人教九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数(小结)教学设计

2018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案锐角三角函数（小结）授课方案授课目的:·知识与技术：1、使学生会把实责问题转变成解直角三角形问题，进而会把实责问题转变成数学问题来解决；2、渐渐培养学生解析问题、解决问题的能力；3、浸透数学本源于实践又反过来作用于实践的见解，培养学生用数学的意识．·过程与方法：在研究用锐角三角函数解决实责问题的过程中，让学生体验分类的思想有条理地思虑、解析、表达、解决问题的能力，渐渐培养学生解析问题、解决问题的能力。·感神态度与价值：激励学生敢于实践，勇于发现，英勇研究，合作创新的精神；领悟数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣。教材解析：认知基础：作为初中数学解直角三角形的知识在航海、航空、测量等等各领域的运用是特别广泛的，而有的学生在解决此类应用问题时，解答书写过程繁琐、凌乱、甚至错误，既浪费时间又不用然能获得理想的解答。活动经验基础：解直角三角形的知识在航海、航空、测量、修路、筑坝建房、机械加工等领域，甚至在我们的平常生活中运用也特别广泛，其应用价值和重要性是不言而喻的。因此在《数学课程标准》中，也要特地谈到对解直角三角形应用问题的要求，其内容标准是：“使学生会运用三角函数解决与直角三角形在有关的简单的实责问题”，因此在整个初中数学知识内容系统中占有重要的一席之地，也正由于如1/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案此，在全国各地多年的中考试题中，几乎都少不了直角三角形应用问题的题型。授课重点：要修业生善于将某些实责问题中的数量关系，归纳为直角三角形元素之间的关系，进而利用所学知识把实责问题解决．授课难点：实责问题转变成数学模型．授课过程：知识回顾：在解答解直角三角形应用题型时，我们已经掌握解直角三角形必备的基本知识及其互相间的关系：1）三边之间的关系：勾股定理2）两锐角之间的关系：两锐角互余3）边角之间的关系：锐角三角函数我们知道在解直角三角形有关的应用题时，有的题只要在一个直角三角形中即可解决问题，这类情况可把它叫做“单直角三角形问题”。解“单直角三角形问题”只要我们具备上述的知识及关系，基本能够解决问题了。而有的情况需要两个直角三角形互相配合才能决问题，这类情况可把它叫做“双直角三角形问题”。解决这类问题，我们除具备上述的知识及关系外，还需要拥有必然的观察、解析及转变问题的能力，再掌握一些在解题过程中总结出来的卓有收效的模式才能迅速解决问题。本节课，我们把“双直角三角形问题”分成几种题型来进行谈论。2/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案活动一：第一种题型：“一点两角一线段”，此种题型又可分为两种情况：第1种情况：对应图形的特点是：两直角三角形有“一已知的公共边”，“已知两角”有一“公供极点”，“公供极点”在“已知公共边”的“同一端点”处，“已知两角”分别在“已知公共边”的“两侧”，这“一已知公共边‘垂直于’所求线段”。故形象地称这类题型为“一点两角一线段”题例1（人教版九年级下册28.2解直角三角形第89页，例4）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?解析：在中，，m因此能够利用解直角三角形的知识求出BD；近似地能够在Rt△ACD中求出CD，进而求出BC.几何法：解：如图,在△ABD和△ACD中，,m3/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案∴BDADtan120tan30012034033∴CDADtan120tan60012031203答:这栋楼高约为277.1m.代数法：若是设所求线段BC=xm，AD=L，∠BAD=α、CAD=β，那么把它们代入上面的解答过程求解，可归纳成一个比较简短简要的公式模型：xL(tantan)运用公式①进行代数法解答以下：解：设所求线段00BC=Xm，L=AD=120m，α=∠BAD=30，β=∠CAD=60，由题意得方程：xL(tantan)x120(tan300tan600)答：这栋楼高约为显然，代数解法简化了好多。活动二：第2种情况：对应图形的特点是：两直角三角形有“一已知的公4/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案共边”，“已知两角”有一“公供极点”，“公供极点”在“已知公共边”的“同一端点”处，“已知两角”分别在“已知公共边”的“两侧”，这“一已知公共边‘垂直’于所求线段”。故这类题型也形象地称为“一点两角一线段”题。例2、（人教版九年级下册28.2解直角三角形，第93页练习第1题）如图，建筑物BC上有一旗杆,由距40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50o，观察旗杆底部B的仰角为45o，求旗杆的高度（精确到）。0解析：在Rt△ADC中，DC=40m,∠ADC=50，因此能够利用解直角三角形的知识求出AC;近似地能够在Rt△BDC中求出BC，进而求出AB.几何法：A解：如图,在Rt△ADC中和Rt△BDC中

BADC=500，∠BDC=450，DC=40mDjCtanADCAC,tanBDCBCDCDC·tan500≈40×1.198＝47.67；BC=DC·tan450=40×1=40AC=DC∴≈答:旗杆高约为7.7m.代数法：5/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案若是设所求线段AB=xm，DC=L，∠ADC=α、∠BDC=β，那么把它们代入按上面的解答过程求解，可归纳成一个比较简短简要的公式模型：xL(tantan)②（注意：只要括号内是大角的正切值减去小角的正切值，便能够保证结果是正当）。运用公式②进行代数法解答以下：00，解：设AB=xm，L=DC=40m，α=∠ADC=50β=∠BDC=45由题意得方程xL(tantan)x40(tan500tan450)答:旗杆高约为7.7m。显然，代数解法简化了好多。活动三：第二种题型“两点两角一线段”。对应图形的特点是：两直角三角形有“一已知的公共线段”，“已知两角的极点”分别在“已知公线段的两端点”处，“已知两角”分别在“已知公共线段”所在直线的“同侧”，这“一已知的公共线段”的延长线“垂直”于所求线段。故形象地称这类题型为“两点两角一线段”题。例3、如图，已知：在塔前的平川上选择一点A，测出这点看塔顶6/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案0的仰角∠DAC=35，在A点和塔之间的水平线AC上，选择一点B，测这0点看塔顶的仰角∠DBC=50，AB=20m.求塔DC的高度。几何法：0解：由题意得∠DCB=∠DCA=900在Rt△BCD中，∵∠DBC=50DCDC∴BCtan500tanDBC

DjCAB0在Rt△ACD中，∵∠DAC=35，DC=AC·tan∠DAC=（AB+BC）·tan∠DAC=AB·tan∠DAC+BC·ta∠DAC20×tan350+BC×tan350把BCDC0代入进行计算：tan50DCDC=20×tan350+tan500×tan350DCtan500=20×tan350×tan500+DC·tan350DC·tan500-DC·tan350=20×tan350×tan500DC·（tan500-tan350）=20×tan350×tan50020tan350tan50014.29(m)DCtan350tan500答：塔高约为14.29m.代数法：若是设所求线段DC=xm，∠DAC=β，∠DBC=α，AB=L，那么把它们代入，按上面的解答过程求解，可归纳成一个比较简短简要的公式模型：7/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案Ltantanx③tantan（注意：分母只若是大角的正切值减去小角的正切值，就能保证结果是正当）。运用公式③进行代数法解答以下：00解：设DC=Xm，β=∠DAC=35，α=∠DBC=50，L=AB=20m，由题意可得方程：x

Ltantantantan20tan350tan500答：塔高约为27.16m.xtan35027.16(m)tan500课后小结：三个公式的运用价值的解析思虑与谈论：1、三个公式完好合用于吻合“双直角三角形问题”的“一点两角一线段”、“两点两角一线段”等题的已知条件及图形特点的题型，是拥有很强的代表性的，可作为解决拥有此类应用问题题型的公式模型。故其合用价值是高的。2、用三个公式进行代数解答，不会失去几何解答的合理性和科学性。3、为了正确运用、深刻理解和记忆这三个公式，可引导学生亲自着手参加推导，并指出在运用公式时，要注意要严格确定题型的已知条件和图形特点可否已经吻合公式要求，只有这样才能正确高效地使用公式。三个公式中的三角函数值都是正切值。公式①、②针对的8/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案是“一点两角一线段”的题型，一点在指什么、在哪里？两角是指什么、在哪里？一线段又是指什么、在哪里？为什么是一加一减？图形有什么不相同或相同点？相减时分母中的大角的正切值应在什么地址时才不会出现负数？公式③针对的是“两点两角一线段”的题型，两点在指什么、在哪里？两角是指什么？在哪里？一线段又是指什么、在哪里？适合公式①②的题对应的图形，直观上看，正由于两角在已知公供线段的异侧，或两角在已知公供线段的同侧才形成了所求线段是由两条线段相加或相减所得，故公式中间用加号或减号，因此两公式可合起来记忆，可是中间是一加一减。适合公式③的题型与适合公式①、②的是不相同的，就图形而言最根本的差异是：两已知角的极点可否在已知线段的同一端点，已知线段是直接垂直所求线段还是其延长线垂直于所求线段。且公式③是一分式。公式①、②都是多项式。学生练习：1、如图，上午10点整，不明渔轮在小岛上哨所A的南偏西30°方向的O处，不明渔轮正以每小时10海里的速度向O点的正东方向行驶，哨所A距离正东方向的OB直线8海里，渔轮至B处时，从哨所A上的测得B点在哨所向南偏东60°方向．那么渔轮到达正东方向B点时是什么时间？(精确到1分)．解析说明：此题的图形可看作是由公式①的原图形经过顺时针旋转900所得，可过A点作AD⊥OB于D，9/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案这样，观察图形知：一点是A，两已知角是∠OAD，∠BAD，已知一线段是AD，两角的极点都在已知一线段AD的同一瑞点A地方求线段是OB同。从图形特点和已知条件解析，可发现它仍就是“一点两角一线段”第1种情况的题型特点，可是图形的地址发生了变动，自然以可用公式①求解。2、如图，小芸在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高.现测得树顶C处的俯角为450，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为20米.请你帮助小芸计算树的高度（精确到米）．（2009年云南省中考题，第17题，分值8分。此题与人教版九年级下册28.2解直角三角形，第101页，复习题28综合运用第8题几乎相同，可是把其中的数值改变了一下）A4560°先看几何法解答：解：过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E，

CBD则∠AEC=∠BDC=90°．∵EAC45，AEBD20，∴ECAE20．···················3分4560°∵tanADBtanEADAB，CBD∴AB20tan60203，········6分DB10/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案CDEDECABEC2032014.6（米）．答：树高约为米．·····························8分解析说明：此题的图形可看作是由公式②的原图形以已知线段AE所在的直线为对称轴翻转1800所得。延长CD交过A点的平行线AE于E点，∠AED=900，经过增加轩辅助线后，观察一点是A点，已知两角∠DAE=600、∠C=450，的极点都在已知线段AE（AE=BD）的同一端点A，已知线段是AE=BD=20米。从图形特点和已知条件解析，可发现它就是“一点两角一线段第2情况”的题型，可是图形的地址发生了变动，故可用公式②求解。若是从代数法解答的角度思虑，过点A作AE∥BD，AE交DC的延长线于点E，设DC=X米，∠α=∠DAE=600，∠β=∠CAE=300，L=BD=AE=20米，代入公式②得方程：xL(tantan),很快即可出CD的长度。3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必定迅速计算出舰艇何时驶入我军器力射程之内，以便及时还击。解析说明：此题的图形可看作是由公式②的原图形经过图形必然的图形变换所得。要计算出舰艇何时驶入我军器力射程内，就是要求敌舰11/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案艇恰巧进入我军器力100米射程的时辰，求时间就得知道行程和速度，求舰艇的速度时，可先求出行程CD的长，尔后用已知C处到A处的时间是5分钟，进而可求得舰艇的速度，接着可求舰艇10：05分从D处至BD方向100米处的时间，最后求得敌舰艇恰巧进入我军器力100米射程的时辰。在求解的过程中，求线段CD的长时，从图形特点和已知条件解析看，它就是“一点两角一线段”的题型，一点是A点，可是图形的地址发生了变动，两角为∠CAB=900-α，∠DAB=900-β，此两角可经过两个俯角的值及互余关系求得，因此仍可用公式②求解。即CD=AB（tan∠CAB-tan∠DAB）=80·［tan（900-α）-tan（900-β）］。4、如图1，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得仰角是43．1s后，火箭到B达B点，此时测得仰角为，OC的距离是A米，解答以下问题：OC（1）火箭到达B点时距离发射点有多远（精确到图1）？2）火箭从A点到B点的平均速度是多少（精确到）？（人教版九年级下册，28.2解直角三角形，第97页，习题28.2，第题与此题几乎近似）解析说明：第（1）问，只要在单Rt△OBC中，利用已知的边角关系并可求出BC长。而第（2）问中求火箭从A点到B点的平均速度是多少，就是要先求出AB的长，进而求出火箭的平均速度。从图形特12/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案点和已知条件解析，求AB的长它，就是“一点两角一线段”的题型，可是图形的地址发生了变动，可用公式②求解。5、（人教版九年级下册，28.2解直角三角形，第99页数学活动2测量塔高）如图（1）在塔前的平川址选择一点A，用活动1中制作的测角仪测出你看塔顶的仰角α；2）在A点和塔之间选择一点B，测出你由B点看塔顶的仰角β；3）量出A、B两点的距离；4）计算塔的高度．解析说明：此题的求解从图形特点和已知条件解析，它就是“两点两角一线段”的题型个，可用公式③Ltantanxtan,X的值再加上人的高度即可得塔的高度tan可是把分母中的小角α和大角β的值互相调换，保证结果为正当。很快即可得塔的高度。6、（人教版九年级下册28.2解直角三角形第95页练习题第1题）如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船追踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东600，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，若是鱼船不改变航向连续向东航行．有没有触礁的危险？解析说明：有没有触礁的危险，重点是看海岛A到直线BC的距离，有没有13/162018年最新人教版九年级数学下册第二十八章2锐角三角函数（小结）授课方案小于8海里，小于8海里就有可能触礁，反之就不可以能触礁。因此必定过A点作BC的垂线段AD，垂足为D，这样即可得适合“两点两角一线段”的题型图形，从图形特点和已知条件解析，∠ABD、ACD值都可由两个已知的方向角求得，故可用公式