2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)【含详答】

第第21页，共21页0.4x(90—25)+0.2X(50—25)+0.2X(20—25)+0.2X(—50—25)=15(元)，乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：0.28X(90—20)+0.17X(50—20)+0.34X(20—20)+0.21X(—50—20)=10(元)，因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务．【解析】本题主要考查频率的算法，平均数的概念及其意义，属基础题．(1)根据图表信息可得甲乙分厂的频数，从而得到答案．(2)根据图表信息可得甲乙分厂的四个等级的频率，再根据平均数的定义求得答案，比较两厂的平均数得到最终答案即可．40.04BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=150°.若a=V3c,b=2V7，求0ABC的面积；若sinA+V3sinC=血，求C.2【答案】解：(1)由余弦定理得b2=a2+C2-2accosB,即28=3c2+c2—2V3c2cos150°，解得c=4,所以a=473，所以S△SBC=1acsinB=1X473X4X1所以S△SBC222(2)因为A=180。—B—C=30。—C，所以sinA+73sinC=sin(30°—C)+73sinC=1cosC+73sinC=sin(30°+C)=72，222因为A>0°，C>0。，所以0°<C<30。，所以30°<30°+C<60。，所以30°+C=45。，所以C=15°.【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题

由已知条件结合余弦定理可求得C,从而可根据三角形面积公式求解；由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可.41.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，^ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，AAPC=90°.证明：平面PAB丄平面PAC；设DO=42，圆锥的侧面积为V3兀，求三棱锥P-ABC的体积.【答案】解：⑴由已知条件得PA=PB=PC，因为AAPC=90°，所以P4丄PC,所以AP2+PC2=AC2，又因为NABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2+PB2=AB2，PB2+PC2=BC2，所以丄PA，PB丄PC，因为PA^PC=P,所以丄平面PAC，因为PBu平面PAB，所以平面PAB丄平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为1，由题意得2+Y由题意得2+Y2=12,nrl=43n,PC所以等边三角形ABC的边长为V3，从而PA=PBPC所以P0=品—\=业,22所以三棱锥P—ABC的体积U=1SAAnr-P0=丄x1xV3xV3x^3x^2=^63AABC32228【解析】【解析】本题考查线面位置关系的判定，圆锥的侧面积公式，棱锥的体积公式的应用，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题．由题意证得PB丄PA,PE丄PC,从而得到PB丄平面PAC,根据面面垂直的判定定理即可证明；由圆锥的性质可求得底面半径与母线长，从而可求得^ABC的边长，从而可求得三棱锥P—ABC的高，从而可求得体积.42.已知函数f(x)=e—a(x+2).当a=1时，讨论f(%)的单调性；若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e-—(x+2)，则fr(x)=ex—1,令f'(x)>0,得x>0；令f'(x)<0，得%<0,从而f(x)在(一8,0)单调递减；在(0,+8)单调递增.(2)f(x)=ex—a(x+2)=0,显然尤工—2,所以a=』匚,x+2令g(x)=型，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点,x+2所以/(^二皿也，(%+2)2当％<一2或一2<x<—1时，gr(x)<0，g(^)单调递减；当％>—1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为g(—1)=丄，e当％<一2时，g(x)<0,当％>一2时，g(x)>0,所以当a>1时，y=a与9(%)的图象有两个交点，e所以a的取值范围为(丄,+8)•e【解析】【解析】本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，有一定难度．先求导，可直接得出函数的单调性；先分离参数得。=二，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即可得出a的取值x+2范围．43.已知A，B分别为椭圆E:-.+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，'.II..：=8,P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D,求E的方程；证明：直线CD过定点．答案】解：由题意A(-a,0),B(a,0),G(0,1)^AG=(a,1),丽=(a,T),AG•GB=a2—1=8na2=9na=3，•••椭圆E的方程为泄+y2=1.9(2)由(1)知4(—3,0),B(3,0),P(6,m)，则直线PA的方程为y=皿伍+3),9

(y=m(x+3)联立｛9(9+m2)%2+6m2x+9m2-81=0,Jy2=l9由韦达定理一3冷=9m2-81OX。由韦达定理一3冷=9m2-81OX。c9+m2c=-2込忑，代入直线PA的方程程y=9+m2肿+3)得,6m9+m2即“—3m2+279+m26m\丿,9+m22m1+m2，即。(琢2-31+m22m1+m2，即。(琢2-31+m2■—^),1+m2•••直线CD的斜率kcD6m_—2m-9+m21+m23m2I27_3m2~3

9+m21+m24m3(3—m2)•直线CD的方程为2m1+m24m(%—3m2—3)3(3—m2)1+m2直线PB的方程为汁肿-3),(y=m(x—3)联立｛3o(1+m2)x2—6m2x+9m2—9=0,I也+y2=19由韦达定理3亏=9m2_9ox1+m2由韦达定理3亏=9m2_9ox1+m2J1+m23"整理得y=伽(％—3),3(3—m2)2•••直线CD过定点(3,0).2【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题求出各点坐标，表示出向量；求出C,D两点坐标，进而求出直线CD,即可证明.44.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C］的参数方程为｛：=S0S：；，(r为参数)，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为4pcos。-16pcos0+3=0.当k=1时，q是什么曲线？当k=4时，求q与C2的公共点的直角坐标.

答案】【答案】U十(1)当k时，曲线C］的参数方程为｛y=sinr，化为直角坐标方程为%2+y2=l,表示以原点为圆心，半径为1的圆．%=14,y=14(2)当k=4时，曲线-的参数方程为｛；=COnStt，化为直角坐标方程为眉+Vy=1,曲线C2化为直角坐标方程为4%-16y%=/r