高考总复习走向清北课件31数学不等式　推理与证明

第七模块不等式推理与证明(必修5：第三章

第二章

不等式；选修1－2：推理与证明)第三十一讲不等关系与不等式名师指导·

练基础回归课本1.不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用

数学符号>､≥､<､≤､≠连接两个数或代数式以表示它们之

间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.2.比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-

b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.另外,若b>0,则有注意:在应用作差法比较实数大小时,一定要变形到能直接判断差的符号为止,变形过程中要保持等价性.a

a

ab

>1a>b;

b

=1a=b;

b<1a<b.3.不等式的性质性质1:对称性如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.性质2:传递性如果a>b,且b>c,那么a>c.也可等价表示为:如果c<b,且b<a,那么c<a.性质3:加法法则如果a>b,那么a+c>b+c.推论1:移项法则如果a+b>c,那么a>c-b.推论2:同向可加性如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.性质4:乘法法则如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac<bc.推论1:同向可乘性如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.a

n(n∈N

,且n>1).推论2:乘方法则如果a>b>0,那么an>bn(n∈N*,且n>1).推论3:开方法则如果a>b>0,那么*注意:运用上述性质解决问题时,必须注意性质成立的条件.

如:同向不等式相乘时,注意a>b>0,c>d>0.nb考点陪练≥c

c1.已知a≥b,则可以推出()A.C.B.ac2≥bc2D.(ac)2≥(bc)2答案:B11a

ba

b

2

22.“a>2且b>2”是“a+b>4,且ab>4”的()B.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件A.充分非必要条件C.充要条件答案:A3.若x+y>0,a<0,ay>0,则x-y的值为()B.等于0D.符号不能确定A.大于0C.小于0答案:A4.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0.那么下列选项中一定成立的)B.c(b-a)<0D.ac(a-c)>0

是(A.ab>acC.cb2<ab2答案:A

5.

a

0,b

0,

m

b,a

m

0,

(

)

设

已知

且

则

的取值范围是.

,

B

.

A

.

,

,

D

.

C

:

b,0

,

0,a

,

D.

部分

分别求倒数可得

故选,

,

,

1,,0)

(0,m11

11b

a

a

b11

1

1

b

a

b

a

1

1

b

a

解析:因为0的倒数无意义,因此我们先将区间b,a分成两答案:D名师讲解·

练思维类型一用不等式表示不等关系解题准备:1.我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、

“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的

不等关系.含有这些不等号的式子,叫做不等式.2.a≤b的含义是指“或者a<b,或者a=b”,等价于“a不大于

b”;a≥b的含义是指“或者a>b,或者a=b”,等价于“a不

小于b”.【典例1】

某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计

划使用不超过1000万元的奖金购买单价分别为40万元､90

万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆

,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.

.

[解]设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆､y辆,则40x90y≤1000

4x9y≤100

x≥5

x≥5

,即

y≥6

y≥6

x,

yN

*

x,

yN

*[反思感悟](1)将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表:文字语言数学符号文字语言数学符号大于>至多≤小于<至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤(2)注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”表示，不等式则是表示不等关系的式子，对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义，本题中就容易忽视x，y∈N*.类型二不等式性质的应用解题准备:不等式的性质就其逻辑关系而言,可分为推出关系(

充分条件)和等价关系(充要条件)两类,同向可加性和同向

可乘性可推广到两个或两个以上的不等式,同向可乘时,应

注意a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑

关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.

;【典例2】下列各命题是否成立?如不成立,能否适当添加

条件使命题成立?(1)若ac2>bc2,则a>b;(2)若a>b,则-ac>-bc;(3)若a>b,则(4)若a>b,c>d,则ac>bd.11a

b[解](1)命题成立(2)“c<0”(3)“ab>0”(4)需添加“c>0,b>0”或“a>0且d≥0”或“c>0且b≥0”可

使命题成立.对照不等式的运算性质,还可添加“b≥0且

d≥0”也可使命题成立.类型三比较大小解题准备:作差法比较大小的步骤是:作差→变形→判断差的符号→下结论.作商法比较大小的步骤是:作商→变形→判断商与1的大小→下结论.其中变形是关键,变形方法主要是通分、因式分解和配方等,

变形要彻底,要有利于与0或1比较大小.2

111a

bab

2,G

ab,a2

b2

2H

,Q

【典例3】设a、b是不相等的正数,

A,试比较A､G､H､Q的大小.GH

ab

ab

211a

b

2abab

ab

ab

ab(

a

b)2

ab[解]

a,b为不相等的正数,a2

b

ab

2(a

b

)

ab

2

2

2

2

2

4

2

aba2

ab

b

(

a

b)2

2

2

2即G

A;由Q

A

2

0,即A

Q.

4

2综上可知,当a、b是不相等的正数时,H

G

A

Q.类型四利用不等式的性质求范围解题准备:1.在处理此类问题时,严格根据不等式的基本性质

和运算法则,是正确解答此类题目的保证.2.此类问题中的参数不是相互独立的,而是相互制约的,故不

可分割开来.应先建立待求范围的整体与已知范围的整体

的等量关系,最后通过“一次性”不等式关系的运算求得

待定整体的范围.这是避免此类题目出错的一条途径.【典例4】设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.[分析]利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解.

n

1于是得

,解得,[解]解法一:设f2

mf1nf1(m,n为待定系数),则4a

2b

ma

bna

b,即4a

2b

mna

nmb,

mn

4

m

3

nm

2f2

3f1f1.

又

1≤f1≤2,2≤f1≤4,5≤3f1f1≤10,

故5≤f2≤10.[

(

1)

(1)]

a

f

f

(1)

f

a

b

1[

(1)

(

1)]

b

f

f

,

1

f

(1)

ab

2

解法二:由

,得

2f2

4a

2b

3f1f1.

又

1≤f1≤2,2≤f1≤4,5≤3f1f1≤10,故5≤f2≤10.2≤ab≤4确定的平面区域如图,

31

,

2

2

31

2

2

当f2

4a

2b过点B3,1时,

取得最大值432110,5≤f2≤10.

1≤ab≤2解法三:由3

2

a

≤

≤2

4

3

a

b

≤

≤0

b

≤

≤,

3

4a

2b

12

进而得

≤

≤3

0

2b

≤3

2[反思感悟]此题易有如下错误解法:由

,得到1≤ab≤2再由不等式性质得:即3≤f2≤126≤4a≤122≤ab≤4

1≤ab≤2错误原因是满足的点a,b的集合与满足3

的点a,b的集合不等价.

2名师纠错·补漏洞

【典例】若2

_____.

,

则

的取值范围是

2

,

2

.

错源

链式不等式组认识不到位2

2

2

2,2

2332

2

[错解]

,

,

2

3

,[答案]

[剖析]因为条件中有α

<β

,解题时往往忽略这个条件,致使解错.在研究范围问题时,一定要看清变量间有无内在联系,要确定准独立变量,以免产生错误.,.2

2

2

2

2

2,

[正解]

2

2

.又

,则

0,

0.又

3

2

2

名师技法·练智力技法一平方作差法两正数大小的比较,可用平方比较法去掉绝对值或根号.【典例1】设0<x<1,且a>0,a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.因为两式皆正,故可采用平方作差法,去除绝[解题切入点]

对值符号.[解]因为

loga1x

loga1x

lg1x

lg1

x

lg

a2222,

loga1xloga1xloga1xloga1x

2

1

x

1

x

1所以lg1x

0,lg

0,1

x

lg

a221,1

x1

x1