2022年秋高中数学第四章概率与统计4.2随机变量4.2.5正态分布课后习题新人教B版选择性必修第二册

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关键能力提升练7.已知X~N(4,σ2),且P(X≤2)=0.3,则P(X<6)=()A.0.3 B.0.4 C.0.85 D.0.78.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.69.(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ2A.甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.9910.(多选题)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X~N(9,4),则()A.该校学生每周平均阅读时间为9小时B.该校学生每周阅读时间的标准差为4C.该校学生每周阅读时间少于3小时的人数约占0.3%D.若该校有10000名学生,则每周阅读时间在3~5小时的人数约为215(附:X~N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.)11.若随机变量ξ服从正态分布N(9,16),则μ+σ=,P(-3≤ξ≤13)=.

参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997.12.研究某市某种作物,其单株生长果实个数ξ服从正态分布N(90,σ2),且P(ξ<70)=0.1,从中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,假设X服从二项分布,则X的方差为.

学科素养创新练13.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997,0.99716≈0.9531.14.某高校为了解全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤a-μσ.利用直方图得到的正态分布,求②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望.参考数据:178≈403,0.773419≈0.0076.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0参考答案4.2.5正态分布1.C因为x=μ为其对称轴,所以μ=0.2.A由P(ξ<3)=0.84⇒P(ξ≥3)=1-0.84=0.16,因为正态分布N(2,σ2)的对称轴为x=2,所以P(ξ≤1)=P(ξ≥3)=0.16.故选A.3.D由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样,但标准差不同,σ甲<σ乙<σ丙.故选D.4.A由于机器零件的尺寸服从正态分布,根据正态分布的3σ原则,有99.7%的产品只存在[μ-3σ,μ+3σ]内,所以不属于[μ-3σ,μ+3σ]这个尺寸范围的零件个数可能为1000×0.3%=3,故选A.5.A因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),由正态分布的对称性知,P(0<ξ≤1)=P(1≤ξ<2),又P(ξ≥1)=12,P(ξ≥1)=P(1≤ξ<2)+P(ξ所以a+1-3a=12,解得a=14,从而P(ξ≤0)=P(ξ≥2)=14,6.①③如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是10,故②是假命题,其余都是真命题.7.D因为X~N(4,σ2),正态曲线的对称轴为x=4,因为P(X≤2)=0.3,所以P(X≥6)=P(X≤2)=0.3,所以P(X<6)=1-P(X≥6)=1-0.3=0.7.故选D.8.C由题意可知μ=1,正态曲线关于x=1对称,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1,根据对称性可知,P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.故选C.9.ABC由图象可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8kg,故A,C正确;甲图象比乙图象更高瘦,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为1.99,即1σ22π=1.99,σ2≠1.99,故故选ABC.10.AD因为μ=9,σ=2,所以平均数是9,标准差为2,A正确,B不正确;因为P(7≤X≤11)≈0.683,P(5≤X≤13)≈0.954,P(3≤X≤15)≈0.997,结合正态曲线的对称性可得,该校学生每周阅读时间少于3小时的人数约占1-P(3≤X≤15)2≈1-0.99720.0215×10000=215,所以D正确.故选AD.11.130.84依题意,ξ~N(9,42),其中μ=9,σ=4,∴μ+σ=13,故P(-3≤ξ≤13)=P(μ-3σ≤ξ≤μ+σ)=P(μ-3σ12.2.4因为ξ~N(90,σ2),所以P(90≤ξ≤110)=12-P(ξ>110),而P(ξ>110)=P(ξ<70)=0.1所以P(90≤ξ≤110)=0.4,而X~B(10,0.4),所以D(X)=10×0.4×0.6=2.4.13.解(1)由题可知尺寸落在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997,则落在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率为1-0.997=0.003,因为P(X=0)=C160×(1-0.997)0×0.99716所以P(X≥1)=1-P(X=0)=0.0469,又因为X~B(16,0.003),所以E(X)=16×0.003=0.048.(2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.003,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.0469,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.14.解(1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.