专升本高等数学(一)-空间解析几何、无穷级数、常微分方程

专升本高等数学(一)-空间解析几何、无穷级数、常微分方程(总分：88.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：5，分数：5.00)1.设平面过π点(1，0，-1)且与平面4x-y+2z-8=0平行，则平面π的方程为1．（分数：1.00）填空项1: 解析：

（正确答案：4x-y+2z-2=0；）2.过两点(1，-1，-1)，(0，2，-1)的直线的方程是1．（分数：1.00）填空项1: 解析：

（正确答案：[*]；）（分数：1.00）填空项1: 解析：

（正确答案：直线在平面内；）4.直线l过点(0，2，-1)且与平面4x-y+2z-8=0垂直，则直线l的方程为1．（分数：1.00）填空项1: 解析：

（正确答案：[*]；）5.点(1，0，-1)到平面x+2y-2z-2=0的距离是1．（分数：1.00）填空项1: 解析：

（正确答案：[*]．）二、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：11，分数：83.00)y=x2+1(x，yly=2x+1，求（分数：3.00）0 0(1).切点(x，y)；（分数：1.00）0 0y'=2x，y'|=2xl2xly=2x+12x2，x=x0 0 0 0x=1，y=2，即切点的坐标为(1，2)；)0 0解析：切线l．（分数：1.00）正确答案：(过点(1，2)，斜率为2的切线方程为y=2x．)解析：求过点M(1，-1，2)且与直线l，lll的方向向量s1，2，-1}，s2，1，1}，直线lll

都垂直，可取l的方3π：x+2y-z+3=03π：x+2y-z+3=0l：的位置关系是1．012（分数：1.00）(1).（分数：1.00）s=s×s3，1，5}，M1，-1，2)，由直线的标准式方程可得知，所求直线方程为[*]．)1 2 0解析：试确定下列各组直线与平面间的关系：（分数：5.00）(2).（分数：1.00）(3).（分数：1.00）(4).(2).（分数：1.00）(3).（分数：1.00）(4).（分数：1.00）(2).；（分数：1.00）正确答案：(l与π平行，但不落在π解析：正确答案：(l落在π解析：正确答案：(l⊥π解析：正确答案：(l与π解析：(5).求所给球面x2+y+z+2y-4z-4=0．（1.00）正确答案：(球心(0，-1，2)，半径R=3．)解析：指出下列方程在空间直角坐标系中所表示曲面的名称． （分数：17.00）(1).x2+y2+z-2z=0；（分数：1.00）正确答案：(球面，球心(0，0，1)，半径解析：解析：(3).x2-y2+z=0；（1.00）正确答案：(圆锥面，顶点在原点，Oy轴为轴；)解析：(4).y2+z2=1；（分数：1.00）Ox解析：(5).x+2y+2z2=1；（分数：1.00）正确答案：(旋转抛物面；)解析：(6).x2-y2+z=1．（1.00）正确答案：(旋转抛物面．)解析：(7).求出曲线l绕Oz轴旋转一周所得到的曲面方程，其中l：（分数：1.00）(8).判断下列级数的收敛性，如果收敛，试求出级数的和.．（分数：1.00）(9).判断下列级数的收敛性，如果收敛，试求出级数的和.．（分数：1.00）(10).判断下列级数的收敛性.．（分数：1.00）(11).判断下列级数的收敛性.（分数：1.00）(7).求出曲线l绕Oz轴旋转一周所得到的曲面方程，其中l：（分数：1.00）(8).判断下列级数的收敛性，如果收敛，试求出级数的和.．（分数：1.00）(9).判断下列级数的收敛性，如果收敛，试求出级数的和.．（分数：1.00）(10).判断下列级数的收敛性.．（分数：1.00）(11).判断下列级数的收敛性.（分数：1.00）(12).判断下列级数的收敛性.．（分数：1.00）(13).判断下列级数的收敛性.．（分数：1.00）(15).判断下列级数的收敛性.．（分数：1.00）(16).判断下列级数的收敛性.．（分数：1.00）(14).判断下列级数的收敛性.．（分数：1.00）xy1解析：正确答案：(级数收敛，和为解析：正确答案：(级数收敛，和为1原式=[*]．)解析：解析：正确答案：(级数发散．提示解析：正确答案：(级数收敛．提示解析：正确答案：(级数收敛．提示解析：解析：解析：正确答案：(级数收敛．提示：可用比值判别法．)(17).判断下列级数的收敛性.．（分数：1.00）(1).；（分数：1.00）(2).；（分数：1.00）(3).．（分数：1.00）(1).；（分数：1.00）(17).判断下列级数的收敛性.．（分数：1.00）(1).；（分数：1.00）(2).；（分数：1.00）(3).．（分数：1.00）(1).；（分数：1.00）(2).；（分数：1.00）(3).；（分数：1.00）(4).；（分数：1.00）(5).；（分数：1.00）解析：判断下列级数的收敛性：（分数：3.00）解析：解析：解析：判断下列级数的收敛性，如果级数收敛，请说明是绝对收敛还是条件收敛．（分数：13.00）解析：解析：解析：解析：正确答案：(级数收敛，绝对收敛；)(6)..（分数：1.00）(7).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.．（分数：1.00）(8).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.．（分数：1.00）(9).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.（分数：1.00）(10).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.（分数：1.00）(6)..（分数：1.00）(7).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.．（分数：1.00）(8).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.．（分数：1.00）(9).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.（分数：1.00）(10).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.（分数：1.00）(11).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.（分数：1.00）(12).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.（分数：1.00）(13).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.（分数：1.00）(2).（分数：1.00）解析：正确答案：(收敛半径为R=1，收敛区间为(-1，1)．)解析：R=+∞，收敛区间为(-∞，∞)．)解析：正确答案：(收敛半径为[*解析：正确答案：(收敛半径为R=2，收敛区间为(-2，2)．)解析：正确答案：(收敛半径为R=3，收敛区间为(-6，0)．)解析：正确答案：(收敛半径为R=1，收敛区间为(0，2)．)解析：正确答案：(收敛半径为[*解析：将下列函数展开成x的幂级数．（分数：5.00）(1).f(x)=ln(1-x)（分数：1.00）正确答案：([*]．)解析：正确答案：([*[*]，注意n1解析：解析：(4).f(x)=ax（1.00）([*]．提示：x=exlnaex的展开式．)解析：(5).f(x)=(1+x)ln(1+x)．（分数：1.00）正确答案：([*]．提示：(1+x)ln(1+x)=ln(1+x)+xln(1+x)．)解析：

的幂级数．（分数：15.00）(3).（分数：1.00）(3).（分数：1.00）(4).(3).（分数：1.00）(3).（分数：1.00）(4).（分数：1.00）(5).将函数展开为麦克劳林级数．（分数：1.00）(1).f(x)=ln(x-1)，x=2（分数：1.00）0正确答案：([*])解析：(2).f(x)=exx=1；（分数：1.00）0解析：解析：正确答案：([*]提示解析：[*[*[*]的展开式[*]，x∈(-1，1)用幂级数的逐项微分公式)来求．)解析：求微分方程xdx+ydy=0．（分数：1.00）x+y2=C．解析：求微分方程y'=xey的通解．（1.00）正确答案：(通解为[*]．直接分离变量作积分．)解析：正确答案：(通解为[*解析：正确答案：(通解为[*解析：(10).求微分方程xy'+y=ex的通解．（1.00）正确答案：(通解为[*]．先将方程化为[*]，再用通解公式或常数变易法．或者令u=xy，将[*]代入原方程化简，可得u'=ex，解析：(11).求解微分方程xy'-y=x-2．（分数：1.00）y=x+Cx+．将方程化为[*解析：(ex+-e)dx+(ex++e)dy=0

=1的特解．（分数：1.00）x=0正确答案：(特解为[*]．可分离变量求解．)解析：求微分方程xy'+(2-3x2)y=x3满足初始条件

=0的特解．（分数：1.00）(8).求微分方程的通解．（分数：1.00）(9).求微分方程的通解．（分数：1.00）(14).求微分方程(8).求微分方程的通解．（分数：1.00）(9).求微分方程的通解．（分数：1.00）(14).求微分方程的通解．（分数：1.00）(15).设连续函数f(x)满足积分方程f(x)．（分数：1.00）正确答案：(特解为[*解析：解析：正确答案：([*]．先在积分方程两边对变量x求导，将原方程化为如下微分方程xf(x)=f'(x)+2x．再注意到[*]，然后再求上述微分方程满足此初始条件的特解.)解析：（3.00）(1).e-x，x；（分数：1.00）正确答案：(y"-y=0．)解析：(2).1e-3；（分数：1.00）正确答案：(y"+3y'=0．)解析：(3).e2x，(3+2x)2x．（分数：1.00）正确答案：(y"-4y'+4y=0．)解析：求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：（分数：5.00）(1).y"+y'-2y=0；（分数：1.00）(y=Ce-2+Cex1 2解析：(2).y"-5y'=0；（分数：1.00）(y=C+Ce5x1 2解析：(3).4y"-4y'+y=0；（分数：1.00）正确答案：([*]；)解析：(4).y"+4y=0；（分数：1.00）正确答案：(y=Ccos2x+Csin2x；)1 2解析：(5).y"+2y'+2y=0．（分数：1.00）(y=e-(C1

cosx+C2

sinx)．)解析：求下列微分方程满足相应初始条件的特解：（分数：3.00）(1).y"-3y'-4y=0，y|

=0，y'|=-5；（分数：1.00）x=0 x=0e解析：(2).4y"+4y'+y=0，y|

=2，y'|

=10；（分数：1.00）x=0 x=0正确答案：([*])解析：(3).y"-4y'+13y=0，y|

=3，y'|=0．（分数：1.00）x=0 x=0e2(3cos3x-2sin3x)．)解