中考数学难点攻克“K”字型几何相似题型突破与练习

(全国通用)中考数学难点攻陷“K〞字型几何相像题型打破与练习(全国通用)中考数学难点攻陷“K〞字型几何相像题型打破与练习(全国通用)中考数学难点攻陷“K〞字型几何相像题型打破与练习中考数学重难考点打破“K〞字型几何相像题型研究与练习相像根本图形中除了常有的“A〞字型、“X〞字型相像外，还有一个“K〞字型相像，也常用于各样相像图形中“K〞字型相像由特别到一般，题型常常丰富多彩，也是近几年中考题中常有的一种根本图形．认识一个根本图形，有助于我们在复杂图形中浸透此中的奇特，从而找到解决问题的打破口．种类1“K〞字型相像根本图形1图1例1条件：如图1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.请证明结论正确【分析】证明两个三角形相像有哪些方法？除了∠B＝∠E＝∠ACD以外，图中还能够找出哪些角相等？【答案】证明两个三角形相像常用的判断方法有：两角对应相等的两个三角形相像；两边对应成比率且夹角相等的两个三角形相像；三边对应成比率的两个三角形相像等．依据余角的性质还能够获得∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.【应用】如图2，点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，那么点P的坐标为________．图2【分层分析】依据“K〞字型相像，图中能够找到哪两个三角形相像？依据相像三角形又能够获得如何的比率式？设P(x，0)，那么依据比率式列出方程即可求得x的值，从而获得点P的坐标．【解题方法点醒】“K〞字型相像根本图形1，在于找寻三个直角相等，熟记根本图形有益于迅速找到相像三角形，从而经过成立方程解决问题．【答案】【分层分析】AOOP依据“K〞字型相像，可获得△AOP∽△PCB，所以＝.PCCB设P(x，0)，由于AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以4x4－x＝1，解得x＝2，从而获得点P的坐标为(2，0)．[答案](2，0)[分析]∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，AOOP∴△BCP∽△POA，∴＝.PCCB∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4.设P(x，0)，那么OP＝x，PC＝4－x，x4－x＝1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．种类2“K〞字型相像根本图形2例2条件：如图3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图3结论：△BDE∽△CFD.请证明：结论正确【分层分析】“K〞字型相像根本图形2与根本图形1有何联系？如何证明∠E＝∠CDF?【答案】【分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，根本图形1是三个直角相等，而根本图形2是根本图形1的一般情况，更具广泛性，两个图形的形状均近似于字母“K〞，所以称之为“K〞字型相像图形．∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.【应用】1．如图4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D.图4直接写出点B的坐标：________；当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．【分层分析】过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，AB＝5，依据勾股定理求出QB即可解答．依据“K〞字型相像，图中能够找到哪两个三角形相像？依据相像三角形又能够获得如何的比率式？【答案】【分层分析】过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故获得点B的坐标为(4，4)．由“K〞字型相像可获得△POC∽△DAP，OCOP所以＝，APAD2设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝5AB＝2，AP＝7－x，5x所以7－x＝2，解得x＝2或x＝5，所以点P的坐标为(2，0)或(5，0)．解：(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q.AB＝OC，AQ＝(7－1)÷2＝3，在Rt△BQA中，BA＝5，22由勾股定理，得BQ＝AB－AQ＝4，∴点B的坐标为(4，4)．∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，而∠CPD＝∠OAB＝∠COP，∴∠OCP＝∠APD，∴△OCP∽△APD，OCOP∴＝.APADBD3∵＝，∴AD＝2.AD2设OP＝x，OC＝AB＝5，AP＝7－x，x7－x＝2，解得x＝2或x＝5，∴点P的坐标为(2，0)或(5，0)．42222．如图5，直线y＝kx与抛物线y＝－27x＋3交于点A(3，6)．图5求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．假定点B为抛物线上对称轴右边的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且知足∠BAE＝∠BED＝∠AOD探.究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？【分层分析】(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，依据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．①延伸AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，从而再求得点B的坐标为________，此后由两点间距离公式可求得线段

AB的长为________；②由条件∠

BAE＝∠BED＝∠AOD，可获得“

K〞字型相像的根本图形

2，故可获得△________∽△________，设

OE＝a，那么由对应边的比率关系能够获得

________．从而获得对于

a的一元二次方程为

____________，此后依据根的鉴别式能够分别获得

a的值分别为

1个、2个时m的取值范围．【解题方法点醒】“K〞字型相像根本图形2，依据三个角相等，联想到“K〞字型根本图形1，便于迅速找到相像三角形，从而利用相像的相关性质解决问题．【答案】【例题分层分析】直线y＝kx的函数表达式为y＝2x，OA＝32＋62＝35.15①点F的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，2)，AB＝5.②依据“K〞字型相像的根本图形2，可获得△ABE∽△OED，设OE＝a，那么AE＝35－a(0＜a＜35)，AEOD由△ABE∽△OED得＝，ABOE35－am2∴5＝a，∴a－35a＋5m＝0，依题意知m>0，29∴当＝0，即(－35)－20m＝0，m＝4时，符合条件的点E有1个；当＞0，即(－35)2－20m＞0，0＜m＜9时，符合条件的点E有2个．4解：(1)把点A(3，6)的坐标代入y＝kx，得6＝3k，k＝2，∴y＝2x，OA＝32＋62＝35.如图，延伸AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R.∵∠AOD＝∠BAE，AF＝OF，3OC＝AC＝2OA＝25.∵∠ARO＝∠FCO＝90°，∠AOR＝∠FOC，∴△AOR∽△FOC，OFAO35315∴＝＝3＝5，∴OF＝5×5＝，OCOR22∴点F的坐标为15，0.215设直线AF的函数表达式为y＝ax＋b(a≠0)，把点A(3，6)，F2，0的坐标代入，解得a44＝－3，b＝10，∴y＝－3x＋10，4y＝－3x＋10，x1＝3，x2＝6，由22解得(舍去)，42y1＝6y2＝2，y＝－27x＋3，B(6，2)，∴AB＝5.∵∠BAE＝∠BED，ABE＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED，∴∠ABE＝∠DEO.∵∠BAE＝∠EOD，∴△ABE∽△OED.设OE＝a，那么AE＝35－a(0＜a＜35)，AEOD由△ABE∽△OED得＝，ABOE35－am2即5＝a，∴a－35a＋5m＝0.依题意得m>0，29∴当＝0，即(－35)－20m＝0，m＝4时，符合条件的点E有1个；29当＞0，即(－35)－20m＞0，0＜m＜4时，符合条件的点E有2个．专题训练1．如图6，矩形ABCD的极点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，那么点C的坐标是()A．(2，7)B．(3，7)C．(3，8)D．(4，8)图62．如图7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，假定AD＝10，AB＝8，那么EF＝________．图73．如图8，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，BD＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点DCF重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，那么＝________．CE图84．如图9，在直角梯形ABCF中，CB＝14，CF＝4，AB＝6，CF∥AB，在边CB上找一点E，使以E，A，B为极点的三角形和以E，C，F为极点的三角形相像，那么CE＝________．图95．如图10，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝3，AB＝6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°.当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；假定射线EF经过点C，那么AE的长是________．图106．将形状、大小完满同样的两个等腰三角形如图11所示搁置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点．假定CA＝5，AB＝6，AD∶AB＝1∶3，那么MD＋12的最小值为________．MA·DN图117．如图12，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.假定点F与B重合，求CE的长；假定点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图128．如图13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.求证：AC·CD＝CP·BP；假定AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图139．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的极点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB订交于点P，线段EF与射线CA订交于点Q.如图14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.如图14②，当点Q在线段CA的延伸线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使

30°角的极点落在点

P上，三角板绕点

P旋转．(1)如图

15①，当三角板的向来角边和斜边分别与

AB，AC交于点

E，F时，连接

EF，请说明△BPE∽△CFP.操作：将三角板绕点P旋转到图②的情况时，三角板的两边分别交BA的延伸线、边AC于点E，F，连接EF.①研究1：△BPE与△CFP相像吗？请说明原因；②研究2：△BPE与△PFE相像吗？请说明原因．图15参照答案51.【答案】A2.【答案】53.【答案】4284【.答案】2或12或5[分析]两个三角形相像，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以应分两种情况讨论，从而求CE的值即可．5.【答案】(1)6(2)2或5[分析](1)过点E作EG⊥DF，由E是AB的中点，得出DG＝，从而得出∠DEG＝°，由∠DEF360FG＝120°，得∠FEG＝60°，由tan∠FEG＝，即可求出GF的长，从而得出DF的长．GE过点B作BH⊥DC，延伸AB，过点C作CM⊥AB于点M，那么BH＝AD＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE＝x，那么BE＝6－x，利用勾股定理用x表示出DE及EC的长，再判断出△EDC∽△BCE，由相像三角形的对应边成比率即可得出对于x的方程，求出x的值即可．6.【答案】23[分析]先求出AD＝2，BD＝4，由“K〞字型相像可得△AMD和△BDN相像，依据相像三角形对应边成比率可得MAMD＝，求出MA·DN＝4MD，再将所求代数式整理得出完满平方的形式，此后依据BDDN非负数的性质求出最小值即可．解：(1)当点F和B重合时，EF⊥DE，∴DE⊥BC.∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，AB∥DE.∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，AD＝EF＝9，CE＝BC－EF＝12－9＝3.过点D作DM⊥BC于点M，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB.AD∥BC，∴四边形ABMD是矩形，AD＝BM＝9，AB＝DM＝7，CM＝12－9＝3.设AF＝CE＝a，那么BF＝7－a，EM＝a－3，BE＝12－a，可证△FBE∽△EMD，BFBE7－a12－a∴＝，即＝，EMDMa－37解得a＝5或a＝17.∵点F在线段AB上，AF＝CE＜AB＝7，∴CE＝5.解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B，∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠PAB，又AB＝AC，∴∠ABP＝∠PCD，ABBP∴△ABP∽△PCD，∴＝，CPCDACBP∴＝，∴AC·CD＝CP·BP.CPCD(2)∵PD∥AB，∴∠DPC＝∠B，∴∠PAB＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB＝∠C.又∠PB