倒立摆实验指导书

第一章背景介绍倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。它深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来在倒立摆系统中进行综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。在教学过程中，不但使学生具有扎实的理论基础，还应掌握如何把理论知识应用到一个复杂的实际系统中，进一步达到提高教学质量的目的。在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。用状态反馈的方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，它的局限性式显而易见的。只要偏离平衡位置较远，系统就成了非线性系统，状态反馈就难以控制。实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调出来的，这个调出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。这就是说，满足稳定极点配置的状态反馈阵很多，而能使倒立摆稳定竖立的状态反馈阵只有很少的一个范围，这个范围要花大量的时间去寻找。第二章预备知识一级倒立摆动力学方程的建立由于状态反馈要求被控系统是一个线性系统，而倒立摆系统本身是一个非线性的系统，因此用状态反馈来控制倒立摆系统首先要将这个非线性系统近似成为一个线性系统。在忽略了空气流动和各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。图一M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置0 摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）0 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直分析的分量。

bXbX图二应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下:分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx"=F-bx-N由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程：d2N=m(x+1sin0)dt2合并可得：(M+m)x"+bx'+ml[0〃cos0—(0合并可得：(M+m)x"+bx'+ml[0〃cos0—(0')2sin0]=F②为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：d2P—mg=m (1cos0)dt2P—mg=—m1[0"sin0+(0')2cos0]合并得到力矩平衡方程如下：—Plsin0—N1cos0=I0" ③方程中0=兀+©，当$与1(单位是弧度)相比很小时，可以进行近似处理:cos0=-1、sin0=-$、(四)2=0，用U来代替被控对象的输入力F，线性dt化两个运动方程(即将上述等式带入②和③)如下：「(M+m)x""+bx"—ml©""=u〈 ④1(I+ml2)©〃—mgl©=mlx"

1.传递函数对方程组④进行拉普拉斯变换，得到:(M+m)X(s)s2+bX(s)s-m顾(s)s2=U(s)(I+m/2)Q(s)s2-mg虞(s)=mlX(s)s2注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度4，求解方程组⑤的第二个方程，可以得到:X(s)=[(1*节-寻]中(s)把上式带入方程组⑤的第二个方程，得到输入到输出-摆杆角度的传递函数:ml——sTOC\o"1-5"\h\z0(s)_ qU(s) 3*b(I+ml2)2(M+m)mgl bmglq q q进而得到输入到输出-小车位置的传递函数：(I+ml2) mglX(s)= qq U(s) b(I+ml2) (M+m)mgl bmgls4+ s3 s2 sq qq其中q=[(M+m)(I+ml2)-(ml)2]2.状态空间方程设系统的状态方程为JX'=AX+Bu[j=CX+Du方程组④对V和矿求解代数方程，得到解如下:p=I(M+m)+Mml2x〃=-('+p=I(M+m)+Mml254'=4',„-mlb,mgl(M+m)【ml4= x+ 4+——u、P P P整理后得系统状态空间方程：

x'x〃妒0x'x〃妒00001-(I+ml2)bP0-mlbP0m2gl2P0

mgl(M+m)P-100rn0xI+ml-，x+P18003」mlPx'其中p=I(M+m)+Mml2用lqr方法计算反馈系数在现代控制理论中，基于二次型性能指标进行最优设计的问题已成为最优控制理论中的一个重要问题。而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，对于寻求二次型性能指标线性系统的最优控制是很适用的。给定一个n阶线性控制对象，其状态方程是X(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)，X(t)=X (3—3)0 0寻求最优控制u(t)，使性能指标1 七 ，一.、J=-XT(tf)SX(tf)+i[XT(t)Q(t)X(t)+UT(t)R(t)u(t)]dt(3—4)t0达到极小值。这是二次型指标泛函，要求S、Q(t)、R(t)使对称矩阵，并S和Q(t)应是非负定的或正定的，R(t)应是正定的。式(3—4)右端第一项是末值项，实际上它是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻七到来时，系统的终态X(t「接近预定终态的程度。式(3—4)右侧的积分项是一项综合指标。积分中的第一项表示对于一切的te[t0,七]，对状态X(t)的要求。用它来衡量整个控制期间系统的实际状态与给定状态之间的综合误差，类似于经典控制理论中给定参考输入与被控制量之间的误差的平方积分。这一积分项愈小，说明控制的性能愈好。积分的第二项是对控制总能量的限制。如果仅要求控制误差尽量小，则可能造成求得的控制向Su(t)过大，控制能量消耗过大，甚至在实际上难以实现。实际上，上述两个积分项是相互制约的，要求控制状态的误差平方积分减小，必然导致控制能量的消耗增大；反之，为了节省控制能量，就不得不降低对控制性能的要求。求两者之和的极小值，实质上是求取在某种最优意义下的折衷，这种折衷侧重哪一方面，取决于加权矩阵Q(t)及R(t)的选取。如果重视控制的准确性，则应增大加权矩阵Q(t)的各元，反之则应增大加权矩阵R(t)的各元。Q(t)中的各元体现了对X(t)中各分量的重视程度，如果Q(t)中有些元素等于零，则说明对中对应的状态分量没有任何要求，这些状态分量往往对整个系统的控制性能影响较微小。由此也能说明加权矩阵Q(t)为什么可以是正定或非负定对称矩阵。因为对任一控制分量所消耗的能量都应限制，又因为计算中需要用到矩阵R(t)的逆矩阵，所以R(t)必须是正定对称矩阵。常见的二次型性能指标最优控制分两类，即线性调节器和线性伺服器，它们已在实际中得到了广泛的应用。由于二次型性能指标最优控制的突出特点是其线性的控制规律，即其反馈控制作用可以做到与系统状态的变化成比例，即u(t)=-KX(t)(实际上，它是采用状态反馈的闭环控制系统)，因此这类控制易于实现，也易于驾驭，是很引人注意的一个课题。如果施加于控制系统的参考输入不变，当被控对象的状态受到外界干扰或受到其他因素影响而偏离给定的平衡状态时，就要对它加以控制，使其恢复到平衡状态，这类问题称为调节器问题。由此可见，本课题中的倒立摆系统属于线性调节器问题。详见《自动控制原理》下12.8节第三章认识单轴倒立摆实验设备简介本实验的硬件平台为从固高科技（深圳）有限公司购买的单级倒立摆。这套系统不仅有倒立摆的物理实体和相应的控制设备及观测器，而且还提供了与PC机的软件接口，以动态链接库的方式，方便用户在DOS和WINDOWS下进行高一层次的开发。单轴倒立摆的组成框图如下图所示。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置、速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。本实验所用的软件是配套的教学软件Pend。具体的使用说明见下文。实验准备及注意事项为了安全起见，在进行系统连线、拆卸与安装前，必须关闭系统所有电源。为了避免设备失控时造成人身伤害，操作时人员应该与设备保持安全距离，不要站在摆的两端。注意倒立摆系统可能会因高速撞击两端导致螺丝松动，请与实验管理人员联系，使用六角螺丝刀将螺丝上紧后在运行系统。如果发生异常，按下空格键，系统会提示“急停按钮被触发，无法继续控制系统，按任意键退出程序。”小车超速时，系统会自动关闭伺服电机，并出现“小车失速，系统被终止，按任意键退出程序。”

上、断电次序必须按：先开弱电（微机）进入WINDOWS环境，后开强电（电控箱）；先关强电，后关弱电。系统运行时禁止将于或身体的其他部位伸入小车运行轨道之间。教学程序操作将小车推到正中位置，使摆杆处于自由下垂的静止状态，将电脑与电控箱上电，进入演示和实验软件的安装目录，键入Pend启动程序，键入S时会出现一个提示对话框，如下图所示：请您确认小车停在中间摆杆静止下垂确认取消如果没有问题，按TAB键将选中“确认”按钮，然后按回车打开伺服，否则直接按回车或ESC键取消操作请您确认小车停在中间摆杆静止下垂确认取消键入1开始起摆；进入平衡位置后，按一或一左右移动小车，按T停止伺服，按ALT+X退出程序，关闭电脑与控制箱电源。注意：1.系统操作时，请严格按照上述操作步骤进行，任何不正确的操作步骤，都可能导致倒立摆不能正确起摆和平衡，并有可能导致小车撞击两端。如果小车撞击了摆的的两端，而且不能自己回到中间位置，请关闭电控箱电源，退出程序到Windows状态。然后把摆推到中间位置，重新给电控箱上电，最后键入Pend，重新开始操作。第四章一阶倒立摆实验实验一建立单轴倒立摆的数学模型实验目的学习建立单轴倒立摆系统的数学模型，并进行Matlab仿真和用实际系统进行验证。实验要求写出系统的动态方程，得出传递函数和状态空间方程。用Matlab进行脉冲输入仿真。理论分析见“第二章一预备知识：一级倒立摆动力学方程的建立”。实验步骤实际系统参数如下：M 小车质量 1.096Kgm 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI 摆杆惯量 0.0034kgm2F 加在小车上的力x 小车位置_摆杆与垂直向下方向的夹角T 采样时间 0.005sec将数据带入公式，求出系统的传递函数；将数据带入公式，求出系统的状态空间方程；将实际系统的状态空间方程转化为传递函数，与1进行比较；求出传递函数的极点和状态方程A的特征值，进行比较；进行系统开环脉冲响应和阶越响应的Matlab仿真。注意：在进行Matlab仿真的时候，请确保安装了ControlSystemToolBoxo在进行实验步骤4时既可以编程实现，也可以使用Matlab提供的Simulink工具进行仿真。实验报告要求打印出你的Matlab源程序以及Simulink仿真结构图;给出系统的传递函数和状态方程；给出传递函数极点和A的特征值；给出系统开环脉冲响应和阶越响应的曲线。思考题由状态空间方程转化为传递函数，是否与直接计算传递函数相等？通过仿真表明开环系统是否稳定？请通过极点(特征值)理论来分析。传递函数的极点和状态方程的特征值的个数、大小是否相等？如果不相等，请解释其原因。参考Matlab程序给出完成本实验的参考程序，将程序写成一个或多个m文件并执行。%实际系统参数M=;m=;b=;l=0;I=;g=;T=;%求传递函数gs(输出为摆杆角度)和gspo(输出为小车位置)q=(M+m)*(I+m*「2)-(m*l)"2;num=[m*l/q0];den=[1b*(I+m*「2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q];gs=tf(num,den);numpo=[(I+m*「2)/q0-m*g*l/q];denpo=[1b*(I+m*「2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q0];gspo=tf(numpo,denpo);%求状态空间sys(A,B,C,D)p=I*(M+m)+M*m*「2;A=[0100;0-(I+m*「2)*b/pm"2*g*「2/p0;0001;0-m*b*l/pm*g*l*(M+m)/p0];B=[0;(I+m*「2)/p;0;m*l/p];C=[1000;0010];D=0;sys=ss(A,B,C,D);%通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应t=0:T:5;y1=impulse(gs,t);y2=impulse(gspo,t);figure(1);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([02080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%将状态空间方程sys转化为传递函数gs0gs0=tf(sys);%通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应t=0:T:5;y=impulse(sys,t);figure(2);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');axis([02080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应t=0:T:5;y1=step(gs,t);y2=step(gspo,t);figure(3);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([02.5080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应t=0:T:5;y=step(sys,t);figure(4);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');axis([02.5080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%求传递函数极点P=pole(gs);Po=pole(gspo);%求A的特征值E=eig(A);实验二倒立摆系统控制算法的状态空间法设计实验目的学习如何使用状态空间法设计系统的控制算法。实验要求用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶越信号时，闭环系统的响应指标为：1、 杆角度6和小车位移x的稳定时间小于5秒2、 x的上升时间小于1秒3、 6的超调量小于20度（0.35弧度）4、 稳态误差小于4%理论分析参考“第二章一预备知识：用lqr方法计算反馈系数”。在这个实验中我们将设计一个对摆杆位置和小车位移进行控制的控制器。在实验一中，我们已经得到了系统的状态空间方程，因此，这个控制问题完全可以使用状态反馈来解决。如第二章所述，可以得到最优控制器对应的状态反馈向量K。在Matlab中对应有lqr函数，允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。最简单的情况是假设R=1，Q取除对角元外均为零的非负定阵，即Q的对角元均大于等于零。其中Q的对角元分别代表了四个状态量的权重，而输入权重R是1。可以通过改变Q阵中的非零元素来调节控制器以得到期望的响应，但是在满足控制要求的前提下，Q阵中的非零元素应该足够小。如果权重太大，系统对于状态过于灵敏，可能出现在稳定位置抖动的情况，同时将影响系统的鲁棒性，即当参数稍有改变（比如小车摩擦系数发生变化），系统就会出现不稳定。求得反馈向量K之后，如果直接对系统进行仿真，会发现存在着稳态误差，这是因为在前面的设计方法中，是把输出（状态中的一部分）信号反馈回来乘以一个系数矩阵K，然后与输入量相减得到控制信号，这就使得输入与反馈的量纲不一致。因此，为了使使输入与反馈的量纲互相配合，输入还要乘以增益N，如下图所示。这里不加推导的给出如下结论：N与K向量中与小车位置x对应的那一项相等。实验步骤系统实际参数请参考实验一。利用Matlab计算出状态反馈向量K；求出整个状态反馈控制系统的状态空间方程（Ac,Bc,C,D）；对状态反馈控制系统进行0.2m的阶越响应仿真，反复调整Q和R,得到不同的K,直到系统响应满足控制要求，记此时的K值为K；打开教学程序，然后按“s”使系统处于准备状态;。扰动信号设置为0（初试状态），按“上方向键”使倒立摆起摆并最终稳定，记录小车的稳定位置P1和摆杆的稳定角度Pend1；在“扰动”菜单中选择“扰动信号”，设定波形为2（阶越信号），频率为0，幅度为0.2,确认后观察系统对扰动信号的响应；在“扰动”菜单中选择摆杆响应和小车响应，观察摆杆和小车的响应曲线是否满足控制要求；记录小车的稳定位置P2和摆杆的稳定角度Pend2；在“扰动”菜单中选择摆杆响应和小车响应，输入保存响应曲线的路径和文件名称，保存；将扰动幅值、频率均设为0，使摆杆回到原点；待摆杆稳定后，将计算得到的反馈向量K输入教学程序Pend；重复步骤6-9,在此过程中应反复调整反馈向量K使系统满足控制要求后再进行记录，记最后满足要求的K为K；看看K与K是否相等；按“T”键停止倒立摆，或“Alot+x”退出程序；在Matlab中画出刚才保存的实际系统的响应曲线，并通过数据分析系统是否满足控制要求。操作切记：倒立摆运行时，不可从教学程序中切换回Windows桌面;要回到桌面进行其它操作，一定要使用教学程序停止倒立摆。注1：在进行Matlab仿真的时候，请确保安装了ControlSystemToolBox。在进行实验步骤3时，既可以编程实现，也可以使用Matlab提供的Simulink工具进行仿真。注2：系统的状态空间方程摆杆角度单位为弧度，而教学程序记录和使用的摆杆角度单位是度。注3：由于测量误差和启动时的影响，系统无扰动稳定的零位置P1可能不是在0附近，因此当设定0.2阶越输入时，稳态位置实际是P2—P1。注4：为保证倒立摆的安全性，倒立摆起摆时的反馈系数K使用教学程序的默认值。实验报告要求打印出你的Matlab源程序以及Simulink仿真结构图；给出Matlab程序的执行结果和仿真图形（确定K和反馈后的响应曲线）；给出无扰动时两次不同K值下，小车的稳定位置P1和摆杆的稳定角度Pend1；给出阶越输入时两次不同K值下，小车的稳定位置P2和摆杆的稳定角度Pend2；给出两次不同K值下，实际系统的响应曲线，并计算实验要求中的四项响应指标。注1：为统一叙述，在此规定上升时间为系统响应第一次达到稳态值90%的时间；其余响应指标的概念请参考《自动控制原理》。注2：在计算响应指标时，系统的稳态位置及稳态误差可在线读出，也可利用保存的实际系统的响应数据计算得出。注3：由于系统有微小延迟，因此计算出来的上升时间要比实际的上升时间大一些。思考题计算Ac的特征值。通过仿真分析Q1和Q33的大小对控制效果的影响:固定Q33，改变Q1/3固定Q；；，改变Q：：参考Matlab程序%求反馈向量KR=1;Q1=;Q3=;Q=[Q1000;0000;00Q30;0000];K=lqr(A,B,Q,R);%求状态反馈后的系统sysstateAc=A-B*K;Bc=B*K(1);%输入变换使输入与反馈的量纲匹配sysstate=ss(Ac,Bc,C,D);%对lqr控制系统进行仿真t=0:T:5;U=0.2*ones(size(t));y=lsim(sysstate,U,t);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');legend('CarPosition','PendulumAngle');%小车位置响应指标%分析教学程序保存的5秒实际响应数据(文件名car)load('car');t1=T:T:5;plot(t1,car);%绘制小车位置实际响应曲线%4.9s达到稳态(后20个数据均已进入稳态)%计算最大稳态误差error及相对稳态误差errorlerror=car(981:1000)-car(1)+0.2;%稳态位置为0.2教学程序表示为-0.2error=max(abs(error));error1=error/0.2;%计算上升时间trcar1=car-car(1);stab90=-0.2*0.9;n=find((abs(car1)>=abs(stab90))&(car1*stab90>=0));n=min(n);tr=n*T;%摆杆角度响应指标%分析教学程序保存的5秒实际响应数据(文件名pend)load('pend');t1=T:T:5;plot(t1,pend);%绘制摆杆实际响应曲线%4.9s达到稳态(后20个数据均已进入稳态)%计算最大绝对稳态误差error及相对稳态误差error1errorpend=pend(981:1000)+360;%Pend1和Pend2在180度附近，则教学程序将稳态位置设定为0度%Pend1和Pend2在-180度附近，则教学程序将稳态位置设定为360度errorpend=max(abs(errorpend));error1pend=errorpend/360;%计算超调Chaoerror=abs(pend+360);Chaoerror=max(Chaoerror);实验三观察扰动对倒立摆系统的影响实验目的观察有扰动时倒立摆的运动情况，加深对状态空间和状态反馈的理解。实验要求在平衡位置，分别加入下列三种扰动，记录倒立摆的运动情况:.方波信号：频率0.5Hz,幅值0.1m；.正弦波信号：参数同上；锯齿波信号：参数同上。实验步骤系统实际参数请参考实验一。编制Matlab程序对状态反馈控制系统进行输入扰动仿真，输入扰动按实验要求，同时状态反馈向量K由实验二得到；记录前5秒的过渡过程；启动教学程序“Pend”，使用教学程序的默认K值，不设任何扰动，使倒立摆起摆并稳定在平衡位置；待摆杆稳定后，将K值设定为实验二中得到的，使闭环系统满足控制要求的反馈系数值K；在“扰动分菜单中选择“扰动信号”，按实验要求输入扰动信号，波形代码如下：0 无波形，1 脉冲信号，2 阶越信号，3 方波信号，4 正弦波信号，5 锯齿波信号；3.1、 输入波形代码3、频率0.5和幅值0.1，代表幅值0.1、频率0.5Hz的方波，按“确认”，观察倒立摆的运动情况。在“扰动”菜单中选择小车响应和摆杆响应并保存；3.2、 将波形代码置为0，等待倒立摆稳定；3.3、 输入波形代码4、频率0.5和幅值0.1，代表幅值0.1、频率0.5Hz的正弦波，按“确认”，观察倒立摆的运动情况。在“扰动”菜单中选择小车响应和摆杆响应并保存；3.4、 将波形代码置为0，等待倒立摆稳定；3.5、 输入波形代码5、频率0.5和幅值0.1，代表幅值0.1、频率0.5Hz的锯齿波，按“确认”，观察倒立摆的运动情况。在“扰动”菜单中选择小车响应和摆杆响应并保存；按“T”键停止倒立摆，或“Alt+x”退出程序。注1：在输入扰动信号之前，一定要等待倒立摆进入稳定状态。注2：扰动信号频率不可过大，幅值不可超过倒立摆横轴的限制长度。实验报告要求打印出你的Matlab源程序以及Simulink仿真结构图;给出Matlab的仿真图形(三种扰动下的响应曲线)；给出实际系统的响应曲线。思考题仿真曲线和实际响应曲线是否大致相同？请说明原系统是否完全可控？参考Matlab程序%生成方波t=[0:T:5];d=[0.5:1:5];U=0.2*pulstran(t-0.25,d,'rectpuls',0.5)-0.1;%生成正弦波t=[0:T:5];U=0.1*sin(2*pi*t);%生成锯齿波t=[0:T:5];d=[0:1:5];U=0.2*pulstran(t,d,'tripuls',1,-1)-0.1;%其它程序参考实验二第四章二阶倒立摆实验第1节 建立两轴倒立摆的数学模型一.实验目的学习建立两轴倒立摆系统的数学模型，并进行Matlab仿真。二.实验要求写出系统的动态方程，得出传递函数和状态空间方程。用Matlab进行脉冲输入仿真，并且用实际系统对模型进行验证。理论分析在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和摆杆1质量0.04Kgl:1摆杆1在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和摆杆1质量0.04Kgl:1摆杆1转动中心到杆质心的距离0.09m摆杆2质量0.132Kg摆杆2转动中心到杆质心的距离0.27m质量块的质量0.208Kg作用在系统上的外力9:

29:

2利用拉格朗日方程推导倒立摆运动学方程摆杆1与垂直向上方向的夹角摆杆2与垂直向上方向的夹角拉格朗日方程为L拉格朗日方程为L(q,q)=T(q,q)-V(q,q)其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系统的势能。拉格朗日方程由广义坐标q和L表示为:i

TOC\o"1-5"\h\zddL dL — =fdt6q dq其中，i=1,2,3.・.n,fi为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三个广义坐标分别是尤,01,02。经过运算并带入参数，定义状态变量：气=%，x=0，u=x，得到系统状态空间方程6 2x=0，x=0，x=0，u=x，得到系统状态空间方程6 22 1 3 2 4 5 1为x1x2x3xx1x2x3x4x500100000000063.8932-10.04040-18.255218.4242000000010000001000「x]「 0一1x02x03+x14x5.49525x-0.01726」—,1- -1x10000020x0100003+0x00100040*——,x」—,y=u15x6」注：五注：五具体推导详见附录。实验步骤请你自己动手用Matlab程序进行系统开环阶跃响应的仿真。实验报告要求1、 记录阶越响应曲线；2、 由阶越响应曲线分析当输入（加速度）恒定时，小车及摆杆的运行情况。实验报告要求1、 结合你所学过的自动控制理论知识，说明开环系统为什么不稳定？2、 判断系统是否完全可控？

第2节 二阶系统控制算法的状态空间法设计实验目的学习如何使用状态空间法设计系统的控制算法，并进行Matlab仿真。实验要求用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：1） 摆杆角度。1、02和小车位移x的稳定时间小于5秒2） x的上升时间小于2.5秒3） 01、02的超调量小于20（0.35弧度）4） 稳态误差小于2%。理论分析100100000010000001000y=x1x2在这一节我们把系统当作多输出系统，用状态空间法设计一个对摆杆位置和小车位移都进行控制的控制器。系统状态方程为r.nx「000100「「x]「 0 -11•x000010x022x000001x03=3+x000000x144x063.8932-10.0404000x5.495255-x1-6」_0-18.255218.4242000_x6_-0.0172_x5x

6」这个问题可以使用完全状态反馈来解决。控制系统如下图。图中，R是施加在小车上的阶跃输入，状态量x=x，x=0，x=0，x=x，x=0 ，1 2 1 3 2 4 5 1x6=0；分别代表小车位移、摆杆1位置、摆杆2位置、小车速度、摆杆1角速度和摆杆2角速度，u代表小车的加速度；输出y=[x,01,气『。我们要设计一个控制器，使得当给系统施加一个阶跃输入时，小车跟踪该输入信号，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置。假设全状态反馈可以实现(6个状态量都可测)，找出确定反馈控制规律的向量K。用Matlab中的lqr函数，则可以得到最优控制器对应的反馈控制向量K。lqr函数允许你选择两个参数一一R和Q，这两个参数用来平衡系统对输入量和状态量的敏感程度。最简单的情况是假设/r/