《平方差公式》优质1课件

14.2.1平方差公式乘法公式八年级上册RJ初中数学14.2.1平方差公式乘法公式八年级上册RJ初中数学知识回顾1.单项式乘以多项式法则：p(a+b+c)=pa+pb+pc(p，a，b，c都是单项式).2.多项式乘以多项式法则：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq(a，b，p，q分别是单项式).知识回顾1.单项式乘以多项式法则：2.多项式乘以多项式法则：1.了解并掌握平方差公式.2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.学习目标1.了解并掌握平方差公式.学习目标课堂导入喜洋洋在计算980×1020时，觉得这道题的计算量很大，灰太狼得意的对喜洋洋说:“你把980×1020变成形(1000-20)(1000+20)不就简单多了吗？“你知道灰太狼运用了什么知识吗？课堂导入喜洋洋在计算980×1020时，觉得这道题的计算量很计算下列多项式的积：(1)(x+1)(x-1)=_________=_____；(2)(m+2)(m-2)=_____________=_____；(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.

x·x-x+x-1x2

-1

m·m-2m+2m-4m2

-4=m2

-222x·2x-2x+2x-14x2

-1=(2x)2

-12

观察计算结果，你能发现什么规律？=x2

-12

猜想：(a+b)(a-b)=

.

a2

-b2

知识点

平方差公式新知探究如何证明这个等式呢？计算下列多项式的积：x·x-x+x-1x2-1m·m-2(1)用多项式乘法证明(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.(1)用多项式乘法证明(a+b)(a-b)=a2-ab+a(1)210×190;(2)2020×2022-20212.=9996.2x·2x-2x+2x-1已知(a-b)2=3,(a+b)2=4,则ab=.平方差公式的变化及应用图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2-b2.解：(1)(3x+2)(3x-2)=[(-3a)2-1][(3a)2+1]平方差公式的变化及应用x2-1=(x+1)(x-1)多项式乘以多项式法则：喜洋洋在计算980×1020时，觉得这道题的计算量很大，灰太狼得意的对喜洋洋说:“你把980×1020变成形(1000-20)(1000+20)不就简单多了吗？(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(a+b)(a-b)=a2-b2.=[(-3a)2-1][(3a)2+1]x2+2x+1=(x+1)2=25m2-9n2;(2)-x相当于a，2y相当于b.(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2m·m-2m+2m-4(2)借助几何图形证明图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2-

b2.ba(1)210×190;(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(2)(-x+2y)(-x-2y)=16x2-9y2;而(a-b)2-(a+b)2=3-4=-1，=y2-22-(y2+4y-5)=(100+2)(100-2)=4a2-25b2;(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2解：(1)210×190(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(2)(-x+2y)(-x-2y)(1)用多项式乘法证明解：(-3a+1)(-3a-1)(9a2+1)(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(2)(-x+2y)(-x-2y)(2)等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.解：(1)(3x+2)(3x-2)(2)(-x+2y)(-x-2y)(1)210×190;(2)2020×2022-20212.(2)借助几何图形证明ba将图中右下方的长方形移动位置后，拼得一个长为(a+b)，宽为(a-b)的长方形，其面积为(a+b)(a-b).a-bb(a+b)(a-b)=a2-b2.(3)(2x+1)(2x-1)=____________平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.特点：(1)等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.两个数的和两个数的差积平方差两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.特点：(1)例1运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y).

解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22

=9x2-4.(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2

=x2-4y2.跟踪训练新知探究分析：(1)3x相当于a，2相当于b.(2)-x相当于a，2y相当于b.例1运用平方差公式计算：解：(1)(3x+2)(3x(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4=16x2-9y2;两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4x2-2x+1=(x-1)2(2)-x相当于a，2y相当于b.而(a-b)2-(a+b)2=3-4=-1，2x·2x-2x+2x-1(a+b)(a-b)=(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2(a+b)(a-b)=a2-b2特点：(1)等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.已知(a-b)2=3,(a+b)2=4,则ab=.(a+b)(a-b)=m·m-2m+2m-4=4a2-25b2;(2)2020×2022-20212例2计算：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(2)102×98.

解：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)

=y2-4-y2-4y+5=-4y+1；(2)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22

=9996.

只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b平方差公式的变化及应用变化形式应用举例位置变化符号变化系数变化指数变化增项变化连用公式变化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4平方差公式的变化及应用变化形式应用举例位置变化符号变化系数变(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4=[(3a)2-1][(3a)2+1]=4a2-25b2;=4a2-25b2;x2-1=(x+1)(x-1)(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(1)210×190;(2)2020×2022-20212.2x·2x-2x+2x-1(a+b)(a-b)=a2-b2理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.=16x2-9y2;(1)用多项式乘法证明=4a2-25b2;(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(2)(-x+2y)(-x-2y)(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2-b2.(1)平方差公式的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式；(2)在运用公式时，要分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b，不要混淆.(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-1.（2020·郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）

A.x2-2x+1=(x-1)2B.x2-1=(x+1)(x-1)C.x2+2x+1=(x+1)2D.x2-x=x(x-1)

x2-1(x+1)(x-1)B随堂练习1.（2020·郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边2.计算下列式子：(1)(5m+3n)(5m-3n);(2)(-3y-4x)(3y-4x);解：(1)

(5m+3n)(5n-3n)=(5m)2-(3n)2=25m2-9n2

;

(2)(-3y-4x)(3y-4x)=[(-4x)+3y][(-4x)-3y]=(-4x)2-(3y)2=16x2-9y2

;

2.计算下列式子：解：(1)(5m+3n)(5n-3n)((3)

(-2a2+5b)(-2a2-5b)=(-2a2)2-(5b)2=4a2-25b2

;

2.计算下列式子：(3)(-2a2+5b)(-2a2-5b);(4)(x+y)(-x+y).

(3)(-2a2+5b)(-2a2-5b)2.计算下列式子3.计算下列式子：(1)210×190;(2)2020×2022-20212

.

解：(1)210×190=(200+10)

(200-10)=2002-102

=40000-100=39900;

(2)2020×2022-20212=(2021-1)

(2021+1)-20192=20212-1-20212=-1.3.计算下列式子：解：(1)210×190(2)202平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差(a+b)(a-b)=a2-b2课堂小结平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.计算：(-3a+1)(-3a-1)

(9a2+1).解：(-3a+1)(-3a-1)(9a2+1)=[(-3a)2-1][(3a)2+1]=[(3a)2-1]

[(3a)2+1]=(3a)4-1=81a4-1.分析：观察可知，变形之后可连用两次平方差公式.拓展提升1.计算：(-3a+1)(-3a-1)(9a2+1).解2.已知(a-b)2=3,(a+b)2=4,则ab=._________解：因为

(a-b)2-(a+b)2=(a-b+a+b)

(a-b-a-b)=2a·(-2b)=-4ab，而(a-b)2-(a+b)2=3-4=-1，所以-4ab=-1，所以ab=.

平方差公式的逆用

2.已知(a-b)2=3,(a+b)2=4,则ab=14.2.1平方差公式乘法公式八年级上册RJ初中数学14.2.1平方差公式乘法公式八年级上册RJ初中数学知识回顾1.单项式乘以多项式法则：p(a+b+c)=pa+pb+pc(p，a，b，c都是单项式).2.多项式乘以多项式法则：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq(a，b，p，q分别是单项式).知识回顾1.单项式乘以多项式法则：2.多项式乘以多项式法则：1.了解并掌握平方差公式.2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.学习目标1.了解并掌握平方差公式.学习目标课堂导入喜洋洋在计算980×1020时，觉得这道题的计算量很大，灰太狼得意的对喜洋洋说:“你把980×1020变成形(1000-20)(1000+20)不就简单多了吗？“你知道灰太狼运用了什么知识吗？课堂导入喜洋洋在计算980×1020时，觉得这道题的计算量很计算下列多项式的积：(1)(x+1)(x-1)=_________=_____；(2)(m+2)(m-2)=_____________=_____；(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.

x·x-x+x-1x2

-1

m·m-2m+2m-4m2

-4=m2

-222x·2x-2x+2x-14x2

-1=(2x)2

-12

观察计算结果，你能发现什么规律？=x2

-12

猜想：(a+b)(a-b)=

.

a2

-b2

知识点

平方差公式新知探究如何证明这个等式呢？计算下列多项式的积：x·x-x+x-1x2-1m·m-2(1)用多项式乘法证明(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.(1)用多项式乘法证明(a+b)(a-b)=a2-ab+a(1)210×190;(2)2020×2022-20212.=9996.2x·2x-2x+2x-1已知(a-b)2=3,(a+b)2=4,则ab=.平方差公式的变化及应用图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2-b2.解：(1)(3x+2)(3x-2)=[(-3a)2-1][(3a)2+1]平方差公式的变化及应用x2-1=(x+1)(x-1)多项式乘以多项式法则：喜洋洋在计算980×1020时，觉得这道题的计算量很大，灰太狼得意的对喜洋洋说:“你把980×1020变成形(1000-20)(1000+20)不就简单多了吗？(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(a+b)(a-b)=a2-b2.=[(-3a)2-1][(3a)2+1]x2+2x+1=(x+1)2=25m2-9n2;(2)-x相当于a，2y相当于b.(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2m·m-2m+2m-4(2)借助几何图形证明图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2-

b2.ba(1)210×190;(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(2)(-x+2y)(-x-2y)=16x2-9y2;而(a-b)2-(a+b)2=3-4=-1，=y2-22-(y2+4y-5)=(100+2)(100-2)=4a2-25b2;(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2解：(1)210×190(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(2)(-x+2y)(-x-2y)(1)用多项式乘法证明解：(-3a+1)(-3a-1)(9a2+1)(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(2)(-x+2y)(-x-2y)(2)等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.解：(1)(3x+2)(3x-2)(2)(-x+2y)(-x-2y)(1)210×190;(2)2020×2022-20212.(2)借助几何图形证明ba将图中右下方的长方形移动位置后，拼得一个长为(a+b)，宽为(a-b)的长方形，其面积为(a+b)(a-b).a-bb(a+b)(a-b)=a2-b2.(3)(2x+1)(2x-1)=____________平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.特点：(1)等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.两个数的和两个数的差积平方差两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.特点：(1)例1运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y).

解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22

=9x2-4.(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2

=x2-4y2.跟踪训练新知探究分析：(1)3x相当于a，2相当于b.(2)-x相当于a，2y相当于b.例1运用平方差公式计算：解：(1)(3x+2)(3x(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4=16x2-9y2;两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4x2-2x+1=(x-1)2(2)-x相当于a，2y相当于b.而(a-b)2-(a+b)2=3-4=-1，2x·2x-2x+2x-1(a+b)(a-b)=(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2(a+b)(a-b)=a2-b2特点：(1)等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.已知(a-b)2=3,(a+b)2=4,则ab=.(a+b)(a-b)=m·m-2m+2m-4=4a2-25b2;(2)2020×2022-20212例2计算：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(2)102×98.

解：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)

=y2-4-y2-4y+5=-4y+1；(2)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22

=9996.

只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b平方差公式的变化及应用变化形式应用举例位置变化符号变化系数变化指数变化增项变化连用公式变化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4平方差公式的变化及应用变化形式应用举例位置变化符号变化系数变(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4=[(3a)2-1][(3a)2+1]=4a2-25b2;=4a2-25b2;x2-1=(x+1)(x-1)(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(1)210×190;(2)2020×2022-20212.2x·2x-2x+2x-1(a+b)(a-b)=a2-b2理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.=16x2-9y2;(1)用多项式乘法证明=4a2-25b2;(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.(2)(-x+2y)(-x-2y)(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2-b2.(1)平方差公式的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式；(2)在运用公式时，要分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b，不要混淆.(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-1.（2020·郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）

A.x2-2x+1=(x-1)2B.x2-1=(x+1)(x-1)C.x2+2x+1=(x+1)2D.x2-x=x(x-1)

x2-1(x+1)(x-1)B随堂练习1.（2020·郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边2.计算下列式子：(1)(5m+3n)(5m-3n);(2)(-3y-4x)(3y-4x);解：(1)

(5m+3n)(5n-3n)=(5m)2-(3n)2=25m2