹣（m+7）x，当1≤x＜2时，f（x）=x﹣1+2m﹣m，x+18﹣6x=17+2m﹣（m+5）x，f（1）=12+m，2≤x＜3时，f（x）=x﹣1+mx﹣2m+18﹣6x=17﹣2m+（m﹣5）x，f（2）=7，当x≥3时，f（x）=x﹣1+mz﹣2m+6x﹣18=﹣19﹣2m+（m+7）x，f（3）=m+2，若函数f（x）=|x﹣1|+m|x﹣2|+6|x﹣3|在x=2时获取最小值，则解得m≥5，故m的取值范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞），11fx）=2sinx0）在[﹣，]上单调递加，则ω的取值范围是0．已知（（ω）（ω＞（，]．【考点】正弦函数的图象．【解析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω?≤，由此求得正数ω的范围．fx）=2sin（ωxω0）在[﹣，]上单调递加，则ω?≤，【解答】解：（）（＞ω∴≤故答案为：（0，]．12．若定义在[﹣m，m]（m＞0）上的函数f（x）=+xcosx（a＞0，a≠1）的最大值和最小值分别是M、N，则M+N=6．【考点】函数的最值及其几何意义．【解析】f（x）可化为3++xcosx，令g（x）=+xcosx，则f（x）=g（x）+3，依照函数的奇偶性可得g（x）在[﹣1，1]上关于原点对称，再依照函数的单调性可得．【解答】解：函数f（x）=+xcosx（﹣1≤x≤1）=3++xcosx，令g（x）=+xcosx，则f（x）=g（x）+3，由于g（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣g（x），且x∈[﹣1，1]，因此g（x）在[﹣1，1]上关于原点对称，即为奇函数，由于f（x）和g（x）单调性相同，因此f（x）取到最大值M时，相对应的x下的g（x）也取最大值M﹣3，同理f（x）有最小值m时，g（x）也取最小值N﹣3，g（x）最大值M'=M﹣3，最小值N'=N﹣3，由于g（x）关于坐标原点对称可得因此（M﹣3）+（N﹣3）=0，因此M+N=6．故答案为：6．13234的平行弦分别对应于圆心角αβαβαβπ．在某一个圆中，长度为、、、、+，其中+＜，则这个圆的半径是．【考点】直线与圆的地址关系．【解析】由题意，设圆的半径为r，则sin=，cos==，平方相加即可求出圆的半径．【解答】解：由题意，设圆的半径为r，则sin=，cos==，平方相加=1，∴r=．故答案为．22a2xy﹣34≥0恒建立，则实数14x，y满足x2y4=4xy，且不等式（x2y）a++．若正实数+++a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．【考点】基本不等式．【解析】原不等式恒建立可化为xy≥恒建立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒建立，解关于a的不等式可得．【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒建立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒建立，变形可得2xy（2a214a22a34+）≥﹣+恒建立，即xy≥恒建立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y44+2，+≥即2﹣?﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒建立，只需2≥恒建立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，故答案为：二.选择题15．函数

的最小正周期为（

）A．B．C．πD．2π【考点】三角函数的周期性及其求法．【解析】由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得用三角函数的周期公式即可求值得解．【解答】解：∵=2sin（2x+），

f（x）=2sin（2x+

），利∴最小正周期

T=

=π．应选：C．16．已知y=f（x）是周期为2π的函数，当x∈[0，2π）时，f（x）=sin，则f（x）=的解集为（）A．{x|x=2kπ+，k∈Z}B．{x|x=2kπ+，k∈Z}C．{xx=2kπkZ}D．{xx=2kπ1k，k∈Z}|±，∈|+（﹣）【考点】三角函数的周期性及其求法．【解析】先求出[0，2πx的取值，再由周期性获取全体定义域中的解集．）上的【解答】解：∵f（x）=sin=，x∈[0，2π），∴∈[0，π）．∴=或．∴x=或．∵f（x）是周期为2π的周期函数，∴f（x）=的解集为{x|x=2kπ±，k∈Z}．应选C17“x＜”“x11”）．＜是不等式|﹣|＜建立的（A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不用要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【解析】利用绝对值不等式的解法化简条件“不等式|x﹣1|＜1建立”，判断出两个会集的包含关系，依照小范围建立大范围内就建立，判断出前者是后者的充分不用要条件．【解答】解：由于|x11?1x11?0x2，﹣|＜﹣＜﹣＜＜＜由于{x|x0x2}?{|＜＜}，因此“”是“不等式|x﹣1|＜1建立”的充分不用要条件，应选A18．设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则以下结论中正确的选项是（）①对所有x∈（﹣∞，1）都有f（x）＞0；②存在x∈R+，使ax，bx，cx不能够构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】指数函数的图象与性质．【解析】①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明．②能够举反例进行判断．③利用函数零点的存在性定理进行判断．【解答】解：①∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）=ax+bx﹣cx=cx[+﹣1]＞cx?（）=cx?＞0，∴①正确．②令a=2，b=3，c=4，则a，b，c能够构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16却不能够构成三角形，∴②正确．a2+b2﹣c2＜0，③∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，则f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0，∴依照根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即?x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正确．应选：D三.解答题19ABC中，角A、B、C的对边分别为abcsinCcosBsinBcosC=3sinAcosB；．在△、、，且+1）求cosB的值；2）若?=2，且b=2，求ac的值．（+【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【解析】（1）由条件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得cosB=．（2）由两个向量的数量积的定义获取ac=6，再由余弦定理可得a2+c2=12，解方程组可求得a和c的值．【解答】解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得sin（B+C）=3sinAcosB，由于A、B、C是△ABC的三内角，因此sinBC）=sinA0（+≠，因此cosB=．（2）?=||?||cosB=ac=2，即ac=6，由余弦定理得2222accosB，因此22b=a+c﹣a+c=12，解方程组，得a=c=．因此ac=2．+20．已知函数f（x）=，a，b∈R，a≠0，b≠0，f（1）=，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解；（1）求a、b的值；2）当x]时，不等式（x1?fx）＞m（mx）﹣1恒建立，求实数m的范（∈（，+）（﹣围．【考点】函数恒建立问题；函数解析式的求解及常用方法．【解析】（1）依照题意，直接带入f（1），同时考虑f（x）=x有且仅有一个实数解，故可求出a．b值；（2）当x∈（，]时，不等式（x+1）?f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒建立，即可转变成：（x+1）fx）＞m（mx）﹣11mx＞m2﹣1；（﹣恒建立?（+）【解答】解：（1）∵f（x）=，且f（1）=；∴，即ab=2；+又只有一个实数解；∴x有且仅有一个实数解为0；b=1，a=1；f（x）=．（2）∵x∈（，]；x+1＞0；∴（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒建立?（1+m）x＞m2﹣1；当m+1＞0时，即m＞﹣1时，有m﹣1＜x恒建立?m＜x+1?m＜（x+1）min∴﹣1＜m≤；当m+1＜0，即m＜﹣1时，同理可得m＞（x+1）max=；∴此时m不存在．综上：m∈（﹣1，]．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π个单位长度后获取函数g（x）的图象；1）求函数f（x）与g（x）的解析式；2）当a≥1，求实数a与正整数n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019个零点．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【解析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求