高中数学 排列、组合与二项式定理课件

排列、组合与二项式定理复习指导排列、组合

掌握分类计数原理和分步计数原理是复习好本章的基础.其应用贯穿于本章的始终.正确运用两个原理的关键在于：(1)先要搞清完成的是怎样的“一件事”

两个基本原理是从现实中总结归纳出的研究“完成一件事”的方法数的重要工具.理解“完成一件事”的含义知道“完成一件事”的目的和方式掌握分类计数原理和分步计数原理是复习好本章的基础高中数学排列、组合与二项式定理课件分析：因映射为从A到B，所以A中每一元素在B中应有一元素与之对应，也就是A中所有元素在B中都有象，因此，应按A中元素分为4步，而对于A中每一元素，可与B中任一元素对应，于是不同对应个数应为3×3×3×3=34=81

分析：因映射为从A到B，所以A中每一元素在B中应有一元素与之当x取-1时，

当x取0时，

当x取1时，

424当x取-1时，当x取0时，当x取1时，4242*2*2*2-2=142*2*2*2-2=14

(2)明确事件需要“分类”还是“分步第一步：找分子第二步：找分母

由分步计数原理，可构造N=4*4=16个不同的分数(2)明确事件需要“分类”还是“分步第一步：找分子第二(2)明确事件需要“分类”还是“分步

由分类计数原理，可构造

N=4+3+2+1=10个不同的真分数(2)明确事件需要“分类”还是“分步由分类计数原理，可(3)“分类”是要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性.“分步”时要注意“步”与“步”之间的连续性.(3)“分类”是要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性.“

有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.（1）4只鞋子没有成双的；有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，

有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.

（2）4只鞋中有2只成双，另两支不成双.有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只

有红、蓝、绿三种颜色的卡片，每种颜色均有A、B、C、D、E字母的各一张，现每次取出四张，要求字母各不相同，三种颜色齐备，问有多少种不同的取法?

有红、蓝、绿三种颜色的卡片，每种颜色均有A、B、C、D、高中数学排列、组合与二项式定理课件高中数学排列、组合与二项式定理课件

如图，是高考第一批录取的一份志愿表，现有4所重点院校，每所院校有3个专业供你选报.如果此表格需填满，且要求所选的学校不许重复，所选的同一院校的专业也不许重复，那么满足以上条件的填写的不同的方法共有多少种?

如图，是高考第一批录取的一份志愿表，现有4所重点院第一步，选数字第二步，排数字第一步，排百位有6种选择，第二步，排十位有4种选择，第三步，排个位有2种选择.第一步，选数字第二步，排数字第一步，排百位有6种选择，排列、组合的复习1.分清是排列问题还是组合问题

这两个概念共同点都是指从n个不同元素中进行不重复抽取的情况.分清一个具体问题是排列问题还是组合问题的关键在于看从n个不同元素取出m（m《n）个元素是否与顺序有关，有序就是排列问题，无序则属于组合问题.排列、组合的复习1.分清是排列问题还是组合问题这两

有7名同学排成一排，甲同学最高，排在中间，其它六名同学身高不相等，甲的左边和右边以身高为准，由高到低排列，共有排法总数是？

分析：此问题相当于求六个元素中取出三个元素的组合数.所以满足条件的排法有：

有7名同学排成一排，甲同学最高，排在中间，其它六名同

从12名队员中组队打篮球比赛，要求其中一队的年龄最小的队员也比另一队中年龄最大的队员要大，问有多少种不同的组队方法?分析：从12名队员中选两名观战的每一种选法，对应着一种组队方法:

从12名队员中组队打篮球比赛，要求其中一队的年龄最小的

从0，1，……9这十个数字中任取3个组成没有重复数字的三位数，且要求百位数大于十位数，十位数大于个位数，这样的三位数有多少个？

从0，1，……9这十个数字中任取3个组成没有重复数字的

从2，3，5，7四个数中任取不同的两数，分别作对数的底数和真数问：（1）可得多少个不同的对数值？（2）可得多少个大于1的对数值？分析：（1）与顺序有关，是排列问题.

(2)与顺序无关，是组合问题

从2，3，5，7四个数中任取不同的两数，分别作对数的底例甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者在与负方2号队员比赛，…….直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程.那么，所有可能出现的比赛过程共有多少种？例甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛分析：设甲队：

乙队：

下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列.如：

最后是胜队中不被淘汰的队员和未参赛的队员分析：设甲队：最后是胜队中不被淘汰的队员和未参赛的

所以比赛过程可表示为14个位置中取7个位置安排甲队队员，其余位置安排乙队队员.故比赛过程的总数：

所以比赛过程可表示为14个位置中取7个位置安排甲队队2.对复杂的排列、组合问题，能正确解决的关键：做好分类，将复杂问题简单化.

一天排语、数、外、生、体、班六节课（上午4节，下午2节），要求：第1节不排体育，数学课一定排在上午，班会一定排在下午，问这样的条件下，共有多少种排课表的方法？2.对复杂的排列、组合问题，能正确解决的关键：做高中数学排列、组合与二项式定理课件高中数学排列、组合与二项式定理课件（2006年辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)（2006年辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队解析：两老一新时,

有

两新一老时,

即共有48种排法.解析：两老一新时,有两新一老时,即共有48种排法.(2006年湖南卷)某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()解析：投资于2个城市的方案有

投资于3个城市的方案有

所以，共60种(2006年湖南卷)某外商计划在四个候选城市投资3个不同（09广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种

小张和小赵两人都被选中小张和小赵两人当中有一人被选中（09广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、解法分析：2341220342符合题意；02340不符合题意故：首末两位数字相同的一定是从

1，2,3，4中挑选,中间三位数不同但可以为0解法分析：2341220342符合题意；023

实际上，题目并没有要求相同的首末两位数字与中间三个数字不能重复.如23422实际上，题目并没有要求相同的首末两位数字与中间三个几个典型的问题

(1)相邻、不相邻问题

用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有

576个.（用数字作答）

分析：由已知，1与2，3与4，5与6相邻，分别有

再将其看成3个元素有

排法，出现4个空，插入7与8有

种排法，由分步计数原理，这样的八位数

几个典型的问题(1)相邻、不相邻问题用1、2、3、把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （）

A．168 B．96 C．72 D．144把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给（2006年湖北卷）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是____20______.（用数字作答）解析：将丙丁做为一个元素，则甲、乙、（丙丁）3个元素共产生4个空，然后，将戊、巳插入，

（2006年湖北卷）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中（2）放球问题

将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）

A.120B.240C.360D.720解析

先将7个球按标号放入到有相同标号的七个盒子中有

再将余下的3个球放入不同标号的盒子中共有两种方法.由分步计数原理，共有2（2）放球问题将标号为1，2，…，10的10个球

（2006年天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种

解析：

分为2类：（1）1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有

（2）1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有

共有10种方法.（2006年天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1（3）分配问题

某市成立一个由6名学生组成的社会调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的3所大学，要求每所大学都有学生参加，则不同的名额分配方法共有

种分析：第一步：先每个学校各派一人；第二步：将余下的3人分类分配2：1:0分配

3：0：0分配

3种

1:1:1分配

1种

所以，共有10种分法.（3）分配问题某市成立一个由6名学生组成的社会调查把10人分成3组，一组4人，其它两组各3人，其中3人必须在各组，则有多少种不同分法？

分析：7人分三组：3、2、2共有

甲、乙、丙三人分到三个小组里，有

所以，共有

把10人分成3组，一组4人，其它两组各3人，其中3人必须在各5本不同的书全部分给3个人，每人至少1本，则不同的分法？

分析：（1）3、1、1分组

（2）2、2、1分组

所以，共有150种5本不同的书全部分给3个人，每人至少1本，则不同高中数学排列、组合与二项式定理课件高中数学排列、组合与二项式定理课件谢谢各位！谢谢各位！

排列、组合与二项式定理复习指导排列、组合

掌握分类计数原理和分步计数原理是复习好本章的基础.其应用贯穿于本章的始终.正确运用两个原理的关键在于：(1)先要搞清完成的是怎样的“一件事”

两个基本原理是从现实中总结归纳出的研究“完成一件事”的方法数的重要工具.理解“完成一件事”的含义知道“完成一件事”的目的和方式掌握分类计数原理和分步计数原理是复习好本章的基础高中数学排列、组合与二项式定理课件分析：因映射为从A到B，所以A中每一元素在B中应有一元素与之对应，也就是A中所有元素在B中都有象，因此，应按A中元素分为4步，而对于A中每一元素，可与B中任一元素对应，于是不同对应个数应为3×3×3×3=34=81

分析：因映射为从A到B，所以A中每一元素在B中应有一元素与之当x取-1时，

当x取0时，

当x取1时，

424当x取-1时，当x取0时，当x取1时，4242*2*2*2-2=142*2*2*2-2=14

(2)明确事件需要“分类”还是“分步第一步：找分子第二步：找分母

由分步计数原理，可构造N=4*4=16个不同的分数(2)明确事件需要“分类”还是“分步第一步：找分子第二(2)明确事件需要“分类”还是“分步

由分类计数原理，可构造

N=4+3+2+1=10个不同的真分数(2)明确事件需要“分类”还是“分步由分类计数原理，可(3)“分类”是要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性.“分步”时要注意“步”与“步”之间的连续性.(3)“分类”是要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性.“

有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.（1）4只鞋子没有成双的；有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，

有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.

（2）4只鞋中有2只成双，另两支不成双.有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只

有红、蓝、绿三种颜色的卡片，每种颜色均有A、B、C、D、E字母的各一张，现每次取出四张，要求字母各不相同，三种颜色齐备，问有多少种不同的取法?

有红、蓝、绿三种颜色的卡片，每种颜色均有A、B、C、D、高中数学排列、组合与二项式定理课件高中数学排列、组合与二项式定理课件

如图，是高考第一批录取的一份志愿表，现有4所重点院校，每所院校有3个专业供你选报.如果此表格需填满，且要求所选的学校不许重复，所选的同一院校的专业也不许重复，那么满足以上条件的填写的不同的方法共有多少种?

如图，是高考第一批录取的一份志愿表，现有4所重点院第一步，选数字第二步，排数字第一步，排百位有6种选择，第二步，排十位有4种选择，第三步，排个位有2种选择.第一步，选数字第二步，排数字第一步，排百位有6种选择，排列、组合的复习1.分清是排列问题还是组合问题

这两个概念共同点都是指从n个不同元素中进行不重复抽取的情况.分清一个具体问题是排列问题还是组合问题的关键在于看从n个不同元素取出m（m《n）个元素是否与顺序有关，有序就是排列问题，无序则属于组合问题.排列、组合的复习1.分清是排列问题还是组合问题这两

有7名同学排成一排，甲同学最高，排在中间，其它六名同学身高不相等，甲的左边和右边以身高为准，由高到低排列，共有排法总数是？

分析：此问题相当于求六个元素中取出三个元素的组合数.所以满足条件的排法有：

有7名同学排成一排，甲同学最高，排在中间，其它六名同

从12名队员中组队打篮球比赛，要求其中一队的年龄最小的队员也比另一队中年龄最大的队员要大，问有多少种不同的组队方法?分析：从12名队员中选两名观战的每一种选法，对应着一种组队方法:

从12名队员中组队打篮球比赛，要求其中一队的年龄最小的

从0，1，……9这十个数字中任取3个组成没有重复数字的三位数，且要求百位数大于十位数，十位数大于个位数，这样的三位数有多少个？

从0，1，……9这十个数字中任取3个组成没有重复数字的

从2，3，5，7四个数中任取不同的两数，分别作对数的底数和真数问：（1）可得多少个不同的对数值？（2）可得多少个大于1的对数值？分析：（1）与顺序有关，是排列问题.

(2)与顺序无关，是组合问题

从2，3，5，7四个数中任取不同的两数，分别作对数的底例甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者在与负方2号队员比赛，…….直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程.那么，所有可能出现的比赛过程共有多少种？例甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛分析：设甲队：

乙队：

下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列.如：

最后是胜队中不被淘汰的队员和未参赛的队员分析：设甲队：最后是胜队中不被淘汰的队员和未参赛的

所以比赛过程可表示为14个位置中取7个位置安排甲队队员，其余位置安排乙队队员.故比赛过程的总数：

所以比赛过程可表示为14个位置中取7个位置安排甲队队2.对复杂的排列、组合问题，能正确解决的关键：做好分类，将复杂问题简单化.

一天排语、数、外、生、体、班六节课（上午4节，下午2节），要求：第1节不排体育，数学课一定排在上午，班会一定排在下午，问这样的条件下，共有多少种排课表的方法？2.对复杂的排列、组合问题，能正确解决的关键：做高中数学排列、组合与二项式定理课件高中数学排列、组合与二项式定理课件（2006年辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)（2006年辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队解析：两老一新时,

有

两新一老时,

即共有48种排法.解析：两老一新时,有两新一老时,即共有48种排法.(2006年湖南卷)某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()解析：投资于2个城市的方案有

投资于3个城市的方案有

所以，共60种(2006年湖南卷)某外商计划在四个候选城市投资3个不同（09广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种

小张和小赵两人都被选中小张和小赵两人当中有一人被选中（09广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、解法分析：2341220342符合题意；02340不符合题意故：首末两位数字相同的一定是从

1，2,3，4中挑选,中间三位数不同但可以为0解法分析：2341220342符合题意；023

实际上，题目并没有要求相同的首末两位数字与中间三个数字不能重复.如23422实际上，题目并没有要求相同的首末两位数字与中间三个几个典型的问题

(1)相邻、不相邻问题

用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有

576个.（用数字作答）

分析：由已知，1与2，3与4，5与6相邻，分别有

再将其看成3个元素有

排法，出现4个空，插入7与8有

种排法，由分步计数原理，这样的八位数

几个典型的问题(1)相邻、不相邻问题用1、2、3、把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （）

A．168 B．96 C．72 D．144把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给（2006年湖北卷）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是____20______.（用数字作答）解析：将丙丁做为一个元素，则甲、乙、（丙丁）3个元素共产生4个空，然后，将戊、巳插入，

（2006年湖北卷）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中（2）放球问题

将标号为1，2，