2020届中考数学一轮复习新突破提分专练(07) 以圆为背景的综合计算与证明

提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明|类型1|圆与平行四边形结合的问题1•如图T7-1AB是OO的直径，点C,D为半圆O的三等分点，过点C作CE丄AD,交AD的延长线于点E.求证:CE为OO的切线.判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.图T7-1[2019・长春]如图T7-2，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作OO,点E在BC边上，连接AE交OO于点F,连接BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE^^BCG.⑵若ZAEB=55°，OA=3,求舒的长•(结果保留n)图T7-2[2018・河南]如图T7-3AB是OO的直径QO丄AB于点Q连接DA交OO于点C,过点C作OO的切线交DO于点连接BC交DO于点F.求证:CE=EF：连接AF并延长，交OO于点G填空：当ZD的度数为时,四边形ECFG为菱形；当ZD的度数为时,四边形ECOG为正方形.图T7-3|类型2||类型2|与三角函数结合的问题[2019・镇江]如图T7-4,在2BC中,AB=AC,^AC延长线上的点O作OD丄AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.(1)求证:直线AB与OO相切；[2019•随州]如图T7-5,在AABC中AB=AC,以AB为直径的OO分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上，且ZBAC=2ZCBF.(1)求证BF是OO的切线；(2)若OO的直径为3,sinZCBF=@,求BC和BF的长.3图T7图T7-56.[2018・成都]如图T7-6,在Rt^ABC中,ZC=90°AD平分ABAC交BC于点D,O为AB上一点，经过点A,D的OO分别交ABAC于点Ef,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是OO的切线；⑵设AB=xAF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长；(3)若BE=8,sinB=5,求DG的长.13图T7-6|类型3|圆与相似三角形结合的问题7.[2018・日照]如图T7-7所示,00的半径为4,点A是OO上一点，直线/经过点A.P是OO上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PE丄/于点5交OO于点民直径PD的延长线交直线l于点F,点A是宛的中点.(1)求证:直线l是OO的切线;⑵若PA=6,求PB的长.图T7-78.[2019・大庆]如图T7-8,00是△ABC的外接圆AB是直径,D是AC中点，直线OD与OO相交于E,F两点,P是OO外一点，且P在直线OD上，连接R4,PCAF,满足/PCA=/ABC.(1)求证:PA是OO的切线；⑵证明:EF2=4OD・OP;(3)若BC=8,tanZAFP=2,求DE的长.3图T7-8参考答案】1.解:(1)证明:如图,连接OD,•・•点C,D为半圆O的三等分点,:.ZAOD=ZCOD=ZCOB=60°.OA=OD,•••△AOD为等边三角形，:.ZDAO=60°,•AE//OC.CEIAD,CEIOC,CE为OO的切线.(2)四边形AOCD为菱形.理由:•OD=OC,ZCOD=60°,•△OCD为等边三角形,CD=CO.同理::AD=AO.AO=CO,AD=AO=CO=DC,•四边形AOCD为菱形.2•解:(1)证明:J四边形ABCD是正方形AB为OO的直径,:.ZABE=ZBCG=ZAFB=90°,AB=BC,.\ZBAF+ZABF=90°,ZABF+ZEBF=90°,:./EBF=/BAF,在AABE与ABCG中，^BAF=乙EBF,{AB=BC,^ABE=乙BCG,:.△ABEmKBCG(ASA).(2)连接OF,•.•ZABE=ZAFB=90o,ZAEB=55。,.•・ZBAE=90°-55°=35°,；・/BOF=2/BAE=70°.JOA=3,・•・品的长二70沁18063•解:⑴证明:连接OC.•:CE是OO的切线,.・.OCICE.••■/FCO+/ECF=90。.•:DO丄/5・・・ZE+ZEFO=90。•:上CFE=/BFO,.ZB+ZCFE=90°.•：OC=OB,・上FCO=/B.:.ZECF=ZCFE.CE=EF.(2)：AB是OO的直径,・・・ZACB=90。:.ZDCF=90°..\ZDCE+ZECF=90°,ZD+ZEFC=90°.由(1)得ZECF=ZCFE,:./D=/DCE.ED=EC.ED=EC=EF.即点E为线段DF的中点.①四边形ECFG为菱形时,CF=CE.：CE=EF,・CE=CF=EF.△CEF为等边三角形.：ZCFE=60°.：・ZD=30。故填30。.②四边形ECOG为正方形时,MCO为等腰直角三角形.:,ZCEF=45°.•：/CEF=/D+/DCE,••・ZD=ZDCE=22.5°故填22.5°.4•解:⑴证明:连接05如图所示.•:AB=AC,・•・/ABC=/ACB.•:ZACB=ZOCD,:.ZABC=ZOCD.：OD丄AO,:.ZCOD=90°,.•・ZD+ZOCD=9O°:OB=OD,?.ZOBD=ZD,:./OBD+/ABC=90。,即ZABO=90°,:.AB丄OB,•:点B在OO上，・•・直线AB与OO相切.(2)TZABO=90。，・•・OA=dAB2+OB2=752+122=13,TAC=AB=5,・OC=OA-AC=8,.•.tanZBDOa=-8=2OD123故答案为：235.解：(1)证明：连接AE,•:AB为直径，:・/AEB=90o,：・AE丄BC.•：AB=AC,；・BE=EC,/BAE=/CAE.：/BAC=2/CBF,：・/BAE=/CBF.•：ZBAE+ZABE=90。，・；ZCBF+ZABE=90。,:.AB丄BF,；・BF是OO的切线.(2)由(1)得ZBAE=ZCBF,；・sinZCBF=sinZBAE=A3:ZAEB=90°,AB=3,；・BE=ABsinZBAE=73,:.BC=2BE=273.过点C作CH丄BF于H点,在RtACBH中,CH=BCsinZCBF=2,BH=2V2,JCH丄BFAB丄BF,；・AB//CH,:.△FCHs^FAB,：.BFAB•RF-2、［22…—?BF3:.BF—6^2.6.［解析］(1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到ZDAC—ZODA,得OD/AC,切线得证⑵连接EF,DF,根据直径所对圆周角为直角，证明ZAFE-90。,可得EF//BC,因此ZB-ZAEF,再利用同弧所对圆周角相等可得ZB—ZADF,从而证明△ABDs^ADF,可得AD与ABAF的关系(3)根据ZAEF-ZB,利用三角函数，分别在Rt^DOB和Rt^AFE中求出半径和AF,代入(2)的结论中，求出AD,再利用两角对应相等，证明△OGDs&GA,再利用对应边成比例，求出DG:AG的值，即可求得DG的长.解:⑴证明:连接OD,JOA—OD,:.ZOAD—ZODA,JAD平分ZBAC,・•・ZOAD—ZDAC,:.ZDAC—ZODA,:、OD/AC,:.ZODB—ZC—90°,・OD丄BC.JOD为OO的半径,:BC是OO的切线.

(2)连接EF,DF.'：(2)连接EF,DF.'：AE为OO的直径，.•・ZAFE=90°,・・・ZAFE=ZC=90。，:.EF//BC,：•上B=/AEF.:/ADF=/AEF,：・/B=/ADF.又:ZOAD=ZDAC,:.△ABDs^ADF,：ab=ad,：.ad2=AB.AF,:.AD=J^.ADAFV⑶设OO半径为r,在RtADOB中,sinB=a=5,OB13.:亠=且，解得r=5,：AE=10.r813在Rt^AFE中,sinZAEF=sinB=皿,AE•：AF=10x135013：・AD=J18X50=30413.1313:ZODA=ZDAC,ZDGO=ZAGF,:•△OGDs^fGA,DG=OD_=13•DG=13•，:,AGAF10AD-DG10：DG=30413.237•解:⑴证明:连接OA.•：OA=OP,••.ZOAP=ZOE4.•・•点A是庞的中点，.\DA=AE,:./DPA=/APB,:.ZOAP=ZAPB.：・OA//PB.•PB丄l,:.OA丄l,・•・直线l是OO的切线.⑵连接AD；：PD是直径，:.ZPAD=90°,・ZPAD=ZPBA.又:ZDPA=ZAPB,:.△PADsAPBA,^ER=£A,即8=6,・PB=9.PAPB6PB28•解:⑴因为点D是AC中点/