综合法求二面角(解析)

-.z.综合法求二面角方法：1．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝eq\f(\r(3),2)，则二面角B－AC－D的余弦值为 ()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2) C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(\r(3),2)2.如下图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．(1)证明如下图，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝eq\f(PA,AB)＝eq\r(3)，则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.3.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．4.如下图，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝eq\r(5)，AC＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(2)，BC＝eq\r(6).(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．(1)证明连接BD，∵D是AC的中点，PA＝PC＝eq\r(5)，∴PD⊥AC.∵AC＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(2)，BC＝eq\r(6)，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.∴BD＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)＝AD.∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝eq\r(5)，∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD.∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.(2)解取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．在△PED中，DE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(6),2)，PD＝eq\r(3)，∠PDE＝90°，∴tan∠PED＝eq\f(PD,DE)＝eq\r(2).∴二面角P—AB—C的正切值为eq\r(2).5.如下图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；(3)假设二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．．(1)证明连接OE，如下图．∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，∴PA∥面BDE.(2)证明∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面PAC.又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE.(3)解取OC中点F，连接EF.∵E为PC中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD.∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.在Rt△OEF中，OF＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(\r(2),4)a，∴EF＝OF·tan30°＝eq\f(\r(6),12)a，∴OP＝2EF＝eq\f(\r(6),6)a.∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(\r(6),18)a3.6.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1－BD－C1的大小．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.又AC＝eq\f(1,2)AA1，可得DCeq\o\al(2,1)＋DC2＝CCeq\o\al(2,1)，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，CD∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.因为BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC.(2)解DC1⊥BC，CC1⊥BC⇒BC⊥平面ACC1A1⇒BC⊥AC，取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，A1C1＝B1C1⇒C1O⊥A1B1，面A1B1C1⊥面A1BD⇒C1O⊥面A1BD，又∵DB⊂面A1DB，∴C1O⊥BD，又∵OH⊥BD，∴BD⊥面C1OH，C1H⊂面C1OH，∴BD⊥C1H，得点H与点D重合，且∠C1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝eq\f(\r(2),2)a，C1D＝eq\r(2)a＝2C1O⇒∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.7.〔2010江西理数〕如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。求点A到平面MBC的距离；求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。【解析】此题以图形拼折为载体主要考察了考察立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考察了空间想象能力和推理能力解法一：〔1〕取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得：。〔2〕CE是平面与平面的交线.由〔1〕知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.，，所以，所求二面角的正弦值是.8.〔广东10〕18.〔本小题总分值14分〕如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a．〔1〕证明：EB⊥FD；〔2〕点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．〔2〕设平面与平面RQD的交线为.由BQ=FE,FR=FB知,.而平面，∴平面，而平面平面=，∴.由〔1〕知，平面，∴平面，而平面，平面，∴，∴是平面与平面所成二面角的平面角．在中，，，．．故平面与平面/r/