构造全等三角形种常用方法

时间：二O二一年七月二十九日构造全等三角形种经常使用方法之答禄夫天创作时间：二O二一年七月二十九日在证明两个三角形全等时,选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯.如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“555”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用《人5"；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”.上述可归纳为：搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来，嘤狂 等量代换，就可以化难为易了.下面举例说明几种罕见的构造方法\G供同学们参考. JIEC1.截长补短法 I图F（1）例1.如图（1）已知：正方形ABCD中，/84，的平分线交BC于E,求证：AB+BE=AC.解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF二AC,由已知△AEF/^AEC,・・・NF=NACE=45°,ABF=BE,AAB+BE=AB+BF=AF=AC.时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG二AB,由已知△ABE^AAGE,AEG=BE,ZAGE=ZABE,VZACE=45°,ACG=EG,•••AB+BE=AG+CG=AC.2.平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对RtA,有时可作出斜边的中线.例2.AABC中，NBAC=60°，/C=40°AP平分NBAC交BC于P,BQ平分NABC交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ. A\、Q证明：如图（1）,过O作OD〃BC交AB于D,r./ADO=/A舫为BPC=180°—60°—40°=80°，又TNAQO=NC+NQBC=80°,•ZADO=ZAQO,又「/DAO=NQAO,OA=AO,•△ADO/AAQO,・・・OD=OQ,AD=AQ,XVOD#BP,•ZPBO=ZDOB,XVZPBO=ZDBO,AZDBO=ZDOB,・BD=OD,・AB+BP=AD+DB+BPQD说明：⑴本题也可以在AB截取AD二AQ,QD说明：⑴本题也可以在AB截取AD二AQ,连OD,QBPC图（3）构造全等三角形,即“截长补短法”.B P图（2）⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD〃BC交AC于D,则AADO/AABO来解决.②如图（3），过O作DE〃BC交AB于D,交AC于E,则AADO/AAQO,AABO/AAEO来解决.时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日则△APD/^APC来解决.④如图（5），过P作PD〃BQ交Bp C图（5）③则△APD/^APC来解决.④如图（5），过P作PD〃BQ交Bp C图（5）则△ABP/^ADP来解决.「因Pq C.图（4）r，乙，，「，，、I、 ，Aia.（本题作平行线的方法还很多,感兴趣的同学自己研究）..旋转法对题目中呈现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形.例3如图3所示，已知点因、回分别在正方形11^］的边瓯与画上,而且叵平分巨逅,求证：BE+DF=AE.分析：本题要证的函和DF］不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起.可将巫因绕点A旋转画到|AABGI,则IAADFI/IAABG|,BE=DF］,从而将忸石+BG|转化为线段GE,，再进一步证明GE^AEI即可.证明略..倍长中线法题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内.例4.如图（7）AD是4ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE.求证：AC=BF时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日证明：延长AD至H使DH=AD,连BH,VBD=CD,ZBDH=ZADC,DH=DA,AABDH^ACDA,ABH=CA,ZH=ZDAC,XVAE=EF,AZDAC=ZAFE,VZAFE=ZBFD,AZAFE=图（7）ZBFD=ZDAC=ZH,ABF=BH,AAC=BF..翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质,沿轴翻转图形来构造全等三角形.例5.如图（8）已知：在4ABC中，NA=45°,ADLBC,若BD=3,DC=2,求：4ABC的面积.A解：以AB为轴将4ABD翻转180°,获得与它全等的AABE,以AC为轴将4ADC翻转180°,获得E；；/J\：BD-C与它全等的△AFC,EB、FC延长线交于G,易证G四边形AEGF是正方形,设它的边长为x,则BG=x—3,CG=x—2，在Rt^BGC中，（x-3）回+（x-2）日=5日丁解得*=6，贝UAD=6,・・・S^ABC=2X5X6=15.图（8）练习：例3.已知：如图（6）〃为448,内一点，且PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度数.时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日分析：直接求NAPB的度数,不容易求，由PA=3,PB=4,PC=5,联想到构造直角三角形.略解：将4BAP绕A点逆时针方向旋转60°至AACD,连接PD,则△BAP/^ADC,・・・DC=BP=4,・「AP=AD,ZPAD=60°,又・.・PC=5,PD0+DC0=PC日图（6）.••△PDC为Rt^,ZPDC=90OAZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=60°+90°=150°.1、平移法构造全等三角形例1如图1所示,四边形^］中,瓯平分五现若AB〉AD|,|DC-BC|,求证：|/B+/D=18肚.分析：利用角平分线构造三角形，将包转移到巨C,而巨C与2C^B］互补,|/CEB=/B|,从而证得I/B+/D=180』.主要方法是：“线、角进行转移”.证明：在国上截取|AE=AD|,DTOC\o"1-5"\h\z在|AADC|与|AAEC|中， /lAADC9lAAEC(SAS) /__Z \Ai\ E：］ B^|/D=/AEC］,|DC=CE|, 图1'I|DC=BC|,.|CE-BC|,・|/CEB=/B］,|ZCEB+ZAEC=180o,时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日.../B+ZD=180°.2、翻折法构造全等三角形例2如图2所示，已知fZZBU］中,M。=BC|,|ZACB=90°I,南平分ZABCI,求证：AB=BC+CD证明：・・・画平分百晅，将座画沿画翻折后，点C落在函上的点因,则有|BE=CE|,在|ABCD|与［IBED1中,ZDEA=ZACB=90°,CD=DEaBcDIZDEA=ZACB=90°,CD=DE・已知AABC中,AC=BC1|ZACB=90°ZA=45°ZEDA=ZA=45°DE=EAAB=BE+EA=BC+CD3、旋转法构造全等三角形图3例3如图3所示，已知点因、回分别在正方形图3IABCD］的边画与画上,而且因平分国D,求证:BE+DF=AE.分析：本题要证的函和DF］不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起.可将国可绕点A旋转回到AABG］,则国亚义回引,西画,从而将BE^G转化为线段画,再进一步证明GE^E即可.证明略.时间：二o二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日4、延长法构造全等三角形例4如图4所示，在［Z^|中,|/ACB=2/川,|/BAD=/。丽,求证：|AB=AC+CD分析：证明一条线段即是另两条线段之和,经常使用的方法是延长一条短线段使其即是长线段，再证明延长部份与另一短线段相等即可；或