渐近法有力矩分配法

关于渐近法有力矩分配法第1页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五图9-1它表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。如图9-1(a)所示单跨梁，A端为铰结，B端为固定端，当A端(又称近端)产生单位转角时，需要施加的力矩为4i

，即转动刚度,若把A端也改为固定端如图9-1(d)所示，当A支座发生单位转角时，引起A端的杆端弯矩仍为4i第2页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五由此可以看出，转动刚度SAB的数值不但与杆件的线刚度i有关，而且与B端(又称远端)的支承情况有关。图9-1给出了远端为不同支承时转动刚度SAB的值，远端的杆端弯矩也标在相应的图上。2．传递系数C

由图9-1知，当近端发生单位转角jA=1时，远端也产生杆端弯矩MBA，远端杆端弯矩MBA与近端杆端弯矩MAB之比称为传递系数，用C表示，即。对于等截面杆件，传递系数C与远端的支承情况有关，具体数值如下：远端固定C=1/2

远端铰结C=0

远端定向C=-1第3页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五远端弯矩，也称为传递弯矩，用MC表示

3．分配系数

图9-2所示刚架，A为刚结点，B、C、D端分别为固定、定向及铰结。设在A结点作用一集中力偶M，刚架产生图中虚线所示变形，汇交于A结点的各杆端产生的转角均为jA，各杆杆端弯矩由转动刚度定义可知(a)取结点A为隔离体，见图9-2(b)，由平衡方程可得第4页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五

M-MAB-MAC-MAD=0M=MAB+MAC+MAD=(SAB+SAC+SAD)=M/(SAB+SAC+SAD)=M/

(c)式中表示汇交于A结点各杆端转动刚度的总和。将(b)式代入(a)式(b)第5页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五式中mAB、mAC、mAD称为分配系数,就相当于把结点力矩M按各杆转动刚度的大小比例分配给各杆的近端,所得的近端弯矩称为分配弯矩，用Mm表示。其中汇交于A结点各杆端分配系数之和为1,即。远端杆端弯矩MBA=MAB/2、MCA=-MAC、MDA=0，是由分配弯矩乘传递系数而得,即为传递弯矩。

4．力矩分配法的基本原理以图9-3(a)为例进行说明:

（1）设想在B结点加上一个刚臂阻止B结点转动如图9-3(b)所示。此时只有AB跨受荷载作用产生变形,相应的杆端弯矩MFAB、MFAB即为固端弯矩、,附加刚臂的反力矩可取B结点为隔离体而得：第6页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五ΣMB=0MB是汇交于B结点各杆端固端弯矩代数和,它是未被平衡的各杆固端弯矩的差值,故称为B结点上的不平衡力矩,以顺时针方向为正。图9-3第7页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五（2）原连续梁B结点并无附加刚臂,取消刚臂的作用让B结点转动,就相当于在B结点加上一个反向的不平衡力矩如图9-3(c)所示。这时汇交于B结点的各杆端产生的弯矩,,即前面所述的分配弯矩。在远端产生的杆端弯矩即传递弯矩MC，它是由各近端的分配弯矩乘以传递系数得到的。（3）将图9-3(b)、(c)两种情况叠加,就得到图9-3(a)所示连续梁的受力及变形。如杆端弯矩以上就是力矩分配法的基本思路,概括来说:先在B结点加上附加刚臂阻止B结点转动,把连续梁看作两个单跨粱,求出各杆的固端弯矩MF,此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数和),然后去掉第8页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。用力矩分配法作题时,不必绘图9-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。例9-1用力矩分配法计算图9-4(a)所示连续梁的M图。EI=常数。第9页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五图9-4第10页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五

解:(1)计算分配系数

m，设i=EI/24，则

iAB=EI/8=3i

iBC=EI/6=4i

将分配系数写在B结点下方的方框内。

(2)计算各杆端的固端弯矩MF(查表8-1)。

第11页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五写在各杆端下方MF一行。

(3)B结点的不平衡力矩为：MB=64-90=-26kN·m，将其反号进行分配,得各杆端的分配弯矩。

写在B结点下方一行,并画一横线表示B结点已放松获得平衡。

(4)各杆远端的传递弯矩MC的计算。写在对应的杆端下方MC一行,并用箭头表示弯矩的传递方向。第12页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五(5)最后杆端弯矩的计算。将其写在各杆端下方M一行,并用双横线表示计算的最后结果。由于在计算分配弯矩时,已使结点保持平衡,在最后M图校核中,利用ΣMB=0只能校核分配过程有无错误,而对分配系数、固端弯矩MF计算是否有误则必须考虑变形条件的校核。最后弯矩图见图9-4(b)所示。第13页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五为了计算更加简单起见,分配弯矩Mμ,及传递弯矩MC的具体算式可不必另写,而直接在图9-4表格上进行即可.例9-2计算图9-5(a)所示刚架的M图。解:(1)计算分配系数m。设i=EI/4,iAB=EI/4=i,iAC=EI/4=i,iAD=2EI/4=2i。(2)计算固端弯矩M第14页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五第15页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五图9-5第16页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五

(3)分配、传递均在图9-5(b)上进行。

(4)绘M图，如图9-5(c)所示。A结点满足

ΣMA=55.55+11.67-67.22=0

§9-3用力矩分配计算连续梁和无侧移刚架上节以只有一个结点转角说明了力矩分配法的基本原理。对于有多个结点转角但无结点线位移(如两跨以上连续梁、无侧移刚架),只需依次对各结点使用上节方法便可求解。下面用图9-6(a)所示三跨连续梁来说明用逐次渐近的方法计算杆端弯矩的过程。第17页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五首先将B、C两结点同时固定,计算分配系数：由于各跨及EI均为常数,故线刚度均为,则。分配系数为:B结点：mBA=4i/(4i+4i)=1/2,m

BC=4i/(4i+4i)=1/2C结点：mCB=4i/(4i+3i)=4/7,mCD=3i/(4i+3i)=3/7再计算各杆的固端弯矩MF：第18页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五将以上数据填到图9-6相应栏中,此时B、C结点均有不平衡力矩,为消除这两个不平衡力矩,位移法中是令B、C同时产生和原结构相同的转角,即同时放松B、C结点让它们一次转到实际的平衡位置,在计算中就是意味着解联立方程,而在力矩分配法中,为了避免解联立方程,只能将各结点轮流放松,用逐次渐近的方法使B、C结点达到平衡位置。第一步放松C结点。C结点的不平衡力矩MC=60-88=-28kN·m，将其反号分配：第19页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五图9-6第20页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五将它们填入图中对应位置,C结点暂时获得平衡,在分配弯矩下面画一横线表示平衡(C结点虽然转动了一个角度,但还未到最后位置),将C结点暂时再固定。分配弯矩应向各自的远端进行传递,传递弯矩为：填入图中相应位置。再看B结点，它的不平衡力矩应为原固端弯矩再加上由结点C传递过来的传递弯矩之和：MB=80-60+8=+28kN·m。放松B结点，即将上述不平衡力矩反号进行分配。并同时向远端传递第21页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五将上述各数据填入图中相应位置，B结点此时亦暂告平衡，仍在分配弯矩数值下面画一横线。将B结点暂时固定(B结点此时也未转到最后位置)。C、B两结点各放松一次称为第一轮计算。第二步再放松C结点。C结点由于传递弯矩=-7kN·m又产生了不平衡力矩，放松C结点，即在C结点加上一个反向的不平衡力矩进行分配、传递，暂时再将C结点固定。此时B结点由于也产生了不平衡力矩，再放松B结点进行分配、传递。

…………第22页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五如此反复将各结点轮流进行放松、固定，不断进行分配、传递，直到传递弯矩的数值小到按计算精度要求可以不计时，即可停止计算(最后应停止在分配弯矩这一步，而不再向远端传递)。最后弯矩图见图9-6(b)所示。由于分配系数m及传递系数C均不大于1，故在上述计算中，随计算轮次的增加，数值愈来愈小。为使计算收敛的更快，一般首先从不平衡力矩(绝对值)数值最大的结点开始分配、传递。当结点多于2个时，可同时放松不相邻的各结点，也同样可加快收敛的速度。第23页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五图9-7第24页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五例9-3

用力矩分配法计算图9-7(a)所示连续梁的M图。解：本题的特点是DE为悬臂部分；B结点有一集中力偶m=6kN·m。如何处理分述如下：右端悬臂部分DE内力为静定，可由静力平衡条件求出，若将其切去以截面的弯矩和剪力作为外力施加于结点D上，则D结点便可作为铰支端进行处理，如图9-7(b)所示。(1)计算分配系数m

：设，则，

B结点：第25页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五C结点：(2)固端弯矩。

(3)进行分配、传递。结点B有集中力偶m作用，在计算B结点的不平衡力矩时，除了固端弯矩、及传递弯矩外，还应加上结点荷载——集中力偶m(m是作用在结点上的荷载，其方向应以逆时针方向为正)，即第26页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五

MB=+12-36-13.82-6=-43.82kN·m将上述不平衡力矩反号进行分配。在图9-7中用括号将m值写在B结点下方，加括号是防止在计算最后弯矩时，把这个结点荷载m加到某根杆的杆端弯矩中。分配、传递的过程为CBCBCBCB。

(4)最后M图，见图9-7(c)所示。例9-4

用力矩分配法作图9-8(a)所示刚架M图。EI=常数。图9-8第27页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五

解：用力矩分配法计算刚架的杆端弯矩时，对于简单的刚架，可直接在计算简图上进行，如例9-2。但当结构杆件比较多时，采用表格的形式比较方便。表格的格式有多种，现推荐下面的格式供读者参考。

(1)计算分配系数。

B结点：同理，mBD=1/3,mBC=1/3C结点：同理，mCB=1/2

(2)固端弯矩。第28页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五

(3)分配传递过程CBCBC，见表9-1。

(4)最后M图，如图9-8(b)所示。第29页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五表9-1杆端弯矩的计算本章介绍的力矩分配法只适应于无结点结线位移且各结点均为刚结点的结构。第30页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五§

9-4无剪力分配法1．适用范围无剪力分配法适合计算某些特定条件下的有侧移刚架，即刚架是由两类杆件组成：（1）无侧移杆，两杆端无相对线位移，（2）剪力静定杆。2．计算步骤（1）固定结点。只加刚臂阻止结点的转动，而不加链杆阻止结点的移动，如图9-9b所示。对剪力静定杆来说，相当于一端固定、一端滑动的梁，计算固端弯矩（9-6）第31页，共37页，2022年，5月20日，6点47分，星期五结点B的不平衡力矩暂时由刚臂承受。（2）放松结点。为了消除刚臂上的不平衡力矩，现在来放松结点，进行力矩的分配和传递。此时，结