研一四高-高微课后答案

高微作业第二章1－13 金融系2006级博 15620060153078证x(p,y)的平衡性与齐次性是不相关n如果x(p,y)是消费者的需求函数，平衡性则说明在每个价格和收nypixi(p,对于所有的p与y，这个等式成立。知道如果任何单个价格或消费者的收由于vpyv(tp 对所有t

u(x(p,y))u(x(tp,

对所有t由于在(p,y)与(tp,ty)处的集是相同的，当其他的消费束被选择时xp,yx(tpty中的每个均是可行的。因此，先前的等式与u的严格拟凹性就说xpyx(tpty)对所有t因此，这表明x(p,y)的平衡性与奇次性在它们彼此并不隐含对方的意义xp,yRnsatisfiesbudgetbalancednessandhomogeneity

Rnn xj(p,y)x(p,y),n

xj(p,

1,xtp,tyx(p,pj

pj Theijitemins(p,y)

xi(p,y)x(p,y)xi(p,j jsp,yp中的项为

p[xi(p,y)x(p,y)xi(p,njjnj

f(tx(tp,tyforallt>0,ft

xi(p,y)

xi(p,y).y t

n

jjypjxjpy

p

px(p,y) 0

jnn所以pj

xi(p,

xj(p,

xi(p,

]即对所有pyRn1spy).p设y=1,则直接效用函数为u(x,x)minp s.t.pxpx1 1 2根 日法

Lpp+(p

p

p1p

1 2 Lp

p

1

1 2

,p2

所以

1[ 1¶e(tp,u)

x(tp,e(tp,

i¶(tp i¶e(p,u)

x(p,e(p,

i¶(p i因为e(tp,u) e(p,

xi(tp,e(tp,u

xi(p,e(

根据平衡性有p.xi(p,e(p,u))=e(由（4）（5）（6）e(tp,u)=te(p,

即epupxi(tp,e(tp,u

xi(p,e(

e(tp,u)=te(p,

所以由（1）（2）xi(tp,tep,u即x(p,y)关于（p,y）

xi(p,e(p和效用水平vp,y e(p,v(p,y))v(p,y)p1p2 e(p,v(p,y)) v(p,y)p1p2p3 v(p,y)yp1p2 v(p,y)p

p3 v(p,y)p1p2p3

1 v(p,y)/p1p1v(p,y)/ 1根据Shephard 1xh(p,u)e(p,u)p1up 1

1 1 1x(p,y)xh(p,v(p,y))p1p1p2p3yp 1 1v(p,y)/p1x(p,v(p,y)/ 同理，可证vpyp2xpyvpyp3xpyv(p,y)/

v(p,y)/ y1，则有vp,1p1p2 对于任何价格p和收入水平y，由于一个收入水于e(p,u)，有 v(p,e(p,u))e(p,u)p1p2 1.8有vpepu)) e(p,u)p1p2p3 即ep,u)up1p2 由Shephard引理和需求与需求之间的对偶性，ix(p,y)i

y，i1,2,2.3

由支出函数与间接效用函数之间的关系及e(p1,p2,u)up1p2/(p1p2e(p1,p2,v(p1,p2,y))v(p1,p2,y)p1p2/(p1p2)v(p1,p2,y)y(p1p2)/u(x1,x2)minv(p1,p2 px 日乘数法1pp1

p2

(pp

x1

1 11pp1

p2

(pp)2

x2

1 1pxx

1p*1

，p* 22将二者代入v(p1,p21 1x2由于ux

Ax

， x

uuxjuxjp1x

Axx1A1x Ax

2px12Theconsumerbuysbundlexiatpricespi,i=0,1.Separayforparts(a)to(d),statewhethertheseindicatedchoicessatisfyWARP:p0=(1,3),x0=(4,2);p1=(3,5),x1=6p0x1p0x0=6 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=22 Yes,satisfiesp0=(1,6),x0=(10,5);p1=(3,5),x1=p0x1p0x0=32 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=55 Yes,satisfiesp0=(1,2),x0=(3,1);p1=(2,2),x1=5586p0x1p0x0=5 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=8 Yes,satisfiesp0=(2,6),x0=(20,10);p1=(3,5),x1=p0x1p0x0=60 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=110 Yes,satisfiespx1(p,y)px1(p, p p2 21p

p

x2x2

p2 21y 1p

2p

x2x2p2 21y 2

1 5 1

X09 P0时选择X0P0X042P0X148P0X2P2X0P2X所以X0显示偏好于XP1时选择X1P0X1所以X1显示偏好于XP2时选择X2P2X250P2X148所以X2显示偏好于X由(1)(2)(3)

xpyRn关于p,y+xx+p.xpyp.xpyxpyxpp'.xp,y)p'.xp',y')p.xpyp.xp

p.x(p,y)p.x(p,y)

.x(p,y)y

.x(p,y

,1) 由p,1pRn上 ,1)p ,1)p ,1)p'x(p,y)p'x(p',y' x(p,y)满足其次平pT.sxp,y满足(充要条件)x(p,y)满足齐次，平衡，连续可xp,y满足WARP<＝dp)T.spy)dp对于任何从p,y到p',y的补偿性价格变化有p'

x(p',y')x(p,x(p,y)x(p',y'

p.x0，dxxpdpxydys(p,p1与p0不成比例，总有p1)