(新高考)高考数学二轮复习小题考法专训(六)直线与圆

新高考)高考数学二轮复习小题考法专训(六)直线与圆小题考法专训(六)直线与圆A级——保分小题落实练一、选择题TOC\o"1-5"\h\z已知直线l：x+2ay—l=0,l:(a+l)x—ay=O,若l〃l,则实数a的值为()12123—2B.03~C.—°或0D.23解析：选C由l〃l得1x(—a)=2a(a+1)，即2a2+3a=0,解得a=0或a=—r.经1223检验，当a=0或a=—2时均有l〃l,故选C.212直线ax+y+3a—1=0恒过定点M,则直线2x+3y—6=0关于M点对称的直线方程为()A.2x＋3y—12=0B.2x—3y—12=0C.2x—3y＋12=0D.2x＋3y＋12=0fx+3=0,解析：选D由ax+y+3a—1=0,可得a(x+3)+(y—1)=0,令｛可得xy—1=0,=—3,y=1,・：M(—3,1),M不在直线2x+3y—6=0上，设直线2x+3y—6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+称的直线方程为2x+3y+c=0(cM—6)，则1|—6+3—6|I—6+3+c|4+94+9,解得c=12或c=—6(舍去)，•：所求方程为2x+3y+12=0,故选D.(2019•开封定位考试)已知圆(x—2)2+y2=9，贝V过点M(1,2)的最长弦与最短弦的长之和为()B.6A.4B.6C.8D.10解析：选D圆(x—2)2+y2=9的圆心为(2,0),半径为3,所以过点M的最长弦的长为6,最短弦的长为2\；32—[工；(2—1)2+(0—2)2]2=4,所以过点M的最长弦与最短弦的长之和为10,故选D.已知圆(x—1”+y2=1被直线x—；3y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为()A.1：2B.1：3D.1：5C.1：4

D.1：5解析：选A(解析：选A(x—1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1.圆心到直线的距离d=TOC\o"1-5"\h\z2n4n所以较短弧所对的圆心角为丁，较长弧所对的圆心角为丁，故两弧长之比为1：2,故选A.已知直线3x+ay=0(a>0)被圆(x—2”+y2=4所截得的弦长为2,则a的值为()A^'2B.V3C.2远D.2、焉解析：选B由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为冷3,即：9+=3,得a=\；3.已知圆(x—a)2+y2=1与直线y=x相切于第三象限，则a的值是()A.-J2B.—J2C.±-'2D.—2解析：选B依题意得，圆心(a,0)到直线x—y=0的距离等于半径，即有|a|=1,|a|=亦又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a=—；2，故选B.已知圆C过点A(2,4),B(4,2)，且圆心C在直线x+y=4上，若直线x+2y—t=0与圆C相切，则t的值为()A.—6±2\/5B.6±2、：5C.2衍±6D.6±4“75解析：选B因为圆C过点A(2,4),B(4,2),所以圆心C在线段AB的垂直平分线y=xy=x,上，又圆心C在直线x+y=4上，联立｛解得x=y=2，即圆心C(2,2),圆C的x+y=4,半径r=\；(2—2)2+(2—4)2=2.又直线x+2y—t=0与圆C相切，所以~±75=2,解得t=6±2诵.(2019•石家庄模拟)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(—1,0)和(2,3),则圆C的半径为()A.8B.2迈C.5D.掲解析：选D设圆的标准方程为(x—a)2+(y—b)2=r2(r>0),T圆C经过点(一1,0)和(2,3)，(a+1)2+b2=r2,.°.a+b—2=0.①但一2)2+(b—3)2=r2,又圆C截两坐标轴所得弦长相等，.・.|a|=|b|.②由①②得a=b=l,・：圆C的半径为诟，故选D.若点P(l,l)为圆C：X2+y2—6x=0的弦MN的中点，贝弦MN所在直线的方程为()A.2x+y—3=0B・x—2y+l=0C・x+2y—3=0D.2x—y—1=00—11解析：选D由圆的方程易知圆心C的坐标为(3,0),又P(l,l),所以kpC=^=—^.易知MN丄PC,所以kMN・kpC=—1,所以kMN=2•根据弦MN所在的直线经过点P(l,l)得所求直MNPCMN线方程为y—l=2(x—1),即2x—y—1=0.故选D.已知直线y=ax与圆C：x2+y2—6y+6=0相交于A,B两点，C为圆心.若△ABC为等边三角形,贝a的值为()A.1B.±1D.土边解析：选D圆的方程可以化为x2+(y—3)2=3，圆心为C(0,3)，半径为\：勺，根据△ABC为等边三角形可知AB=AC=BC=£，所以圆心C(0,3)到直线y=ax的距离d=¥"G=|,所以和总罟〜2=时°a=±屈圆(x—3)2+(y—3)2=9上到直线3x+4y—11=0的距离等于2的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：选B圆(x—3)2+(y—3)2=9的圆心为(3,3)，半径为3,圆心到直线3x+4y—11=0的距离d=|3X3^4^43-11|=2,・•・圆上到直线3x+4y—11=0的距离为2的点有2个.故选B.已知圆0：x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆0交于P,Q两点，则当△0PQ的面积最大时，直线l的方程为()x—y—3=0或7x—y—15=0x+y+3=0或7x+y—15=0x+y—3=0或7x—y+15=0x+y—3=0或7x+y—15=0解析：选D当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，则P(2,；'5),Q(2,—;'5),所以S△OPQ=|X2X^1I^5=^11I5.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y—1=k(x—2)^k^2^,3x3x=则圆心到直线l的距离d=^^=,所以|PQ|=2(9二d2,S=1x|PQ|xd=1X^9Td2xd1+k2^opq22□q—d2—Pd2999~=*J(9—d2)d2W2=2，当且仅当9—d2=d2，即d2=§时，取得最大值§，因为2叮5994k2—4k—19<2,所以S/PQ的最大值为2,此时k2—1=2,解得k=—1或k=—7,此时直线l的方程为x+y—3=0或7x+y—15=0,故选D.二、填空题已知直线l：y=2x，则过圆X2—y2—2x—4y+1=0的圆心且与直线l垂直的直线l112的方程为.解析：由题意，圆的标准方程为(x+1)2—(y—2)2=4,所以圆的圆心坐标为(一1,2)，所以所求直线的方程为y—2=—*(x+1)，即x—2y—3=0.答案：x—2y—3=0在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0,—8)，且与圆x2+y2—6x—6y=0相切于原点，则圆C的方程为，圆C被x轴截得的弦长为.解析：将已知圆化为标准方程得(x—3)2+(y—3)2=18，圆心为(3,3)，半径为3冷2.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y=x±.由于圆C过点(0,0),(0,—8)，所以圆心又在直线y=—4上.联立y=x和y=—4,得圆心C的坐标(一4,—4).又因为点(一4,—4)到原点的距离为4迈，所以圆C的方程为(x+4)2+(y+4)2=32，即x2+y2+8x+8y=0.圆心C到x轴距离为4,则圆C被x轴截得的弦长为2X\'(4./2)2—42=8.答案：X2—y2—8x+8y=08已知从圆C：(x+1)2—(y—2)2=2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M,O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析：如图所示，连接CM,CP.由题意知圆心C(—1,2),半径r=,'2.因为|PM|=|PO|，所以|PO|2—r2=|PC|2,所以x1+y1—2=(X]+1)2+—2)2,即2x1—4y1+3=0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可.当PO垂直于直线2x—4y+3=0时，即PO所在直线的方程为2x—y=0时，~2x—4y+3=0,|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，则｛,解得2x+y=0,10'故当|10'故当|PM|取最小值时点P的坐标为[―佥，I)y=5,答案：〔—10，5)(2019•合肥质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0,1),(0,3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M,使得直线0M与直线y=kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为.1＋3解析：由圆C过点(0,1),(0,3)知，圆心的纵坐标为〒=2,又圆C与x轴正半轴相切,所以圆的半径为2,则圆心的横坐标x=22—，即圆心为(浙，2),所以圆C的方程为(x—\‘3)2+(y—2)2=4.因为k>0,所以k取最小值时，直线y=—kx与圆相切，可得，即k2—4\：3k=0,解得k=4\：3(k=0舍去).答案：4爲B级——拔高小题提能练y［多选题］若实数x,y满足X2+y2+2x=0,则下列关于x—^的判断正确的是()A.x—1的最大值为\'勺B.x—1的最小值为一\'勺c・x—1的最大值为乎d.x—1的最小值为一乎解析：选CD由x2+y2+2x=0得(x+1)2+y2=1,表示以(一1,0)为圆心、1为半径的圆,x—1表示圆上的点(x,y)与点(1,0)连线的斜率，易知，x—1最大值为号，最小值为一(2019•成都二诊)在平面直角坐标系xOy中，M,N分别是x轴正半轴和y=x(x>0)图象上的两个动点，且|MN|=\S，贝y|0M|2+|0N|2的最大值是()A.4—2\S4B.3C.4D.4+2\：‘2解析：选Dnn直线y—x的倾斜角为4,所以由题意知ZM0N=4，贝恠厶MON中，|MN〔2=|0M|2+|0N|2—2|0M|•|ON|cosZMON,即卩2=|0M|2+|0N|2—72|OM|•|0N|三|0M|2+|0N|27•迎屮鉴整理，得|0M|2+|0叫2冬2—五=4+2迈，当且仅当|OM|=|ON|=匚五时，等号成立，即|0M|2+|ON|2的最大值为4+2也，故选D.已知A(—.'3,0),B(\；30),P为圆x2+y2=1上的动点，AP=PQ,过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M,若点M的横坐标为x,贝y|x|的取值范围是()A.|A.|x|三1B.|x|>lC.|x|22D．|x|普解析：选A由题意，设P(cos9,sin9),则Q(2cos9+\；3,2sin9C.|x|22D．|x|普解析：选A由题意，设P(cos9,sin9),则Q(2cos9+\；3,2sin9),所以kRpsin9冇不，所以直线pM的方程为“9+.'3)x+ysin9—r./3cos9—1=0,直线BQ的方程为xsin9—ycos9—\.'3sin3+cos93,9=°，联立解得x=1^'3cos9=3+3(1+^：s9)'因为1—^W1+^cos或x21,即|X|上1,故选A.9V0或0V1+V3cos9W1+V3，所以xW—1已知直线l：mx—y=1,若直线l与直线x+m(m—1)y=2垂直，则m的值为动直线l：mx—y=1被圆C：X2—2x+y2—8=0截得的最短弦长为.解析：因为直线mx—y=1与直线x+m(m—1)y=2垂直，所以mX1+(—1)Xm(m—1)=0,解得m=0或m=2.动直线l：mx—y=1过定点(0,—1),圆C：X2—2x+y2—8=0化为(x—1)2+y2=9，圆心(1,0)到直线mx—y—1=0的距离的最大值为■\；(0—1)2+(—1—0)2=\'2，所以动直线l被圆C截得的最短弦长为2\，：9—(2)2=2诟.答案：0或2