力学课件41、角量表示、转动定律

一、刚体的运动刚体：在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的======形状和体积的改变的物体的理想模型。（用质心运动讨论）4-1刚体的定轴转动的角量描述刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。（下一页）1、平动：一、刚体的运动刚体：在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的=12、转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）一般刚体的运动是既有平动又有转动：质心的平动加绕质心的转动各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（因为半径不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。转轴（下一页)）2、转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）一般刚体的运动是既有平2二、定轴转动的角量描述转动平面转轴参考方向各质元的线量（速度、加速度）一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同∴描述刚体整体的运动用角量最方便。（下一页）二、定轴转动的角量描述转动平面转轴参考方向各质3刚体运动学中所用的角量关系如下：角量方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。加速转动方向一致减速转动方向相反（下一页）线速度与角速度的关系：角速度角加速度刚体运动学中所用的角量关系如下：角量方向规定为沿轴方向，指向4在刚体作匀变速转动（角加速度是常量）时，相应公式:（下一页）非匀变速转动时：（例如T1-18）类似于匀变速直线运动，但是切记！在刚体作匀变速转动（角加速度是常量）时，（下一页）非匀变速5线量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量与线量的关系一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同；各点的线速度

v与各点到转轴的距离

r

成正比，距离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切向加速度和法向加速度也越大。。（下面作一下课本P149，T4-2）P112例1、P113例2，请同学们课下自己看看。线量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量与线量的关系6求：⑴t=6·0s时的转速；

⑵角加速随时间变化的规律；⑶启动后6·0s内转过的圈数。解：⑴根据题意转速随时间的变化关系，将t=6·0s代入，即得：（下一页）课本P149，T4-2，某种电动机启动后转速随时间变化式中的关系为：求：⑴t=6·0s时的转速；解：⑴根据题意转速随7⑶

t=6·0s时转过的角度为则t=6·0s时电动机转过的圈数下面学习“转动定律”⑵角加速度随时间变化的规律为：⑶t=6·0s时转过的角度为则t=6·084-2刚体定轴转动的转动定律一、力对转轴的力矩转动平面转动平面方向：右手螺旋法则（下一页）=力×力臂力矩大小：(1)力f

在转动平面内(2)力f

在转动平面外取其在转动平面内的分力产生力矩。4-2刚体定轴转动的转动定律一、力对转轴的力矩转动平面9课本P116例1

有一大型水坝高110m、长1000m，水深100m，水面与大坝表面垂直。求水作用在大坝上的力以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的轴的力矩。分析：这是由压强求压力，但是压强是随着水深变化的量，不能用“压强×表面积”来计算；然而在水深相同y处，压强P相等，可在此处取一高为dy，长为坝长L的表面积dA=Ldy，其上压强为P=P0+g（h-y），可认为是个不变量，则此面积元上的水压力dF=PdA。又由于水作用在坝面上的力方向均相同，所以垂直作用在大坝表面上的合力，由水底到水面积分可求得。同样，求力矩也要在水深为y

处，先求出dF的力矩dM=ydF，再积分求得合力矩。解：（下一页）课本P116例1有一大型水坝高110m、长1000m，水10合力矩为问题：如遇特大洪水，为保证大坝安全，用什么措施可减少水坝所受的力矩？——水深不可改变，即水压力的大小改变不了；但正压力的方向是可以改变的。大坝迎水表面修建得坡度缓一些，水压力对大坝基点Q的力矩即可减少。（下一页）合力矩为问题：如遇特大洪水，为保证大坝安全，用什么措施可减少11对mi用牛顿第二定律：切向分量式为：Fisini+fisini=miait二、转动定律zOrimifiiFii两边乘以riait=ri（下一页）在刚体上任取一质量元△mi，受到外力Fi，内力fi

。外力矩内力矩对mi用牛顿第二定律：切向分量式为：Fisini+fi12对所有质元的同样的式子求和：一对内力的力矩之和为零，所以有令J＝∑miri2，称为刚体对于定转轴的转动惯量用M表示合外力矩则有M＝J只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。刚体定轴转动的转动定律∑Firisini+∑firisini

=(∑miri2)∑Firisini

=（∑miri2）（下一页）对所有质元的同样的式子求和：一对内力的力矩之和为零，所以有令13M＝J与地位相当m:反映质点的平动惯性，J:反映刚体的转动惯性三、转动惯量J与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状（下一页）

力矩M是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力F是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因。M＝J与地位相当m:反映质点的平动惯性，J:反映刚体14····ZOamamaamm●一可忽略质量的轻质平面正方形框架，边长为a，其四个顶点上分别有一个质量为m的质点，求此质点系绕垂直于正方形平面且过其中心的轴OZ的转动惯量。Z’Z”●若转轴平移至正方形的一个顶点●若转轴平移至正方形的一边中点（下一页）例如：····ZOamamaamm●一可忽略质量的轻质平面正方形框15若质量连续分布在（SI）中，J的单位：kgm2质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布（下一页）若质量连续分布在（SI）中，J的单位：kgm2质量为线分布16解:J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。ROdm注意只有对于几何形状规则、质量连续分布的刚体，才能较简便地用积分计算出刚体的转动惯量（下一页）1、求质量为m、半径为R的均匀细圆环的转动惯量。

轴与圆环平面垂直并通过圆心。在圆环上任取质量元

dm解:J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。ROd172、求质量为m、半径为R、厚为l

的均匀圆盘

的===转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：任取半径为r宽为dr的同心细圆环,（下一页）可见，转动惯量与其厚度l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是

。2、求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的===转动惯183、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同

轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，dm=dx（下一页）3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同ABLXABL/2194、求半径为R、质量为

m的球体绕其直径为轴的转动惯量J。ORrZm解：在球体上沿垂直于转轴OZ取一半径====为r、高为dz

的小球台，其质量为：其绕OZ轴的转动惯量为：（下一页）（见P121表4-2）4、求半径为R、质量为m的球体绕其直径为轴的转动惯量20四、平行轴定理前例3中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，=======JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。=======两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：J＝JC＋md2。（下一页）这个结论称为平行轴定理。四、平行轴定理前例3中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量21例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）（下一页）解：棒mL饶其端点的转动惯量Z球饶Z

轴的转动惯量球绕其质心轴的转动惯量例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？22五、刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。解：（下一页）（滑轮的惯性不能忽略）mg五、刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ23例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。

求闸瓦对轮子的压力N为多大？

（假设飞轮的质量都集中在

轮缘上）μ=0.50.F0（下一页）解：飞轮匀减速制动时有角加速度例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每24外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。0Nfr（下一页）外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。0Nfr（下一页）25例3、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，重力矩为：（下一页）XOdmgdmxLl例3、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑26重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。必须是匀质细直棒。mgCdmgXOdmxc（下一页）重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样27（下一页）则积分得（下一页）则积分得28m2m1aaMR如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1

和m2的物体，且m1＞m2。设定滑轮是一质量为M，半径为R的圆盘。绳的质量略去不计，且绳与滑轮无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。如果略去滑轮的运动，将会得到什么结果？解：分别作出滑轮M、物体m1和m2的受力图。m1gT1m2gT2T1T2应用牛顿第二定律对M：（T1–T2）R=J⑶

应用转动定律（下一页）对m1：m1g–T1=m1a⑴对m2：T2–m2g=m2a⑵NP（N、P是对平衡力）故m1和m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。由于绳索质量不计，且长度不变，m2m1aaMR如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分29且由角量与线量的关系，有：a=R⑷解联立方程组⑴、⑵、⑶和⑷，可得：如果略去滑轮的运动，即T1=T2=T、J=0，有：（下一页）且由角量与线量的关系，有：a=R⑷解联30本次课重要概念：1、掌握角量与线量的关系。2、力矩、理解其意义并会计算；3、转动惯量，要求理解它的物理意义；不要求死记硬背其计算及其公式，常用了也就记住了。若考试时需要，可把公式提供给你。4、转动定律，要求象对待牛顿定律那样对待之。（下一页思考、作业）本次课重要概念：（下一页思考、作业）31作业：P150，T4---5、7、13ByeBye!力矩与力的关系及区别；合外力为零，合外力矩是否一定也为零；反之，合外力不为零，合外力矩是否也一定不为零？思考：作业：ByeBye!力矩与力的关系及区别32一、刚体的运动刚体：在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的======形状和体积的改变的物体的理想模型。（用质心运动讨论）4-1刚体的定轴转动的角量描述刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。（下一页）1、平动：一、刚体的运动刚体：在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的=332、转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）一般刚体的运动是既有平动又有转动：质心的平动加绕质心的转动各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（因为半径不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。转轴（下一页)）2、转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）一般刚体的运动是既有平34二、定轴转动的角量描述转动平面转轴参考方向各质元的线量（速度、加速度）一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同∴描述刚体整体的运动用角量最方便。（下一页）二、定轴转动的角量描述转动平面转轴参考方向各质35刚体运动学中所用的角量关系如下：角量方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。加速转动方向一致减速转动方向相反（下一页）线速度与角速度的关系：角速度角加速度刚体运动学中所用的角量关系如下：角量方向规定为沿轴方向，指向36在刚体作匀变速转动（角加速度是常量）时，相应公式:（下一页）非匀变速转动时：（例如T1-18）类似于匀变速直线运动，但是切记！在刚体作匀变速转动（角加速度是常量）时，（下一页）非匀变速37线量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量与线量的关系一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同；各点的线速度

v与各点到转轴的距离

r

成正比，距离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切向加速度和法向加速度也越大。。（下面作一下课本P149，T4-2）P112例1、P113例2，请同学们课下自己看看。线量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量与线量的关系38求：⑴t=6·0s时的转速；

⑵角加速随时间变化的规律；⑶启动后6·0s内转过的圈数。解：⑴根据题意转速随时间的变化关系，将t=6·0s代入，即得：（下一页）课本P149，T4-2，某种电动机启动后转速随时间变化式中的关系为：求：⑴t=6·0s时的转速；解：⑴根据题意转速随39⑶

t=6·0s时转过的角度为则t=6·0s时电动机转过的圈数下面学习“转动定律”⑵角加速度随时间变化的规律为：⑶t=6·0s时转过的角度为则t=6·0404-2刚体定轴转动的转动定律一、力对转轴的力矩转动平面转动平面方向：右手螺旋法则（下一页）=力×力臂力矩大小：(1)力f

在转动平面内(2)力f

在转动平面外取其在转动平面内的分力产生力矩。4-2刚体定轴转动的转动定律一、力对转轴的力矩转动平面41课本P116例1

有一大型水坝高110m、长1000m，水深100m，水面与大坝表面垂直。求水作用在大坝上的力以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的轴的力矩。分析：这是由压强求压力，但是压强是随着水深变化的量，不能用“压强×表面积”来计算；然而在水深相同y处，压强P相等，可在此处取一高为dy，长为坝长L的表面积dA=Ldy，其上压强为P=P0+g（h-y），可认为是个不变量，则此面积元上的水压力dF=PdA。又由于水作用在坝面上的力方向均相同，所以垂直作用在大坝表面上的合力，由水底到水面积分可求得。同样，求力矩也要在水深为y

处，先求出dF的力矩dM=ydF，再积分求得合力矩。解：（下一页）课本P116例1有一大型水坝高110m、长1000m，水42合力矩为问题：如遇特大洪水，为保证大坝安全，用什么措施可减少水坝所受的力矩？——水深不可改变，即水压力的大小改变不了；但正压力的方向是可以改变的。大坝迎水表面修建得坡度缓一些，水压力对大坝基点Q的力矩即可减少。（下一页）合力矩为问题：如遇特大洪水，为保证大坝安全，用什么措施可减少43对mi用牛顿第二定律：切向分量式为：Fisini+fisini=miait二、转动定律zOrimifiiFii两边乘以riait=ri（下一页）在刚体上任取一质量元△mi，受到外力Fi，内力fi

。外力矩内力矩对mi用牛顿第二定律：切向分量式为：Fisini+fi44对所有质元的同样的式子求和：一对内力的力矩之和为零，所以有令J＝∑miri2，称为刚体对于定转轴的转动惯量用M表示合外力矩则有M＝J只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。刚体定轴转动的转动定律∑Firisini+∑firisini

=(∑miri2)∑Firisini

=（∑miri2）（下一页）对所有质元的同样的式子求和：一对内力的力矩之和为零，所以有令45M＝J与地位相当m:反映质点的平动惯性，J:反映刚体的转动惯性三、转动惯量J与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状（下一页）

力矩M是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力F是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因。M＝J与地位相当m:反映质点的平动惯性，J:反映刚体46····ZOamamaamm●一可忽略质量的轻质平面正方形框架，边长为a，其四个顶点上分别有一个质量为m的质点，求此质点系绕垂直于正方形平面且过其中心的轴OZ的转动惯量。Z’Z”●若转轴平移至正方形的一个顶点●若转轴平移至正方形的一边中点（下一页）例如：····ZOamamaamm●一可忽略质量的轻质平面正方形框47若质量连续分布在（SI）中，J的单位：kgm2质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布（下一页）若质量连续分布在（SI）中，J的单位：kgm2质量为线分布48解:J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。ROdm注意只有对于几何形状规则、质量连续分布的刚体，才能较简便地用积分计算出刚体的转动惯量（下一页）1、求质量为m、半径为R的均匀细圆环的转动惯量。

轴与圆环平面垂直并通过圆心。在圆环上任取质量元

dm解:J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。ROd492、求质量为m、半径为R、厚为l

的均匀圆盘

的===转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：任取半径为r宽为dr的同心细圆环,（下一页）可见，转动惯量与其厚度l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是

。2、求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的===转动惯503、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同

轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，dm=dx（下一页）3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同ABLXABL/2514、求半径为R、质量为

m的球体绕其直径为轴的转动惯量J。ORrZm解：在球体上沿垂直于转轴OZ取一半径====为r、高为dz

的小球台，其质量为：其绕OZ轴的转动惯量为：（下一页）（见P121表4-2）4、求半径为R、质量为m的球体绕其直径为轴的转动惯量52四、平行轴定理前例3中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，=======JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。=======两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：J＝JC＋md2。（下一页）这个结论称为平行轴定理。四、平行轴定理前例3中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量53例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）（下一页）解：棒mL饶其端点的转动惯量Z球饶Z

轴的转动惯量球绕其质心轴的转动惯量例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？54五、刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。解：（下一页）（滑轮的惯性不能忽略）mg五、刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ55例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。

求闸瓦对轮子的压力N为多大？

（假设飞轮的质量都集中在

轮缘上）μ=0.50.F0（下一页）解：飞轮匀减速制动时有角加速度例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每56外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。0Nfr（下一页）外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。0Nfr（下一页）57例3、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。