方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案

方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案一.选择题1.解方程组：x"+xy=Ox2+4xy+4y2=91.解方程组：【解析】【分析】由第一个等式可得X【解析】【分析】由第一个等式可得X(x+y)=0,从而讨论可①x=0,②XH0,合第二个等式(x+2y)2=9可得出x和y的值.【详解】Vx(x+y)=0»当x=0时,(x+2y)2=9,33解得：yi=-=--；乙乙当xhO,x+y=0时，•/x+2y二±3,\=-3尸3(x+y)=0,这两种情况下结解得：x=3y=-3x1=0==0厲=-33「bV1=~2'2【答案】Xi=0x2=0-S=一33「3/Mr”=-1-2卜3=3综上可得，原方程组的解是A4=3.儿=-3【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.2.解方程组:2x+y=5x2-y2+x+7=0【答案】x2=6【答案】、儿=-7【解析】【分析】用代入法即可解答,把①化为y=2x+5,代入②得x2-(-2x+5)2+x+7=0即可.【详解】由①得y=-2x+5.③把③代入②，得亍一(一2x+5)'+x+7=0・整理后，得/2-7/+6=0・

解得A=1,x2=b・由人=1,得=-2+5=3.由1=6,得”=_12+5=—7・X=lXr=6所以，原方程组的解是｛1，b\=3〔儿=一7y-x=1y-x=13解方程如｛宀卄2宀0【解析】【分析】先将第二个方程分解因式可得：x-2y=0或x+尸0,分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可.【详解】fy-x=l®解：｛J-»[jr_x-2yr=0®由②得：(x-2y)(x+y)=0x-2y=0或x+y=0｛y-x=lfy-x=1c/ax—2y=0[x+y=0解得原方程组的解为＜-2=y1-2=X•••原方程组的解是为＜1-2解得原方程组的解为＜-2=y1-2=X•••原方程组的解是为＜1-2=X-2=y【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的.4.解方程组：=°,2—2xy+y"=411••5【答案】3x.=-23X1=~21=3•儿=1兀=-3.儿=一1【解析】【分析】将原方程组变形为：\x-3y)(x+3y)=0(x-y_2)(x_y+2)=0'所以创x-3y=Qx-y-2=Q，x-3y=0x-y+2=09其值.【详解】x+3y=0x-y-2=0，"+刃弓，然后解4个二元一次方程组就可以求出x-y+2=0【答案】3x.=-23X1=~21=3•儿=1兀=-3.儿=一1【解析】【分析】将原方程组变形为：\x-3y)(x+3y)=0(x-y_2)(x_y+2)=0'所以创x-3y=Qx-y-2=Q，x-3y=0x-y+2=09其值.【详解】x+3y=0x-y-2=0，"+刃弓，然后解4个二元一次方程组就可以求出x-y+2=0原方程组变形为：(x-3y)(x+3y)=0(x—y—2)(x—y+2)=0'原方程组变为四个方程组为:x-3y=0x-y-2=Qx-3y=Qx-y+2=0，x+3y=0x-y-2=09x+3y=Qx-y+2=09解这四个方程组为：故答案为＜3Xi=—215•计算:3X=-1213&=・21兀=-3儿=一1(1)^27+716-（2）解方程组：=3•儿兀=-3•儿=一1（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来:3x-5y=-3一4x+10y=6F6x-2>3x-4S2x-ll-x32<l【答案】（I）4；（2）x=011:(3)——<x<—.y=-37【解析】【分析】⑴先求开方运算，再进行加减：(2)用加减法解方程组；(3)解不等式组，再在数轴上表示解集.31【详解】解：(1)原式=3+4■—二一一223x-5y=-3①(2)—[-4x+10y=6②①x2+②，得x=0把x=0代入①式y=|所以，方程组的解是<y=「6x-2>3x-4®（3）由①式得,2由①式得,2

x>-—3由②式得,11由②式得,x<—7TOC\o"1-5"\h\z211所以，不等式组的解集是—^5x5片，37把解集在数轴上表示：—I——1•1・■1】丿>■3-2-120111233~【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组•解题关键点：掌握相关解法.6.解方程组：｛x2y2y2=xy【答案】【答案】【解析】【分析】先由①得x=4+y,将x=4+y代入②，得到关于y的一元二次方程，解出y的值，再将y的值代入x=4+y求出x的值即可.【详解】解：｛宀滲囂强•②由①得：x=4+y③，

把③代入②得：(4+y)2-2y2=(4+y)y,解得：/1=4,y2=-2,代入③得：当y讦4时，X讦&当力=-2时，X2=2,所以原方程组的解为：｛；；】；，［y?=~2•故答案为：｛；：=：，［y2=-2-【点睛】本题考查了解高次方程.7.解方程组<加一$+1=07.解方程组<加一$+1=0x2-x-2y+6=0【答案］｛兀一;【解析】【分析】由(1)得y=2X+1,代入到(2)中整理为关于X的一元二次方程，求出X的值，并分别求出对应的y值即可.【详解】,2x_y+l=0(l)解.<-x-2y+6=0(2)*由⑴，得y=2x+l(3),把(3)代入(2),整理，得F—5x+4=0,解这个方程，得兀=1,丕=4,把勺=1代入(3),得)1=3,把兀=4代入(3),得儿=9,X=I所以原方程组的解是X=I所以原方程组的解是x2=4y2=9【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.8•阅读材料，解答问题

*+宀2……⑴材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如^'y=1•…••…（2）的方程组.如：由（2）得，=尢-1,代入（1）消元得到关于％的方程：211尢'一乂+一=0•・•=一21\=X2~~■11xi11xi=x?=—Vi=yz=一—将2代入八—1得：八722,1=vs=--・・•方程组的解为•2请你用代入消元法解方程组:x请你用代入消元法解方程组:x+y=2(1)2x2-y2=l….(2)【答案】解：由（1）得，=2-卩代入Q）得2x2-(2-x)2=1化简得：X1+4x-5=0(尢+5)(%-1)=0XI=一5,X2=1把尢1=-5,x2=l分别代入y=2"得：yi=7ty2=i(Xi=-5(x2=1••(yi=7(y2=i9【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可9.解方程组:x-3y=0x2+)匸=209.解方程组:【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y,代入第二个方程，即可求解.【详解】由方程①，得x=3y③，将③代入②，得（3k+尸=20,整理，得尸=2,解这个方程，得yi=JJ,兀=-/亍④，将④代入③'得Xi=3‘兀=-3‘

[x.=35/2^x.=—3J?所以，原方程组的解是｛I厂｛LI=v2儿=-V2【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程,从而得解.10.解方程组:10.解方程组:3xy>-y2=14①y-3x=l®\x=—3【答案】｛•b?=-2【解析】【分析】由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14,求出x,把x=-3代入③求出y即可.【详解】解：由②得：y=7+3x(3),把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14,解得：x=-3,把x=-3代入③得：y=-2,fx=-3所以原方程组的解为彳卜=-2【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键.11.解方程组:x+y11.解方程组:x+y=4x2-a)'=8【解析】【分析】把x+y=4变形为用含x的代数式表示y,把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x的值，得方程组的解.【详解】解：心-厂=8②

由①得，)=4-炮把③代入①，得x2-x(4-%)=8整理，得x2-2x-4=0解得：X]=l+X^=l~y/5，把x=l+JJ代入③，得)尸4-(1+V5)=3-把%=1-^5代入③，得)\=4_(1->/5)=3+躬;%.=1+fx,=1->/5所以原方程组的解为：厂或｛-h=3->/5也=3+石【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.\x2-2xy+V2=1612.解方程组｛,,兀=-3儿=1比_9)广=0兀=-3儿=1【答案】兀=-6【答案】儿=一2•【解析】【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解.【详解】x2-2xy+y2=16①x2-9y2=0②由①，得(x-y)2=16,所以x・y=4或x・y=・4・由②,得(x+3y)(x-3y)=0,艮卩x+3y=0或x・3y=0所以原方程组可化为:x-y=4x+3y=0‘解这些方程组，得压=3b严t'x-y=4x-3y=0‘x-y=x-y=4x+3y=0‘解这些方程组，得压=3b严t'x-y=4x-3y=0‘x-y=-4x+3y=0x-y=-4x_3y=0=6山2'x4=-6•儿=一2所以原方程组的解为:儿=3>\=~[x^=6厲=-3J=1x4=-6儿=一2【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.13.解二元二次方程组彳X+y-l=Ox2-y-2x-l=013.解二元二次方程组彳【解析】【分析】把方程①变形为y=l-x,利用代入法消去y,得到关于x的一元二次方程，解方程求出x,然后就可以求出y,从而求解.【详解】(x+y-1=0①解：[x2-y-2x-l=0②，把①变形y=l-x,代入②得/-(1-x)-2x-l=0,化简整理得x2-x-2=0,Axi=2,X2=-1»把x=2代入①得y=-1,把“=-1代入①得y=2,£=2=—1所以原方程组的解为：,・山=一16=2【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可.14.已知正比例函数『=(〃7+4小#”-"+(加'一9)的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式.【答案】y=-i9x【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得关于巾、门的方程组，解方程组即可求出m.n的值，再根据其所经过的彖限进行取舍即可.【详解】(m-/?=1(m=3m=-3解：•••该函数为正比例函数，•••｛Jc解得｛^或｛彳，[nr-9=0[n=2[n=_4

•・•该函数图像经过第二、四彖限，・・・加+4〃<0,：n=-4・••函数解析式为：)，=一19厂【点睛】15.(1)解方程组：x15.(1)解方程组：x2+y2-ll=Qy/2x-4y+10=0&+3)(y-2)=(—3)()，+10)(兀-1)()，+3)=(x+2)(y+12)x=-ly=-6【解析】【分析】将方程组的第二个方程移项、两边平方求出F，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解：将原方程组的两个方程通过去括•号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】x2+y2-11=0©⑴f•屈-4)，+10=0②由②可得：=—10两边平方化简得:2.F=(4y—10尸，即x2=8y2-40y+50代入①得：9才一40y+39=0,即(y—3)(9y-13)=0解得：尸3或J=y将)*3代入②得：Qy_12+10=0,解得：“血[3131Q故原方程组的解为：<将y=g代入②得：V2x-4x—+10=0,解得：x=-■—^2

故原方程组的解为：<J(x+3)(y—2)=(—3)(y+10)2x_y=4①3x+y=-9@lu-1)0+3)=(x+2)(y+12)2x_y=4①3x+y=-9@去括号化简得:小一2x+3y-6=T+10x-3y-30去括号化简得:xy+3x-y-3=+12x+2y+24①+②得：5x=-5,解得：x=-l将x=—1代入①得：2x(—1)—)，=4,解得：y=-6(x=-l故原方程组的解为彳.1尸-6【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.16•⑴解方程组:严=1[x16•⑴解方程组:严=1[x2-xy^-2y2=051ix+yx-y152x+y(2)解方程组:=12=6【答案】(1)1【答案】(1)x=—21【解析】【分析】由=1得x=y+l,将其代入亍一Q—2尸=0求出y的值，再根据y的值分别求出对应的x的值即可；设丄=4,丄=〃，方程组变形后求出A,B的值，然后得到关于x,y的方x+yx-y程组，再求出x,y即可.【详解】解：(1)由x-y=1得：x=y+l,^x=y+x2-xy-2y2=0得：(y+l)~-(y+l)y-2y2=0,整理得：2y2-y-l=0,解得：y=l或_y=-|,将y=l代入x-y=1得：x=2,将),=_£代入兀一丁=1得:x=*,

故原方程组的解为:x=2故原方程组的解为:x=2g或1x=—21、1人1D（2）设——=A,——=8.x+yx-y则原方程组变为:54+3=12则原方程组变为:154—23=6解得:解得:6x+6y=5解得：1解得：1x=—211x=—2经检验，:是方程组的解.y=-U3【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键.17.解方程组:x-y=17.解方程组:区=一4仁-2x2区=一4仁-2[x.=-1【答案】IYi=1【解析】【分析】注意到x2-xv-2y2可分解为l；x-y)(x-2y),从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】解：由X2-xy-2y2=0^(x+y)(x-2y)=0,即x+y=0或x—2y=0,

•••原方程组可化为＜fx-v=-2^|x-2y=0Jx-y=-2[x+y=Ox-y=-2zfx=-4x-2y=0J•••原方程组可化为＜fx-v=-2^|x-2y=0Jx-y=-2[x+y=Ox-y=-2zfx=-4x-2y=0J|y=-2•••原方程组的解为、V1=1x2=-4y2=-218.如图在矩形ABCD中，AB="AD,点E.F分别在AB、AD±且不与顶点A、B、D重合,ZAEF=ABCE,圆O过A、E、F三点。(1)求证：圆O与CE相切于点E・如图1,若AF=2FD,且ZAEF=30°,求〃的值。如图2,若EF二EC,且圆O与边CD相切，求川的值。4【解析】(4【解析】(1)由四边形ABCD是矩形证明ZFEU90。即可；(2)在直角三角形中利用三角函数求解；(3)利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出n//的值.(1)证明：•・•四边形ABCD是矩形，・・・ZB=90。，ZBCE+ZBEC=90°,又VZAEF=ZBCE,VZAEF+ZBEC=90%/.ZFEC=90°,:.OO与CE相切.(2)VAF=2FD/设FD二a。则AF=2a,在直角三角形AEC中，VZAEF=30°,AZBCE=30°.•••EF=4a,由勾股定理:AE=2>/3,ian30°=BC3。3・・.BU3a,又在直角三角形EBC中,・•・EB=y[3ci,ABAE+EBH==ADAD过E作EM丄DC于皿因为圆O与CD相切，设切点为N,连接ON,又过F作FQ丄EM交ON于H,•••FE=EC,EF丄ECZ/.MEF='CEE,根据题意和作图，可设AE=BC=ME=AD=y,AF=QE=EB=X,易证明OH为陌。的中位线，OH=