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g3.1039不等式证明方法(二)
一、知识回顾
1、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,从而肯定原结论的正确;
2、放缩法:欲证,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量使得(或),常用的放缩方式:
舍去或加上一些项;
;;
3、换元法:三角换元、代数换元;
4、判别式法
二、基本训练:
1、实数、、不全为零的条件为()
、、全不为零、、中至多只有一个为零
、、只有一个为零、、中至少有一个不为零
2、已知,,则有()
3、为已知,则的取值范围是。
4、设,,则、大小关系为。
5、实数,则的取值范围是。
三、例题分析:
例1、x>0,y>0,求证:
例2、函数,求证:
例3、(三角换元法)
例4、求证:(判别式法)
例5、若a,b,c都是小于1的正数,求证:.
(反证法)
例6、求证:(放缩法)
例7、设二次函数,若函数的图象与直线和均无公共点。
求证:
求证:对于一切实数恒有
四、课堂小结:
1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.
2、换元法(主要指三角代换法)多用于条件不等式的证明,此法若运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.
3、含有两上字母的不等式,若可化成一边为零,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑判别式法,并注意根的取值范围和题目的限制条件.
4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证,放缩时要看准目标,做到有的放矢,注意放缩适度.
五、同步练习g3.1039不等式证明方法(二)
1、若且,则的取值范围是()
2、已知,则下列各式中成立的是()
3、设,y∈R,且x+y=4,则的最大值为()
A)2- B)2+2 C)-2 D)
4、若f(n)=-n,g(n)=n-,φ(n)=,则f(n),g(n),ф(n)的大小顺序为____________.
5、设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a+b>2;⑤ab>1,其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.
6、a、b、c∈R-,a≠b,求证:
7、a>b>c,求证:
(提示:换元法,令a-b=m∈R+,b-c=n∈R+)
8、若,求证:
9、已知,求证:中至少有一个不少于。
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