高三文科数学考前大题强化练四详析

2020年高三文科数学考前大题增强练四附答案详析2020年高三文科数学考前大题增强练四附答案详析2020年高三文科数学考前大题增强练四附答案详析2020年高三文科数学考前大题增强练四17．（本小题满分12分）记首项为1的数列an的前n项和为Sn，且23nSn3n1an1．（1）求证：数列an是等比数列；（2）若b(1)nloga2bn的前2n项和．9n，求数列n18．（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．1）求证：EF∥平面PAD；2）求证：EF⊥CD；19．（本小题满分12分）环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对100辆新车模型在一个耗油单位专家车里程（单位：公里）的测试结果．（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；1（Ⅰ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38，40)与[40，42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率．20．（本小题满分12分）记抛物线C::y22x的焦点为F，点M在抛物线上，N(3,1)，斜率为k的直线l与抛物线C交于P，Q两点．（1）求|MN||MF|的最小值；（2）若M(2,2)，直线MP，MQ的斜率都存在，且kMPkMQ20；研究：直线l可否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明原由．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)(x1)ex1ax22ax,aR．2谈论f(x)极值点的个数；(2)若x0(x02)是f(x)的一个极值点，且f(2)>e-2，证明：f(x0)<1．请考生在第22、23题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的一般方程是yxtan(ππ)，曲线C1的参数方程是2xaacosC2的极yasin（为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线坐标方程是2bsin．（1）写出l及C1的极坐标方程；2（2）已知a1，b1，l与C交于O,M两点，l与C交于O,N两点，求2|OM|2|OM||ON|212的最大值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数f(x)|x3||x1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f(x)≥x1；（Ⅰ）若函数f(x)的最大值为M，设a0,b0，且(a1)(b1)M，求ab的最小值．答案剖析17．（本小题满分12分）记首项为1的数列an的前n项和为Sn，且23nSn3n1an1．（1）求证：数列an是等比数列；（2）若b(1)nloga2bn的前2n项和．9n，求数列n【剖析】（1）依题意，2Sn11an1，2Sn111an2，3nn13两式相减可得，11an23an10，故an23an1，3n1而2S12a2，故a23a1，故数列an是以1为首项，3为公比的等比数列．3（2）由（1）可an3n1,因此bn(1)nlog9an2(1)nlog93n121(1)n(n1)2，141(4n故b2n1b2n(1)2n1(2n2)2(1)2n(2n1)23)，443记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n1(1594n3)1n21n．42418．（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；【剖析】(1）证明：(1)取PD的中点M，连结FM，AM，则FM1CD，2又AE1CD，AEFM，四边形EFMA为平行四边形，则EF∥AM，2又QEF面PAD,AM面PAD，EF∥平面PAD．(2)QPA面ABCDPAAD又由矩形ABCD知CDAD，面PADCDAMCD，由（1）问证明知EF∥AMCDEF．19．（本小题满分12分）环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对100辆新车模型在一个耗油单位专家车里程（单位：公里）的测试结果．4（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；（Ⅰ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38，40)与[40，42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率．【剖析】（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图以下列图：前3组频率总和为0.1)0.36，第4组频率为2，且0.5，则由图可知，中位数在区间[36,38)．（Ⅰ）由题意，设从[38,40)中采用的车辆为A,B,C，从[40,42)中采用的车辆为a,b，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab，其中吻合条件的有6种，Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb，因此所求事件的概率为3．520．（本小题满分12分）记抛物线C::y22x的焦点为F，点M在抛物线上，N(3,1)，斜率为k的直线l与抛物线C交于P，Q两点．（1）求|MN||MF|的最小值；5（2）若M(2,2)，直线MP，MQ的斜率都存在，且kMPkMQ20；研究：直线l可否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明原由．【剖析】（1）设抛物线C的准线为l，过点M作MM1l，垂足为M1，过点N作NN1l，垂足为N1，如图：则|MN||MF||MN|MM1⋯NN17，即|MN||MF|的最小值为7．22（2）设直线l的方程为ykxb,Px1,y1，Qx2,y2，将直线l与抛物线C的方程联立得ykxb2x2b22kb2,x1x2b2y2，k(2kb2)x0，x1x2①2xk2k2又kMPy12y222，kMQ2x22x1即kx1b2x22kx2b2x122x12x22，2kx1x22kx1x2bx1x22x1x24b82x1x24x1x28，将①代入得，b2b22k(b1)0，即(b1)(b22k)0，得b1或b22k，当b1时，直线l为ykx1，此时直线恒过(0,1)；当b22k时，直线l为ykx2k2k(x2)2，此时直线恒过M(2,2)（舍去）．综上所述，直线l过定点(0,1)．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)(x1)ex1ax22ax,aR．2(1)谈论f(x)极值点的个数；6(2)若x0(x02)是f(x)的一个极值点，且f(2)>e-2，证明：f(x0)<1．【剖析】（1）fxx2exax2ax2exa．①当a0时，exa0，当x,2时，fx0；当x2,时，fx0，fx在,2上单调递减；在2,上单调递加，x2为fx的唯一极小值点，无极大值点，即此时fx极值点个数为：1个；②当a0时，令fx0，解得：x12，x2lna，⑴当ae2时，x1x2，x,x1和x2,时，fx0；x12时，fx0，x,xfx在,x1，x2,上单调递加；在x1,x2上单调递减，xx1为fx的极大值点，xx2为fx的极小值点，即fx极值点个数为：2个；⑵当ae2时，x1x2，此时fx0恒建立且不恒为0，fx在R上单调递加，无极值点，即fx极值点个数为：0个；⑶当e2a0时，x1x2，x,x2和x1,时，fx0；xx2,x1时，fx0，fx在,x2，x1,上单调递加；在x2,x1上单调递减，xx2为fx的极大值点，xx1为fx的极小值点，即fx极值点个数为：2个．综上所述：当ae2时，fx无极值点；当a0时，fx有1个极值点；当ae2或e2a0时，fx有2个极值点．（2）由（1）知，若x0x02是fx的一个极值点，则a,e2e2,0，又f2e22ae2，即ae2，a,e2，Qx02，x0lna，fx0lna1elna1aln2a2alna1aln2a2lna2，22令tlna2,，则aet，gt1ett22t2，t2,，27则gt1ett24t1tt4et，22当t2时，t4t0，当t2,0时，gt0；当t0,时，gt0，0，egt在2,0上单调递加；在0,上单调递减，gtmaxg01，即gt1，fx01．22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）xOy中，直线l的一般方程是yxtanππ)，曲线C1的参数方程是在平面直角坐标系(2xaacos（为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极yasin坐标方程是2bsin．（1）写出l及C1的极坐标方程；（2）已知a1，b1，l与C1交于O,M两点，l与C2交于O,N两点，求2|OM|2|OM||ON|2的最大值．【剖析】（1）把xcos，ysin代入yxtan得tantanππ2因此l的极坐标方程是(R,)，ππ2C1的一般方程是x2y22ax0，其极坐标方程是2acos．（2）C1：cos，C2：2sin，分别代入C1，C2得|OM|cos，|ON|2sin．因此2|OM|2|OM||ON|2cos22cossin1cos2sin22sin(π2)1．4因为ππ，因此7ππ3π7ππ23ππ2)1242，则当8时，4，此时2sin(4424获取最大值为21，因此2|OM|2|OM||ON|的最大值为21．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数f(x)|x3||x1|．8（Ⅰ）解关于x的不等式f(x)≥x1；（Ⅰ）若函数f(x)的最大值为M，设a0,b0，且(a1)(b1)M，求ab的最小值．(x3)(1x),x34,x3【剖析】（Ⅰ）由题意f(x)(x3)(1