常微分方程期末试题复习资料

常微分方程期末试题答案常微分方程期末试题答案/6一、填空题(每空2分，共16分)。dyTOC\o"1-5"\h\z方程〒=x2+y2满足解的存在唯一性定理条件的区域__xoy平面.dxdY方程组=F(x,Y),xeR,YeRn的任何一个解的图象是维dx空间中的一条积分曲线.'dyf(x,y)连续是保证方程亠=f(x,y)初值唯一的_条件.ydx4.万程组彳dx-drdy-dr4.万程组彳dx-drdy-dr的奇点(0,0)的类型是中心5.方程y=xy'+2(y')2的通解是y=Cx+-c26.变量可分离方程M(jc)N(y)dx+p(x)q(y=0的积分因子是N(y»)7•二阶线性齐次微分方程的两个解y=9(x),y(x)成为其基本解组的充要条12件是8.方程y"+4y'+4y=0的基本解组是e-2x,xe-2x二、选择题(每小题3分，共15分)。dy9.一阶线性微分方程子+p(x)y=q(x)的积分因子是(A).dx(A)卩=e丿p(x)dx(b)卩=e丿q(x)dx(c)卩=e」p(x)dx(d)卩=e」q(x)dx10•微分方程yInydx+(x-Iny)dy=0是(b)(A)可分离变量方程(B)线性方程(C)全微分方程(D)贝努利方程11.方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的所有常数解是(C).(A)x二±1(B)y=±1(C)y=±1,x=±1(d)y=1,x=112.n阶线性非齐次微分方程的所有解(D).

(A)构成一个线性空间(C)构成一个n+1维线性空间(B)构成一个n-1维线性空间(D)不能构成一个线性空间13.方程y(A)构成一个线性空间(C)构成一个n+1维线性空间(B)构成一个n-1维线性空间(D)不能构成一个线性空间13.方程y'=fy2-x2+2(D)奇解.(A)有一个(B)有无数个三、计算题(每小题8分，共48分)。(C)只有两个(D)无14．求方程也=竺匕

dxx2解：15．解：2-的通解dydy=u+x，于是,dxdxduu-u2dxxCx所以原方程的通解为y=订CCxx2,y=x1+Cx求方程-dx+(y3+Inx)dy=0的通解x取M(x,y)=—,N(x,y)=y3+Inxx则M(x,y)=N(x,y)=，于是原方程为全微分方程yxx所以原方程的通解为JxDx+fyy3dy=C1x1即yInx+y4=C416.求方程y=(y')2-xy'+-x2的通解2x2解:令y'=p，得到y=p2-xP+—(*)，两端同时关于求导,整理得(2p-x)<dp-1Idx丿二0,则xx2取2p-x=0,得p=2,代入(*)得解y=—取dp-1=0,得p=x+C，代入(*)得原方程得通解为dxy=T+Cx+Cx217.求方程y〃—3y'二e5x的通解解对应的齐次方程的特征方程为九2-3九=0,特征根为九=0,九=312故齐次方程的通解为y=C+Ce3x12因为«=5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y(x)=Ae5x1代入原方程，得25Ae5x—15Ae5x=e5x即A=丄,10故原方程的通解为y=C1+C2e3x+£e5x18.求方程y〃+y'—2y二ex(cosx—7sinx)的通解解：先求解对应的其次方程：y''+y'—2y=0，则有,九2+X—2=0,九=1,九=—2;y=Cex+Ce-2x1212因为数a±ip=1土i不是特征根，故原方程具有形如的特解。y=ex(Acosx+Bsinx)1的特解。将上式代入原方程，由于y1=exScosx+Bsinx)y'=exKa+B)cosx+(B—A)sinx]1y''=exbBcosx—2Asinx]1故y''+y'—2y=ex[2Bcosx—2Asinx]+ex[(A+B)cosx+(B—A)sinx]—2ex(Acosx+Bsinx)=ex(cosx—7sinx)(3B—A)cosx—(B+3A)sinx=cosx—7sinx

比较上述等式两端的cosx,sinx的系数，可得—A+3B=13A—B=—7因此，A=2,B=1.故y=ex(2cosx+1sinx)1所求通解为y=ex(2cosx+1sinx)+Cex+Cex1219．求方程组dY=dx19．求方程组dY=dx/3<—55)3Y的实基本解组3丿解：方程组的特征多项式为九—3九5其特征根是是1,2=3土5i，那么(i)属于九的特征向量a=.1ie(3+5iie(3+5i)xe(3—5i)x)—it—e(3=5i)x—ie(3—5i)x1(1)属于于2的特征向量量2=.—i,则方程的基本解组为①］C则方程的基本解组为①］C)=ie(3+5i)x

t—e(3+5i)xe(3-5i)x—ie(3—5i)x丿(i1(i1)-1=1(—i—1)t—1一i丿=2t1i丿1而①—1(0)=1其实基本解组为①(xb-1(o)。1因此所求实基本解组为①(x)=①(xb-1(0)11——1)=(e3tcos5xe3tsin5x)、一e3tsin5xe3tcos5x丿四、应用题(每小题11分，共11分)。20.(1)求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换Ix"—3x'+2x=2e3t⑵求初值问题仁。)=o,x‘(o)=o的解

解：(1)0e解：(1)0e-steatdt=J0e-Cs-a»dt=—e-Cs-a»s—a1,s>as-ag,s<a(2)设0(xC)]=X(s),xC)是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普2—3s+2—3s+2】=X2—3s+2£\x“—3x'+2x]=£\x〃]—30lx'〕+20lx1=X=XCs)Cs—1)Cs—2);13t1=13t1=故有X(s)=(s-1)C-2)C-3)使用部分分式法’可得X(s)=占由(1)可知,0let1=使用部分分式法’可得X(s)=占由(1)可知,0let1=；012t1=—1—；0s—21+s-3s-3x(t)=et-2e2t+e3t。得分评卷教师故所求的初值解为五、证明题(每小题10分,共10分)。21•证明：对任意x0及满足条件0y°1的y0,方程dy=y(y-1)dx1+x2+y2的满足条件y(xo)=>°的解y=y(x)在(-g,+g)上存在。证：由于f证：由于f(x,y)=y(y-1)1+x2+y2f(x,y)=y(1+x2+y2)2(2y-f(x,y)=y(1+x2+y2)2在全平面上连续,所以原方程在全平