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文档简介

1齐次线性方程组解的结构2非齐次线性方程组解的结构第三章第四讲一、齐次线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组则方程组(1)可写成向量方程若记回顾若为方程的解称为方程组(1)的解向量，它也是向量方程的解．则显然齐次线性方程组总是有解，就是该方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解.方程组有非零解的充要条件是。齐次线性方程组的解有如下的性质性质（1）若为的解，则

也是的解.证

性质（2）若为的解，为实数，则也是的解．证证毕.

由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．定理1齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。基础解系的求法证明：系数矩阵为

有非零解，从而秩r＜n.对A进行行初等变换，A可化为齐次线性方程组（1）与之对应的方程组为令为自由未知量，得取

可得从而得到(1)的n-r个解首先，这n-r个解向量显然线性无关.其次，设()是方程组的任意解，代入方程组得

例1解齐次线性方程组解齐次线性方程组的系数矩阵为对A进行行初等变换，得

二、非齐次线性方程组解的结构称为非齐次线性方程组(不全为0).

如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组，简称导出组.线性方程组（2）

其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为例2

试求

的全部解。

解

对增广矩阵进行行初等行变换

系数矩阵与增广矩阵的秩都是2<5，故有解。

对应的齐次线性方程（去掉常数列）的基础解系为

令x3＝x4＝x5＝0，得齐次线性方程组的一个特解为(30/7,-3/7,0,0,0)，

(不能忽略常数列)，于是它的全部解为

其中k1，k2，k3，为任意实数。

例3设线性方程组试就p,t讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.解对增广矩阵进行行初等变换(1)当时，有惟一解(2)当p=1，且1-4t+2pt=1-2t=0即t=时，方程组有无穷多解，此时于是方程组的一般解为

(k为任意常数).(3)当p=1，但1-4t+

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