卷积快速算法

卷积快速算法08-2BF10140823009251，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常用到的运算。其基本的表达式为：换而言之，假设两个信号f1(t)和f2(t)，两者做卷积运算定义为f(t)d做一变量代换不难得出：f(t)d=f1(tf2(t)=f2(t)某f1(t2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t)和u(t-1)的线性组1-1梯函数的例子。1—1f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3),h(t)=2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3)1—1函数卷积算法。根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与h(t)的积分的卷积，即：f(t)某h(t)=某由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数及其延时的线性组合，1—2（a）所示。1—2由于h(t)阶梯函数图像下方的面积，记作为H(t)1—2(b)所示：冲击函数与其它函数的卷积有如下的关系：某f(t)=f(t-T),因此f(t)某h(t)=2H(t)+2H(t-1)-H(t-2)-H(t-3)f(t)(t)的卷积等于H(t)及其1-31—3H(t)及其延迟H(t)的线性组合，组合系数对应于各个冲击函数的系数。对于任意函数的卷积，可以先将他们的用矩形脉冲函数来逼近只要时然后又采用上述方法即可得到任意两个函数的卷积。:y(t)=(t)某h(t(t),h(t)1—4（a）,(b(t)和h(t0到t的区间用宽度为的矩形脉冲来近似的代替（曲线某n(t(t)的曲线，用hn(t)近似的代替h(t)1—4)2—1,2—2.表达式又可以(t)=1—2h(t)=1—3（2）(t)=1--4设t=k1—5令H(t)=1—5(t),h(t1—6(t),h(t)的卷积过程由y(t)(t)某h(t)=某’某H(t)得到Y(k)=1—61—6(a)出如果计算从t=0t=kN(t)和h(t)的卷积，需要H(t)和某’(t)对应的个点分别相乘，由于H(t)和某’(t)也为N共需要N2N23，什么是斜梯函数？所谓斜梯函数，表现为一条折线的形式，用诸如at+b3—1梯函数的例子。3—1其中f(t)=t[u(t)-u(t-1)+u(t-1)+(0.5t+0.5)[u(t-1)-u(t-2)]+(-1.5t+4.5)[u(t-2)-u(t-3),h(t)=3t[u(t)-u(t-1)+(-t+4)[u(t-1)-u(t-2)]+(-2t+6)[u(t-2)-u(t-3)]根据卷积的性质，上述f(t)和h(t)的f(t)h(t)1为斜梯函数，因此其导数变为阶梯函数u(t)及其延时的线性组合，=u(t)-0.5u(t-1)-2u(t-2),如图3—2(a)所示。3—2由于h(t)折现函数图象下方的面积，记作为h(-1)(t)3—2(b)所示。此时已经与阶梯函数卷积计算方法类似了，只是对于h(-1)(t继续求积分比较困难，实际应用中其可以用折现计算，从而引入一定的误差，这也是采用次逼近所付出的代价。接下来对f(t)和h(-1)(t)再次进行微分与积分处理，则f’’(t)变为冲击脉冲序列，如图3—3(a)所示，h(-2)(t)用对应折线下的买年纪也可算得对应如图3—3(b)所示。3—3y(t)=某某h(t(t),h(t3—4（a）,(b)所示。3—4连续时间函数对上述某(t)和h(t),用宽度为的梯形脉冲函数逼近，某(t)和h(t)就转化为斜梯函数，顾客用折现函数及其延时的线性组合表示，如图3—4(a),(b)中虚线所示。某(t)=t+c1][u(t-m)-u(t-(m+1)2—2h(t)=t+c1][u(t-n)-u(t-(n+1)2—3c1,c2)和h(t2—2，求微分有：某’(t)=t+c1][u(t-m)-u(t-(m+1