九年级数学中考题型解析 多边形与平行四边形(试题部分)课件

九年级数学中考题型解析多边形与平行四边形九年级数学中考题型解析考点一多边形五年中考1.(2018济宁,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、

∠BCD,则∠P的度数是

()

A.50°

B.55°

C.60°

D.65°考点一多边形五年中考1.(2018济宁,8,3分)如图,在2答案

C在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=(5-2)×180°=540°,又因为∠A+

∠B+∠E=300°,所以∠BCD+∠CDE=240°.因为DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,所以∠PCD

=

∠BCD,∠PDC=

∠CDE,所以∠PCD+∠PDC=

(∠BCD+∠CDE)=

×240°=120°.在△PCD中,∠PCD+∠PDC+∠P=180°,所以∠P=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-120°=60°.思路分析根据五边形内角和求出∠BCD与∠CDE的和,再根据角平分线及三角形内角和求出∠P.答案

C在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠BCD+32.(2016临沂,7,3分)一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于

()A.108°

B.90°

C.72°

D.60°答案

C设这个正多边形的边数为n,则有(n-2)·180°=540°,解得n=5.因为多边形的外角和为360°,且正多边形的每一个外角都相等,所以这个正多边形的每一个外

角等于360°÷5=72°.故选C.思路分析

①根据内角和列方程求出边数,②根据外角和是360°求解.解题关键

掌握正多边形内角和公式及多边形的外角和定理是解题的关键.2.(2016临沂,7,3分)一个正多边形的内角和为540°43.(2018济南,15,4分)一个正多边形的每个内角都等于108°,则它的边数是

.答案5解析∵这个正多边形的每个内角都等于108°,∴它的每个外角都是180°-108°=72°.∵任何多

边形的外角和均为360°,∴这个多边形的边数为

=5.3.(2018济南,15,4分)一个正多边形的每个内角都等于5考点二平行四边形1.(2017东营,7,3分)如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,BF=8,AB=5,则AE的长为

()A.5

B.6

C.8

D.12考点二平行四边形1.(2017东营,7,3分)如图,在▱A6答案

B设AE与BF交于点O,连接EF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠EAB,∴∠EAB=∠AEB,∴AB=EB,由作图可得AB=AF,∴EB=AF,又∵AD∥BC,∴四边形ABEF是平行四边形,又AB=AF,∴▱ABEF是菱形.根据菱形的对角线互相垂直平分可得AE⊥BF,且AE=2AO,BO=

BF=4,在Rt△AOB中,根据勾股定理易得AO=3,所以AE=6.答案

B设AE与BF交于点O,连接EF,72.(2017青岛,7,3分)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=

,AC=2,BD=4,则AE的长为

()

A.

B.

C.

D.

答案

D∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=

AC=1,OB=

BD=2.在△AOB中,∵12+(

)2=22,即OA2+AB2=OB2,∴△AOB是直角三角形,且∠OAB=90°.∴BC=

=

=

.∵AE⊥BC,∠OAB=90°,∴AB·AC=BC·AE,∴AE=

=

=

.故选D.2.(2017青岛,7,3分)如图,▱ABCD的对角线AC与83.(2016淄博,7,4分)如图,△ABC的面积为16,点D是BC边上一点,且BD=

BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影的面积是

()

A.3

B.4

C.5

D.63.(2016淄博,7,4分)如图,△ABC的面积为16,点9答案

B设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h1,△CGH底边GH上的高为h2,

则有h=h1+h2,由题知S△ABC=

BC·h=16,S阴影=S△AGH+S△CGH=

GH·h1+

GH·h2=

GH·(h1+h2)=

GH·h.∵四边形BDHG是平行四边形,且BD=

BC,∴GH=BD=

BC,∴S阴影=

×

=

×

=

S△ABC=4.思路分析

本题考查三角形的面积的计算,平行四边形的性质,及整体思想,解题关键是能整

体求解.这里两阴影部分以公共边GH为底,则高的和等于△ABC中BC边上的高.答案

B设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边G104.(2016泰安,7,3分)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,

则AE+AF的值等于

()

A.2

B.3

C.4

D.6答案

C∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=8,AB=DC=6,AB∥CD,AD∥BC,∴∠1=∠

F,∠2=∠3,又∵CF平分∠BCD,∴∠1=∠2,又∠3=∠4,∴∠1=∠3=∠F=∠4,∴DE=DC=AB=6,则AE=AF=AD-DE=2,∴AE+AF的值等于4.

4.(2016泰安,7,3分)如图,在▱ABCD中,AB=6115.(2016济南,13,3分)如图,在▱ABCD中,AB=12,AD=8,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长

线于点E,CG⊥BE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为

()

A.

B.4

C.2

D.

5.(2016济南,13,3分)如图,在▱ABCD中,AB=12答案

C∵∠ABC的平分线交CD于点F,∴∠ABE=∠CBE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,AD∥BC,∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,∴CF=BC=AD=8,AE=AB=12,∴DE=4,∵DC∥AB,∴

=

,∴

=

,∴EB=6,∵CF=CB,CG⊥BF,∴BG=

BF=2,在Rt△BCG中,BC=8,BG=2,∴根据勾股定理得,CG=

=

=2

,故选C.审题技巧

题目中出现平行线和角平分线时,极易出现等腰三角形.答案

C∵∠ABC的平分线交CD于点F,审题技巧

136.(2018淄博,15,4分)在如图所示的▱ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在

△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于

.

答案10解析由题意知AD=AE=3,DC=CE=2,所以△ADE的周长为10.6.(2018淄博,15,4分)在如图所示的▱ABCD中,A147.(2018临沂,17,3分)如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD=

.

答案4

思路分析过点D作DE⊥BC交BC延长线于点E,构造直角三角形,利用勾股定理和平行四边形

的性质求解.解析如图,过点D作DE⊥BC交BC延长线于点E,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC=6,

∵AC⊥BC,∴AC=

=8=DE,∵BE=BC+CE=6+6=12,∴BD=

=4

.

7.(2018临沂,17,3分)如图,在▱ABCD中,AB=158.(2017临沂,18,3分)在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=4,BD=10,sin∠BDC=

,则平行四边形ABCD的面积是

.

答案24思路分析

先作出BD边上的高线,构造出Rt△CDE,应用三角函数,再利用平行四边形的面积

公式求出结果.解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=4.如图,过点C作CE⊥BD于E,在Rt△CDE中,∵sin∠EDC=

=

,CD=4,∴CE=

,∴S▱ABCD=2×

·BD·CE=24.

8.(2017临沂,18,3分)在平行四边形ABCD中,对角169.(2018济南,21,6分)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,E,F分别是DA和BC延长线上的点,且

AE=CF,连接EF交BD于点O.求证:OB=OD.

证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠E=∠F,∠EDO=∠FBO,∵AE=CF,∴BC+CF=DA+AE,∴DE=BF,∴△OBF≌△ODE,∴OB=OD.9.(2018济南,21,6分)如图,在平行四边形ABCD中1710.(2017淄博,19,5分)已知:如图,E,F为▱ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF,连接BE,DF.求证:BE=DF.

证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.又∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.∴BE=DF.10.(2017淄博,19,5分)已知:如图,E,F为▱AB18B组2014—2018年全国中考题组考点一多边形1.(2018内蒙古呼和浩特,3,3分)已知一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形是

()A.九边形

B.八边形

C.七边形

D.六边形答案

B设该多边形的边数为n,则由题意可得180(n-2)=1080,解得n=8.故选B.2.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为

()A.360°

B.540°

C.720°

D.900°答案

C由多边形外角和为360°,可知这个正多边形的边数为360°÷60°=6,由多边形内角和

公式可知内角和为180°×(6-2)=720°.故选C.3.(2017云南,10,4分)若一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是

()A.五边形

B.六边形

C.七边形

D.八边形答案

C设这个多边形的边数为n,由多边形内角和公式得(n-2)·180°=900°,解得n=7,即这个

多边形为七边形.故选C.B组2014—2018年全国中考题组1.(2018内蒙古呼194.(2017青海西宁,13,2分)若正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是

.答案9解析∵正多边形的外角和为360°,∴正多边形的边数=360°÷40°=9,∴正多边形的边数为9.5.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆

放方式如图所示,则∠AOB等于

度.

答案1084.(2017青海西宁,13,2分)若正多边形的一个外角是420解析如图,∵正五边形中每一个内角都是108°,∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°.∴∠COD=36°.∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.

解析如图,∵正五边形中每一个内角都是108°,216.(2017江西,16,6分)如图,已知正七边形ABCDEFG,请

,分别按下列要求画图.(1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形;(2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.

解析(1)如图.(画法有多种,正确画出一种即可,以下几种画法仅供参考)(3分)

6.(2017江西,16,6分)如图,已知正七边形ABCDE22(2)如图.(画法有两种,正确画出其中一种即可)(6分)(2)如图.(画法有两种,正确画出其中一种即可)(6分)237.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,

说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.解析(1)甲对,乙不对.∵θ=360°,∴(n-2)×180=360.解得n=4.∵θ=630°,∴(n-2)×180=630,解得n=

.∵n为整数,∴θ不能取630°.(2)依题意,得(n-2)×180+360=(n+x-2)×180.解得x=2.评析

本题是一道典型的把方程思想与多边形的内角和结合在一起的题目,解题的关键是熟

练掌握多边形的内角和公式,以及隐含的一个重要条件——多边形的边数是不小于3的正整

数,另外,还要知道一个常识性的结论:多边形边数每增加1,它的内角和增加180°.7.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和θ=(n-24考点二平行四边形1.(2018内蒙古呼和浩特,8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从①AB∥

CD;②BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是

平行四边形”这一结论的情况共有

()A.5种

B.4种

C.3种

D.1种答案

C能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有①③、①④、③④,共

3种.故选C.考点二平行四边形1.(2018内蒙古呼和浩特,8,3分)顺252.(2018安徽,9,4分)▱ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,

得出四边形AECF一定为平行四边形的是

()A.BE=DF

B.AE=CFC.AF∥CE

D.∠BAE=∠DCF答案

B当BE=DF时,如图1,易证△AFD≌△CEB,△ABE≌△CDF,从而AF=CE,AE=CF,所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意;当AF∥CE时,如图1,则∠AFE=∠CEF,从而∠AFD=∠CEB,又因为∠ADF=∠CBE,AD=BC,所以△AFD≌△CEB,则AF=CE,所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意;当∠BAE=∠DCF时,如图1,易证△ABE≌△CDF,可得∠AEB=∠CFD,AE=CF,所以∠AEF=∠CFE,所以AE∥CF,则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意;如图2,其中AE=CF,2.(2018安徽,9,4分)▱ABCD中,E,F是对角线B26但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意.

图1图2思路分析

依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意.思路分析

273.(2018河南,9,3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作

图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大

于

DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为

()

A.(

-1,2)

B.(

,2)

C.(3-

,2)

D.(

-2,2)3.(2018河南,9,3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(28答案

A如图,设AC与y轴交于点H.在▱AOBC中,AC∥OB,∴AH⊥y轴,∵A(-1,2),∴AO=

=

,由作图知OF平分∠AOB,∴∠AOF=∠BOF=∠AGO,∴AG=AO=

,HG=AG-AH=

-1,∴点G的坐标为(

-1,2).故选A.

思路分析

根据作图方法可知OF平分∠AOB,在▱AOBC中判定△AOG为等腰三角形,用勾股

定理可求相关边长度,进而求得点G的坐标.答案

A如图,设AC与y轴交于点H.思路分析

29方法总结

本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定理,主要载体为一种数学模型,

如下图,若存在3个条件:①AB∥CD,②CB平分∠ACD,③AC=AB.取任意两个作条件,一定能得

出第三个.

方法总结

本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定304.(2017贵州贵阳,8,3分)如图,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连

接CE,若△CED的周长为6,则▱ABCD的周长为

()

A.6

B.12

C.18

D.24答案

B∵EF垂直平分AC,∴AE=CE,∴△CED的周长=CE+DE+CD=AE+ED+CD=AD+CD=

6,∴▱ABCD的周长=(AD+CD)×2=6×2=12.故选B.4.(2017贵州贵阳,8,3分)如图,在▱ABCD中,对角315.(2017浙江丽水,7,3分)如图,在▱ABCD中,连接AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,则BC的长是

()

A.

B.2

C.2

D.4答案

C∵四边形ABCD是平行四边形,∠CAD=45°,∴∠ACB=∠CAD=45°,又∵∠ABC=45°,∴∠ABC=∠ACB,∴∠BAC=90°,在Rt△ABC中,AB=AC=2,∴BC=

=

=2

.5.(2017浙江丽水,7,3分)如图,在▱ABCD中,连接326.(2016河北,13,2分)如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处.若∠1=∠2=44°,则∠

B为

()

A.66°

B.104°

C.114°

D.124°答案

C设AB'与CD相交于点P,由折叠知∠CAB'=∠CAB,由AB∥CD,得∠1=∠BAB',∴∠

CAB=∠CAB'=

∠1=22°.在△ABC中,∠CAB=22°,∠2=44°,∴∠B=180°-22°-44°=114°.6.(2016河北,13,2分)如图,将▱ABCD沿对角线A337.(2018陕西,14,3分)如图,点O是▱ABCD的对称中心,AD>AB,E、F是AB边上的点,且EF=

AB;G、H是BC边上的点,且GH=

BC.若S1,S2分别表示△EOF和△GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是

.

答案2S1=3S2

解析如图,连接AC,BD,交点为O,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=OC,∴S△ABO=S△OBC,∵EF

=

AB,∴S1=

S△ABO,∵GH=

BC,∴S2=

S△OBC,所以2S1=3S2.

7.(2018陕西,14,3分)如图,点O是▱ABCD的对称348.(2017湖北武汉,13,3分)如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接

BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为

.

答案30°解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,AB∥DC,∠ABC=∠D,∴∠DAB+∠D=180°,∵∠D=100°,∴∠DAB=80°,∠ABC=100°.又∵∠DAB的平分线交DC于点E,∴∠EAD=∠EAB=40°.∵AE=AB,∴∠ABE=

×(180°-40°)=70°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°.8.(2017湖北武汉,13,3分)如图,在▱ABCD中,∠359.(2018福建,18,8分)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交

于点E,F.求证:OE=OF.

证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF.又∵∠DOE=∠BOF,∴△DOE≌△BOF,∴OE=OF.解后反思

本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等基础

知识.9.(2018福建,18,8分)如图,▱ABCD的对角线AC3610.(2017内蒙古包头,22,8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE

∥BA交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,已知CD=3.(1)求AD的长;(2)求四边形AEDF的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)

10.(2017内蒙古包头,22,8分)如图,在△ABC中,37解析(1)在△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°.∵AD是△ABC的角平分线,∴∠CAD=∠BAD=

∠BAC=30°.在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,CD=3,∴AD=6.(2)∵DE∥BA,DF∥CA,∴四边形AEDF为平行四边形,∠BAD=∠EDA.又∵∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠EDA,∴AE=DE,∴四边形AEDF为菱形.∵DE∥BA,∴∠CDE=∠B=30°.在Rt△CDE中,cos∠CDE=

,∴ED=

=2

.∴四边形AEDF的周长为4ED=4×2

=8

.解析(1)在△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,3811.(2017四川广元,18,7分)如图,在▱ABCD中,点E是AB边的中点,DE的延长线与CB的延长线交

于点F.求证:BC=BF.

证明如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,又∵点F在CB的延长线上,∴AD∥CF,11.(2017四川广元,18,7分)如图,在▱ABCD中,39∴∠1=∠2.∵点E是AB边的中点,∴AE=BE.在△ADE与△BFE中,

∴△ADE≌△BFE(AAS),∴AD=BF,∴BC=BF.∴∠1=∠2.40C组教师专用题组考点一多边形1.(2018乌鲁木齐,5,4分)一个多边形的内角和是720°,则这个多边形的边数是

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

C设这个多边形的边数为n,由多边形内角和公式得(n-2)·180°=720°,解得n=6.2.(2017新疆乌鲁木齐,5,4分)如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n的值是

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

C设正n边形外角的度数为x°,则与它相邻内角的度数为2x°,所以x+2x=180,解得x=60.

因为360÷60=6,所以这个正n边形是正六边形,故选C.3.(2016广西来宾,4,3分)如果一个正多边形的一个外角为30°,那么这个正多边形的边数是

()A.6

B.11

C.12

D.18答案

C这个正多边形的边数是360°÷30°=12,故选择C.C组教师专用题组1.(2018乌鲁木齐,5,4分)一个多边414.(2016四川广安,6,3分)若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条

数是

()A.7

B.10

C.35

D.70答案

C因为正n边形的每个内角为144°,所以每个外角为36°,所以这是个360°÷36°=10边形,

故共有

=35条对角线,故选择C.5.(2017江苏南京,14,2分)如图,∠1是五边形ABCDE的一个外角.若∠1=65°,则∠A+∠B+∠C+

∠D=

°.

答案425解析因为∠1=65°,所以∠AED=115°.因为五边形内角和是180°×(5-2)=540°,所以∠A+∠B+∠C+∠D=540°-115°=425°.4.(2016四川广安,6,3分)若一个正n边形的每个内角为426.(2017湖南邵阳,15,3分)如图所示的正六边形ABCDEF,连接FD,则∠FDC的大小为

.

答案90°解析由正多边形内角和公式(n-2)·180°可知,正六边形的内角和为720°,则∠FED=∠EDC=12

0°,又∵FE=ED,∴∠EFD=∠EDF=30°,∴∠FDC=120°-30°=90°.6.(2017湖南邵阳,15,3分)如图所示的正六边形ABC437.(2015烟台,14,3分)正多边形的一个外角是72°,则这个多边形的内角和的度数是

.答案540°解析正多边形的边数是

=5,所以该正多边形的内角和为180°×(5-2)=540°.8.(2016德州,14,4分)正六边形的每一个外角是

度.答案60解析解法一:由多边形的内角和公式,可知正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,∴每个内角

为

=120°,∴每个外角为180°-120°=60°.解法二:∵正六边形的外角和为360°,∴每个外角为

=60°.9.(2016陕西,12A,3分)一个正多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是

.答案8解析∵正多边形的外角和为360°,

=8,∴这个正多边形的边数为8.7.(2015烟台,14,3分)正多边形的一个外角是72°,44考点二平行四边形1.(2017辽宁阜新,7,3分)如图,将▱ABCD沿对角线BD折叠,点A落在点A'处,若∠A=55°,∠ABD=

45°,则∠A'BC的大小为

()A.30°

B.35°

C.40°

D.45°答案

B∵四边形ABCD是平行四边形,且∠A=55°,∴∠ABC=180°-∠A=125°,∵∠ABD=45°,∴∠ABD=∠A'BD=45°,∴∠ABA'=90°,∴∠A'BC=∠ABC-∠ABA'=35°.考点二平行四边形1.(2017辽宁阜新,7,3分)如图,将452.(2017湖南衡阳,8,3分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添

加的条件不正确的是

()A.AB=CD

B.BC=AD

C.∠A=∠C

D.BC∥AD答案

B因为如果一个四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形,选项A

正确;如果四边形的一组对边平行,别一组对边相等,这个四边形可能是等腰梯形,所以选项B错误;因为AB∥CD,则∠C=∠1(如图),如果∠A=∠C,则∠A=∠1,所以,AD∥BC,平行四边形ABCD的

两组对边平行,则这个四边形是平行四边形,所以C正确;如果平行四边形的两组对边平行,则这

个四边形是平行四边形,所以D正确.故选B.2.(2017湖南衡阳,8,3分)如图,在四边形ABCD中,463.(2017四川眉山,10,3分)如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若▱ABCD的

周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为

()

A.14

B.13

C.12

D.103.(2017四川眉山,10,3分)如图,EF过▱ABCD对47答案

C∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,OA=OC,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.∵▱ABCD的周长为18,∴2(AD+CD)=18,∴AD+CD=9.在△AEO和△CFO中,∵∠AOE=∠COF,OA=OC,∠EAO=∠FCO,∴△AEO≌△CFO,∴AE=CF,OE=OF.∴四边形EFCD的周长=EF+CF+CD+DE=(OE+OF)+(AE+DE+CD)=2OE+(AD+CD)=3+9=12.故选C.答案

C∵四边形ABCD是平行四边形,484.(2016湖南株洲,7,3分)已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中

点,以下说法错误的是

()

A.OE=

DC

B.OA=OCC.∠BOE=∠OBA

D.∠OBE=∠OCE答案

D∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,OA=OC,OB=OD,又∵点E是BC的中点,∴OE是△ABC和△BCD的中位线,∴OE∥AB,OE=

DC,∵OE∥AB,∴∠BOE=∠OBA,由条件推不出∠OBE=∠OCE,∴D错误.故选择D.4.(2016湖南株洲,7,3分)已知四边形ABCD是平行四495.(2016四川泸州,8,3分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△

ABO的周长是

()

A.10

B.14

C.20

D.22答案

B∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=6,AO=CO=

AC,BO=DO=

BD,∵AC+BD=16,∴AO+BO=8,∴△ABO的周长=AO+BO+AB=8+6=14,故选择B.5.(2016四川泸州,8,3分)如图,▱ABCD的对角线A506.(2017黑龙江龙东地区,17,3分)在平行四边形ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度是3和4

的两部分,则平行四边形ABCD的周长是

()A.22

B.20

C.22或20

D.18答案

C在平行四边形ABCD中,AD∥BC,则∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠

DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE,BC=BE+EC.①当BE=3,EC=4时,平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=2×(3+3+4)=20;②当BE=4,EC=3时,平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=2×(4+4+3)=22.故选C.6.(2017黑龙江龙东地区,17,3分)在平行四边形ABC517.(2015辽宁本溪,8,3分)如图,▱ABCD的周长为20cm,AE平分∠BAD,若CE=2cm,则AB的长度

是

()

A.10cmB.8cmC.6cmD.4cm答案

D∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA,∵AE

平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,设AB=CD=xcm,则AD=BC=(x+2)

cm,∵▱ABCD的周长为20cm,∴x+x+2=10,解得x=4,即AB=4cm,故选D.7.(2015辽宁本溪,8,3分)如图,▱ABCD的周长为2528.(2016东营,14,3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角线的

所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是

.

答案4解析当DE⊥BC时,DE最短,此时DE=AB=4.8.(2016东营,14,3分)如图,在Rt△ABC中,∠B539.(2016宁夏,13,3分)在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四

边形ABCD的周长是16,则EC等于

.

答案2解析在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE

=∠AEB.∴AB=BE=3.∴BC=

(16-2AB)=5.∴EC=BC-BE=2.9.(2016宁夏,13,3分)在平行四边形ABCD中,∠B5410.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在▱ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,

CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.(1)求证:△ABF≌△EDA;(2)延长AB与CF相交于点G.若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.

10.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在▱ABCD中,55证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=DE,BF=BC=AD,∠ABC=∠ADC,又∠CBF=∠CDE,∴∠ABF=∠ADE,在△ABF与△EDA中,AB=ED,∠ABF=∠EDA,BF=DA,∴△ABF≌△EDA.(2)由(1)知∠EAD=∠AFB,∴∠GBF=∠AFB+∠BAF=∠EAD+∠BAF,易知AD∥BC,∴∠DAG=∠CBG,∵AF⊥AE,∴∠EAF=90°,∴∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°,∴BF⊥BC.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=DE5611.(2018重庆A卷,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一

点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积;(2)若∠ACB=45°,求证:DF=

CG.

11.(2018重庆A卷,24,10分)如图,在平行四边形A57解析(1)∵AH=3,HE=1,AB=AE,∴AB=AE=AH+HE=4.∵BG⊥AE,∴∠AHB=90°,∴AB2=AH2+BH2,∴BH=

=

=

,∴S△ABE=

AE·BH=

×4×

=2

.

(4分)(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠FAO=∠ECO.∵点O为AC的中点,∴AO=CO.在△AOF和△COE中,∵∠FAO=∠ECO,AO=CO,∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE,解析(1)∵AH=3,HE=1,AB=AE,58∴DF=BE.

(6分)如图,过点A作AM⊥BC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GN⊥BC交BC于点N.

∴∠AMB=∠AME=∠GNC=∠GNB=90°,∴∠AHB=∠AMB.∵∠AQH=∠BQM,∴∠QAH=∠GBN.∵AB=AE,AM⊥BE,∴∠BAM=∠QAH,BM=ME,∴∠BAM=∠QAH=∠GBN.∴DF=BE. (6分)59∵∠ACB=45°,AM⊥BE,∴∠CAM=∠ACB=45°.∵∠BAG=45°+∠BAM,∠BGA=45°+∠GBN,∴∠BAG=∠BGA,∴AB=GB.∵AB=AE,∴AE=BG.在△AME和△BNG中,∠AME=∠BNG,∠EAM=∠GBN,AE=BG,∴△AME≌△BNG.∴ME=NG.∴BE=2ME=2NG.在Rt△GNC中,∵∠GCN=45°,∴CG=

NG.∴

CG=2NG,即BE=2NG=

CG.∴DF=BE=

CG.

(10分)∵∠ACB=45°,AM⊥BE,∴∠CAM=∠ACB=45°60思路分析

(1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角形的面积公式求得△ABE的面积;(2)

根据平行四边形的性质和全等三角形可得BE=DF.过点A作AM⊥BC,过点G作GN⊥BC,根据等

腰三角形的性质得∠BAM=∠QAH,BM=ME=

BE,通过求证∠BAM=∠GBN,可得∠BAG=∠BGA,进而可得AB=AE=BG,利用△AME≌△BNG,得出NG=ME=

BE,最后利用CG=

NG得出DF=BE=

CG.方法指导

对于以特殊四边形为背景的全等三角形的判定,一般都是通过特殊四边形的性质

找出证全等所需要的边或角的相等关系,从而进行证明.思路分析

(1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角6112.(2017辽宁大连,19,9分)如图,在▱ABCD中,BE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,DF⊥AC,垂足F

在AC的延长线上.求证:AE=CF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD且AB=CD,∴∠BAC=∠DCA,∴180°-∠BAC=180°-∠DCA,即∠BAE=∠DCF,又∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEA=∠DFC=90°.在△BEA和△DCF中,

∴△BEA≌△DFC(AAS),∴AE=CF.12.(2017辽宁大连,19,9分)如图,在▱ABCD中,6213.(2017山西,17,6分)已知:如图,在▱ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接

EF,与对角线AC交于点O.求证:OE=OF.

13.(2017山西,17,6分)已知:如图,在▱ABCD中63证明证法一:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.

(2分)∵BE=DF,∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF.

(3分)∵AB∥CD,∴AE∥CF,∴∠E=∠F,∠1=∠2,

(4分)∴△AOE≌△COF,

(5分)∴OE=OF.

(6分)

证法二:连接AF,CE.∵四边形ABCD是平行四边形,证明证法一:∵四边形ABCD是平行四边形,64∴AB∥CD,AB=CD.

(2分)∵BE=DF,∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF.

(3分)∵AB∥CD,∴AE∥CF,

(4分)∴四边形AECF是平行四边形,

(5分)∴OE=OF.

(6分)

∴AB∥CD,AB=CD. (2分)6514.(2017新疆,18,8分)如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.(1)求证:△ACD≌△CBE;(2)连接DE,求证:四边形CBED是平行四边形.

14.(2017新疆,18,8分)如图,点C是AB的中点,A66证明(1)∵点C是AB的中点,∴AC=BC.在△ACD与△CBE中,

∴△ACD≌△CBE(SSS).(2)连接DE.

∵△ACD≌△CBE,∴∠ACD=∠CBE,∴CD∥BE,又∵CD=BE,∴四边形CBED是平行四边形.思路分析

(1)根据“边边边”证明△ACD≌△CBE;(2)由三角形全等得∠ACD=∠CBE,从

而得出CD∥BE,根据一组对边平行且相等证四边形CBED是平行四边形.解题关键

熟练掌握平行四边形的判定,三角形全等的判定和性质是解决本题的关键.证明(1)∵点C是AB的中点,∴AC=BC.思路分析

6715.(2017内蒙古赤峰,18,6分)已知平行四边形ABCD.(1)尺规作图:作∠BAD的平分线交直线BC于点E,交DC的延长线于点F(要求:尺规作图,保留作

图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,求证:CE=CF.15.(2017内蒙古赤峰,18,6分)已知平行四边形ABC68解析(1)作图如下:

(2)证明:∵四边形ABCD是平形四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵AF平分∠BAD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠4,∴CE=CF.解析(1)作图如下:6916.(2015莱芜,21,9分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,分别以AB、AC为直角边向

外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,G为BD的中点,连接CG、BE、CD,BE与CD交于点F.(1)判断四边形ACGD的形状,并说明理由;(2)求证:BE=CD,BE⊥CD.

16.(2015莱芜,21,9分)如图,△ABC是等腰直角三70解析(1)四边形ACGD是平行四边形.∵△ABC和△ABD都是等腰直角三角形,∴AB=

AC,BD=

AB,∴BD=2AC,

(1分)又∵G为BD的中点,∴AC=DG,

(2分)∵∠CAB=∠ABD=45°,∴AC∥BD.

(3分)∴四边形ACGD是平行四边形.

(4分)(2)证明:由题意知,BC=CA,CE=AD,∠BCE=∠CAD=135°,∴△BCE≌△CAD.

(5分)∴BE=CD,∠CBE=∠ACD,∵∠ACD+∠BCD=90°,∴∠CBE+∠BCD=90°.

(8分)∴∠CFB=90°,即BE⊥CD.

(9分)解析(1)四边形ACGD是平行四边形.7117.(2016广西百色,22,8分)已知平行四边形ABCD中,CE平分∠BCD且交AD于点E,AF∥CE且交

BC于点F.(1)求证:△ABF≌△CDE;(2)如图,若∠1=65°,求∠B的大小.

17.(2016广西百色,22,8分)已知平行四边形ABCD72解析(1)证明:∵CE平分∠BCD,

∴∠2=∠3.∵AF∥CE,∴∠4=∠3.∴∠2=∠4.又∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD,∴△ABF≌△CDE.(2)∵CE平分∠BCD,∴∠2=∠3.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠1=∠3.∴∠1=∠2=65°.∵△ABF≌△CDE,∴∠4=∠5=∠1=∠2=65°.在△ABF中,∠B=180°-65°-65°=50°.解析(1)证明:∵CE平分∠BCD,7318.(2016陕西,19,7分)如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上

取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AF∥CE.

18.(2016陕西,19,7分)如图,在▱ABCD中,连接74证明如图,∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC.∴∠1=∠2.

(2分)又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD.∴DF=BE.

(4分)∴△ADF≌△CBE.

(5分)∴∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.

(7分)证明如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥CE. (7519.(2016浙江台州,23,12分)定义:有三个内角相等的四边形叫三等角四边形.(1)三等角四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,求∠A的取值范围;(2)如图,折叠平行四边形纸片DEBF,使顶点E,F分别落在边BE,BF上的点A,C处,折痕分别为

DG,DH.求证:四边形ABCD是三等角四边形;(3)三等角四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,若CB=CD=4,则当AD的长为何值时,AB的长最大,其

最大值是多少?并求此时对角线AC的长.

19.(2016浙江台州,23,12分)定义:有三个内角相等76解析(1)∵180°<3∠A<360°,∴60°<∠A<120°.(2)证明:∵四边形DEBF是平行四边形,∴∠E=∠F,∠E+∠B=180°.由折叠,得∠E=∠DAE,∠F=∠DCF,∴∠DAE=∠DCF,∴∠DAB=∠DCB,∵∠DAB+∠DAE=180°,∴∠DAB=∠B,∴∠DAB=∠DCB=∠B,∴四边形ABCD是三等角四边形.(3)①当60°<∠A<90°时,如图1所示,过点D作DF∥AB交BC于点F,作DE∥BC交AB于点E.∴四边形BEDF是平行四边形,∠DFC=∠B=∠DEA,∴EB=DF,DE=FB.∵∠A=∠B=∠C,∠DFC=∠B=∠DEA,∴∠A=∠DEA=∠C=∠DFC,解析(1)∵180°<3∠A<360°,∴60°<∠A<177∴△DAE∽△DCF,又AD=DE,DC=DF=4,设AD=x,AB=y,则AE=y-4,CF=4-x,由△DAE∽△DCF,得

=

,∴

=

.∴y=-

x2+x+4=-

(x-2)2+5,∴当x=2时,y的最大值等于5.∴即当AD=2时,AB的长最大,最大值是5.

图1∴△DAE∽△DCF,78②当∠A=90°时,三等角四边形ABCD是正方形,则AD=AB=CD=4.③当90°<∠A<120°时,则∠D为锐角,如图2所示,

图2∵AE=4-AB>0,∴AB<4.综上所述,当AD=2时,AB的长最大,最大值是5.此时,AE=1,如图3,过点C作CM⊥AB于点M,过点D作DN⊥AB于点N.

图3②当∠A=90°时,三等角四边形ABCD是正方形,则AD=A79∵DA=DE,DN⊥AB.∴AN=

AE=

.∵∠DAN=∠CBM,∠DNA=∠CMB=90°,∴△DAN∽△CBM.∴

=

.∴BM=1,∴AM=4,CM=

.∴AC=

=

.∵DA=DE,DN⊥AB.80A组2016—2018年模拟·基础题组考点一多边形(2018莱芜模拟,7)若某凸n边形的每个外角都是36°,则从一个顶点出发可引的对角线条数是

()A.6B.7C.8D.9三年模拟答案

B360°÷36°=10,10-3=7,故从一个顶点出发可引的对角线条数是7.A组2016—2018年模拟·基础题组三年模拟答案

81考点二平行四边形1.(2018聊城一模,11)如图,在▱ABCD中,E是边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'

与CE交于点F,若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED'的度数为

()

A.40°B.36°

C.50°

D.45°答案

B∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=52°,由折叠的性质得∠D'=∠D=52°,∠

EAD'=∠DAE=20°,∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∠AED'=180°-∠EAD'-∠D'=108°,∴∠FED'=∠AED'-∠

AEF=108°-72°=36°.考点二平行四边形1.(2018聊城一模,11)如图,在▱A822.(2017济宁嘉祥一模,5)如图,在▱ABCD中,AB>AD,按以下步骤作图:以点A为圆心,小于AD的

长为半径画弧,分别交AB、AD于点E、F;再分别以点E、F为圆心,大于

EF的长为半径画弧,两弧交于点G;作射线AG交CD于点H,则下列结论中不能由条件推理得出的是

()

A.AG平分∠DAB

B.AD=DHC.DH=BC

D.CH=DH答案

D根据作图的步骤可知AG平分∠DAB,∴∠DAH=∠BAH,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,CD∥AB,∴∠DHA=∠BAH,∴∠DAH=∠DHA,∴AD=DH,∴BC=DH,由条件推不出CH=DH,故选D.2.(2017济宁嘉祥一模,5)如图,在▱ABCD中,AB>833.(2016泰安模拟,7)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,过点C的直线CE⊥AB,交BA的延长

线于E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为

()

A.53°

B.37°

C.47°

D.123°答案

B∵CE⊥AB,∴∠E=90°.∵∠EAD=53°,∴∠EFA=90°-53°=37°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠BCE=∠EFA=37°.故选B.3.(2016泰安模拟,7)如图,已知四边形ABCD是平行四844.(2018聊城莘县一模,20)如图,在▱ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,CE⊥AB,垂足为E,AF

⊥BC,垂足为F,AF与CE相交于点G.(1)证明:△CFG≌△AEG;(2)若AB=4,求四边形AGCD的对角线GD的长.

4.(2018聊城莘县一模,20)如图,在▱ABCD中,E、85解析(1)证明:∵E、F分别是AB、BC的中点,CE⊥AB,AF⊥BC,∴∠AFC=∠CEA=90°,AB=AC,AC=BC,∴AB=AC=BC,∴AE=CF,∠B=60°.∴∠BAF=∠BCE=30°,在△CFG和△AEG中,

∴△CFG≌△AEG(ASA).(2)由(1)知AB=BC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形,∵△CFG≌△AEG,∴AG=CG.易得GA⊥AD,GC⊥CD,∴DG平分∠ADC,∴∠ADG=

∠ADC=

∠B=30°,∵AD=AB=4,∴在Rt△ADG中,DG=

=

.解析(1)证明:∵E、F分别是AB、BC的中点,CE⊥AB86B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题(共3分)(时间:15分钟分值:20分)1.(2017日照莒县一模,13)如图,在▱ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半

径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是

()

A.3-

B.3-

C.4-

D.4-

答案

A作DF⊥AB于点F,∵AD=2,∠A=30°,∠DFA=90°,∴DF=1,∵AD=AE=2,AB=4,∴BE=

2,∴阴影部分的面积是4×1-

-

×1×2=3-

,故选A.B组2016—2018年模拟·提升题组(时间:15分钟87二、填空题(每小题3分,共9分)2.(2018德州禹城等五县一模,18)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上的一点,且BC

=EC,CF⊥BE于点G,交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠

DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确的有

.(填序号)

答案①②③④二、填空题(每小题3分,共9分)答案①②③④88解析∵BC=EC,∴∠CEB=∠CBE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CEB=∠EBF,∴∠CBE=∠EBF,∴BE平分∠CBF,∴①正确;∵BC=EC,CF⊥BE,∴∠ECF=∠BCF,∴CF平分∠DCB,∴②正确;∵DC∥AB,∴∠DCF=∠CFB,∵∠ECF=∠BCF,∴∠CFB=∠BCF,∴BC=BF,∴③正确;∵BC=FB,CF⊥BE,∴FG=CG,∴△PCF是以CF为底边的等腰三角形,∴PF=PC,故④正确.解析∵BC=EC,∴∠CEB=∠CBE,893.(2017济宁微山模拟,14)如图,平行四边形ABCD中,∠ABD=30°,AB=4,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足

分别为点E,F,且E,F恰好是BD的三等分点,如果M、N分别是AB,CD的中点,那么四边形MENF

的面积是

.

答案

3.(2017济宁微山模拟,14)如图,平行四边形ABCD中90解析∵∠ABD=30°,AE⊥BD,∴AE=AB·sin30°=2,BE=AB·cos30°=2

,∵E,F为BD的三等分点,∴BF=EF=

BE=

.又∵AM=BM,∴MF是△ABE的中位线.∴MF=

AE=1.又MF⊥BE,∴S△MEF=

,同理可得S△NEF=

,∴S四边形MENF=

.解析∵∠ABD=30°,AE⊥BD,∴AE=AB·sin914.(2016济南天桥一模,21)如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段

AB上,连接EF、CF.则下列结论中一定成立的是

.(把所有正确