(word完整版)专升本高等数学习题集及答案

TOC\o"1-5"\h\z理成立的g是【】1D.111D.A.—B.3316.设y二x3+27,那么在区间(—©3)和(1,+Q内分别为【】A.单调增加，单调增加B.单调增加，单调减小C.单调减小，单调增加D.单调减小，单调减小二、填空题曲线f(x)二x3—3x2+5的拐点为.曲线f(x)二xe2x的凹区间为。曲线f(x)二x3—5x2+3x+5的拐点为.函数y二2x2—Inx的单调增区间是.函数y二ex—x—1的极小值点为.函数y二2x3—9x2+12x—3的单调减区间是.函数y二2x2—lnx的极小值点为.函数y=ex-x的单调增区间是.函数y=x-2x的极值点为.曲线y=x4+2x3+6在区间(—^,0)的拐点为.曲线y二x3+3x2+1在区间(—8,0)的拐点为.曲线y二x3—3x2+6的拐点为.函数y二2x3—6x2+12x—8的拐点坐标为.函数y—2x3—3x2在x—有极大值.曲线y=x+arctanx在x二0处的切线方程是.曲线y二3x4—4x3+1在区间(0,+8)的拐点为.过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程是y=三、计算题11求极限lim(——)xt0xex—111求极限lim(——)x-0xsinxex—x—1求极限limx-0ln(1+x2)x14.求极限lim(-)xtix-1Inx11TOC\o"1-5"\h\z求极限lim(—-)XTOX2XSinX11求极限lim(—-)xTOxex-1x-sinx求极限lim-——xTOx(ex2-1)综合应用题设函数f(兀)=2x3-3x2+4.求函数的单调区间；(2)曲线y=f(x)的凹凸区间及拐点.设函数f(x)=x3-3x2+3.求函数的单调区间；(2)曲线y=f(x)的凹凸区间及拐点.设函数f(x)=x3-3x2一9x-1.求f(x)在［0,4］上的最值设函数f(x)=4x3-12x2+3.求函数的单调区间与极值；(2)曲线y=f(x)的凹凸区间及拐点.某企业每天生产x件产品的总成本函数为C(x)二2000+450x+0.02x2，已知此产品的单价为500元，求：当x=50时的成本；当x=50到x=60时利润变化多少？当x=50时的边际利润，并解释其经济意义。

设生产某种产品x个单位的总成本函数为C(x)二900+2x+x2，问：x为多少时能使平均成本最低，最低的平均成本是多少？并求此时的边际成本，解释其经济意义。某商品的需求函数为q二300-3p(q为需求量，P为价格)。问该产品售出多少时得到的收入最大？最大收入是多少元？并求q二30时的边际收入，解释其经济意义。某工厂要建造一个容积为300m2的带盖圆桶，问半径r和高h如何确定，使用的材料最省？9.某商品的需求函数为Q=10-2P(Q为需求量，P为价格).求P=2时的需求弹性，并说明其经济意义.当P二3时，若价格P上涨1%,总收益将变化百分之几?是增加还是减少?10.求函数f10.求函数f(x)=excosx在［-兀,兀］上的最大值及最小值。11.某商品的需求函数为Q=80P-侖P2Q为需求量，P为价格).求P二5000时的需求弹性，并说明其经济意义.当P二5000时，若价格P上涨1%,总收益将变化百分之几?是增加还是减少?12.某商品的需求函数为Q二65+8P-P2(Q为需求量，P为价格).求P二5时的边际需求，并说明其经济意义.求P二5时的需求弹性，并说明其经济意义.当P二5时，若价格P上涨1%,总收益将如何变化？14.某商品的需求函数为Q二40+2P-P2(Q为需求量，P为价格).求P二5时的边际需求，并说明其经济意义.求P二5时的需求弹性，并说明其经济意义.当P二5时，若价格P上涨1%,总收益将如何变化？15.某商品的需求函数为Q二35+4P-P2(Q为需求量，P为价格).求P二5时的边际需求，并说明其经济意义.求P二5时的需求弹性，并说明其经济意义.当P二5时，若价格P上涨1%,总收益将如何变化？16.设函数f(x)=4x3-12x2+3.求(1)函数的单调区间与极值；(2)曲线y=f(x)的凹凸区间及拐点.17.设某企业每季度生产的产品的固定成本为1000(元),生产x单位产品的可变成本为0.01x2+10x(元)•如果每单位产品的售价为30(元).试求：边际成本,收益函数,边际收益函数;当产品的产量为何值时利润最大,最大的利润是多少?设函数f(x)=x3+3x2一9x+1.求(1)函数的单调区间与极值；(2)曲线y=f(x)的凹凸区间及拐点.求函数f(x)=sinx+cosx在［0,兀］上的极值.20试求f(x)=x3-3x的单调区间，极值，凹凸区间和拐点坐标.五、证明题证明：当0Wx<+8时，arctanx<x。应用拉格朗日中值定理证明不等式：当0<a<b时，<In—<。baa3.设f(x)在［0,1］上可导，且f(1)=0。证明：存在E£(0,1)，使f程比+f点)=0成立。设f(x)在闭区间［0,兀］上连续，在开区间(0,兀)内可导，在开区间(0,兀)内，求函数g(x)=sinx-f(x)的导数.试证：存在:£(0,兀)，使f(Scot匚+f(匚)=0.设f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,在开区间(a,b)内，求函数g(x)=e-也•f(x)的导数.试证：对任意实数k，存在J£(a,b)，使f'(G=kf(匚).6.求函数f(x)=arctanx的导函数，⑵证明不等式：arctan3-arctan珥<〜-%其中x2>x「(提示：可以用中值定理)7.证明方程x5+3x2一10x-1二0有且只有一个大于1的根.8.证明方程x5+4x2-8x=1有且只有一个大于1的根.9.证明方程x5+3x2-7x二1有且只有一个大于1的根.10•设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,且存在点ce(a,b)使f(c)>0•证明：至少存在一点Ee(a,b)，使f〃忆)<0.11•设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：⑴存在Ee(0,1),使得f(E)=1-E；⑵存在两个不同的耳,Qe(0，1),使广们)广(匚)=112•设f(x)在［1，2］上有二阶导数，且f(1)=f(2)=0.又F(x)二(x-1)2f(x).证明：至少存在一点Ee(1,2)，使F"&)=013.证明方程x4+x-1二0在(0,1)上有且只有一个根.14.证明：当0<x<+8时，arctanx<x.15•设f(x)在(-«,+«)内满足关系式f'(x)=f(x)，且f(0)=1，则f(x)二ex。(提示:设辅助函数F(x)=Lex第五章不定积分一、填空题1.若F(x)是f(x)的一个原函数，则【】A.Jf(x)dx二F(x)+CB.Jf(x)dx二F(x)+CC・Jdf(x)二F(x)+CD.JdF(x)二f(x)+C2.若Jf(x)dx=e2x+x+C,则f(x)=【】A.2xe2x(1+x)B.2e2xC.e2xD.2e2x+13.下列哪个函数不是sm2x的原函数【】A.sin2xB.-cos2xC.-1cos2x2D.cos2x4.学dx=x2+C，则f(x)=【A.2x3C.x3D.3x35.若Jdx=x2+C,sinx2A.xsinx3则f(x)B.2xcosxC.2xsinxD.2xcosx36.若Jdx=x2+C,cosx2A.xsinx3则f(x)=B.2xcosxC.2xsinxD.2xcosx37.7.若f(x)二sinx2,则Jf'(x)dx=A.2x-cosx2B.sinx2C.cosx2+C设函数f(x)二3x3+x2,则if'(x)dx=D.sinx2+C9.C.J3x3+x2+Cx一4dx-[x+2】D.3x3+x21123A.―2x+CB.+CC.—x2+C2yx2.x310.Jsin2xdx二【】8.【】A.9x2+2xB.9x2+2x+C3D.x2—2x+C3cos2x+C2C.cos2x+CB.一sin2x+C-1cos2x+C2二、填空题1.2.设sinx是f(x)的一个原函数，则J[f(x)+x]dx二若Jf(x)dx=F(x)+C，则Jexf(ex)dx=1.2.1卩dx]'二.sin2x设F'(x)=f(x)，则Jf(x2)-2xdx二已知F'(x)二f(x)，则Jf(cosx)sinxdx二

设F'(x)二f(x)，则If(ln^)dx二.x设f(x)的一个原函数为lnx2,则If'(x)dx=.设f(x)的一个原函数为cosx2,则If'(x)dx=设f(x)的一个原函数为xex,则(Jf(x)d)=110.11.设[lnf(x)]'=，则f(x)10.11.1+x2已知f(x)二ex2，则1f'(x)dx=_已知f(x)的一个原函数为tanx,则Jf(x)f'(x)dx=I(ex+4x)dx=.14.J14.Jxdx=1.2.3.4.5.1.2.3.4.5.6.7.求I2-(Sin|+1)dx求Ix-e2xdx计算题：求Iarcsinxdx求Ie-xxdxcosx求I石市3dx求Jxsinxdxx-arctanx求Jdx1+x2求Ix-cosxdx求Jxj1+x求Iarccosxdxdx求J—-——dxxQ1一x求Ixe3xdx求Jdx1—x求Ix2-sinxdx求J*1(x-l)(x+3