普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海理)含详解

一般高等学校招生全国一致考试数学卷(上海.理)含详解一般高等学校招生全国一致考试数学卷(上海.理)含详解一般高等学校招生全国一致考试数学卷(上海.理)含详解2021年全国一般高等学校招生一致考试上海数学试卷〔理工农医类〕考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸大将姓名、高考准考据号填写清楚，并在规定的地区内贴上条形码.2．本试卷共有23道试题，总分值150分.考试时间20分钟.一．真空题〔本大题总分值56分〕本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分.1．假定复数z知足z(1+i)=1-i(I是虚数单位)，那么其共轭复数z=__________________.1．【答案】i【分析】设z＝a＋bi，那么〔a＋bi〕(1+i)=1-i，即a－b＋〔a＋b〕i＝1－i，由ab1ab，1解得a＝0，b＝－1，所以z＝－i，z＝i2．会合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，那么实数a的取值范围是______________________.2．【答案】a≤1【分析】由于A∪B=R，画数轴可知，实数a一定在点1上或在1的左侧，所以，有a≤1。45x3．假定队列式1x3中，元素4的代数余子式大于0，789x知足的条件是________________________.3．【答案】x838【分析】依题意，得：(-1)2×(9x-24)＞0，解得：x34．某算法的程序框如右图所示，那么输出量y与输入量x知足的关系式是____________________________.4．【答案】y2x,x1x2,x1【分析】当x＞1时，有y＝x－2，当x＜1时有y＝2x，所以，有分段函数。5．如图，假定正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面连长为2，高为4，那么异面直线BD1与AD所成角的大小是______________〔结果用反三角函数表示〕.5．【答案】arctan5【分析】由于AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B，由勾股定理，得A1B＝25，tan∠A1D1B＝5，所以，∠A1D1B＝arctan5。6．函数y2cos2xsin2x的最小值是_____________________.6．【答案】12【分析】f(x)cos2xsin2x12sin(2x)1，所以最小值为：1247．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，假定用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，那么数学希望E____________〔结果用最简分数表示〕.7．【答案】47【分析】可取0，1，2，所以P〔C5210，P〔＝1〕＝C51C2110，＝0〕＝C72C722121C221，E＝0×1010214P〔＝2〕＝1＝C722121212178.三个球的半径R1，R2，R3知足R12R23R3，那么它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是___________.8、【答案】S12S23S3【分析】S14R12，S12R1，同理：S22R2S32R3，即R1＝S1，2R2＝S2，R3＝S3，由R12R23R3得S12S23S3229.F1、F2是椭圆C:x2y21〔a＞b＞0〕的两个焦点，P为椭圆C上一点，且a2b2PF1PF2.假定PF1F2的面积为9，那么b=____________.9．【答案】3|PF1||PF2|2a【分析】依题意，有|PF1||PF2|18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。|PF1|2|PF2|24c210.在极坐标系中，由三条直线0，，cossin1围成图形的面积是3________.3310、【答案】4【分析】化为一般方程，分别为：y＝0，y＝3x，x＋y＝1，画出三条直线的图象如右图，可求得A〔31，33〕，B〔1,0〕，三角形AOB的面22积为：1133＝3322411.当0x1时，不等式sinxkx成立，那么实数k的取值范围是_______________.211、【答案】k≤1【分析】作出y1sinx与y2kx的图象，要使不等式x2sinkx成立，由图可知须k≤1。212．函数f(x)sinxtanx.项数为27的等差数列an知足an，，且公差22d0.假定f(a1)f(a2)f(a27)0，那么当k=____________是，f(ak)0.12．【答案】14【分析】函数f(x)sinxtanx在(，)是增函数，明显又为奇函数，函数图象对于原22点对称，由于a1a27a2a262a14，所以f(a1)f(a27)f(a2)f(a26)f(a14)0，所以当k14时，f(ak)0.13.某地街道体现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道订交的点称为格点。假定以相互垂直的两条街道为轴成立直角坐标系，现有下述格点(2，2)，(3，1)，(3，4)，(2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零售点.请确立一个格点〔除零售点外〕__________为刊行站，使6个零售点沿街道到刊行站之间行程的和最短.13．【答案】〔3，3〕【分析】设刊行站的地点为x,y，零售点到刊行站的距离为z2x2y22x3y1y4y3x4y5x6y6，这六个点的横纵坐标的均匀值为233246214356762，6，记2A〔2，7〕，画出图形可知，刊行站的地点应当在点A邻近，代入邻近的点的坐标进行比较2可知，在〔3,3〕处z获得最小值。14.将函数y46xx22(x0，6)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角(0)，获得曲线C.假定对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，那么的最大值为__________.14．【答案】arctan23【分析】由y4xx22得：〔x－3〕2＋〔y＋2〕2＝13，(x0，6)，它的图象是6以〔3，－2〕为圆心，13为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C相切的直线为y＝kx，当θ＝0时，k＝－1＝kOC3，此时直线的倾斜角为β，即tanβ＝3，当切线与y轴重合时，22曲线上的点知足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90°－β，那么tan〔90°－β〕＝3，即θ＝arctan223二．选择题〔本大题总分值16分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否那么一律得零分。是“实系数一元二次方程x2ax10有虚根〞的15.“2a2〞〔A〕必需不充分条件〔B〕充分不用要条件〔C〕充要条件〔D〕既不充分也不用要条件15、【答案】A【分析】△＝a2＜a“2a2〞24＜0时，－222－＜，由于是“－＜a＜〞的必需不充分条件，应选A。16.假定事件E与F相互独立，且PEPF1，那么PEIF的值等于4〔A〕0〔B〕16、【答案】B

111〔C〕4〔D〕162【分析】PEIF111＝PEPF＝164417.在发生某公共卫惹祸件时期，有专业机构以为该事件在一段时间没有发生在规模集体感染的标记为“连续10天，每日新增疑似病例不超出7人〞。依据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，必定切合该标记的是〔A〕甲地：整体均值为3，中位数为4〔B〕乙地：整体均值为1，整体方差大于0〔C〕丙地：中位数为2，众数为3〔D〕丁地：整体均值为2，整体方差为317、【答案】D【分析】依据信息可知，连续10天内，每日的新增疑似病例不可以有超出7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的整体方差大于0，表达不明确，假如数量太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，依据方差公式，假如有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.18.过圆C：(x1)2(y1)21的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分红四局部〔如图〕，假定这四局部图形面积知足SS￥SS|||,那么直线AB有〔〕〔A〕0条〔B〕1条〔C〕2条〔D〕3条18、【答案】B【分析】由，得：SIVSIISIIISI,，第II，IV局部的面是定，所以，

SIV

SII

定，即

SIII

SI,定，当直

AB

着心

C移，只可能有一个地点切合意，即直

AB

只有一条，故

B。三．解答〔本大分

78分〕本大共

5，解答以下各必在答相的号定地区内写出必需的步19〔安分

14分〕如，在直三棱柱

ABC

A1B1C1中，

AA1

BC

AB

2,AB

BC,求二面角

B1

AC1

C的大小。119，【解】如，成立空直角坐系A〔2，0，0〕、

C〔0，2，0〕

A1〔2，0，2〕，B1〔0，0，2〕

、C1〔0，2，2〕

⋯⋯2分AC

的中点

M，∵BM⊥AC,

BM⊥CC1;∴BM⊥平面

A1C1C,即

BM

=(1,1,0)是平面

A1C1C

的一个法向量。⋯⋯

5分平面

A1B1C1的一个法向量是

n

(x,y,z)

=〔x，y，z〕，AC1

=〔-2，2，-2〕，

AB11

=〔-2，0，0〕

⋯⋯7分nAB2x0,nAC2x2y2z0,令z1,解得x0,y11n分(0,1,1)...................10法向量n与BM的角，二面角B1AC1C1的大小，然角cosnBM1,解得cos3nBM2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.14分二面角B1AC1C1的大小为320〔安分14分〕本共有2个小，第1小分6分，第2小分8分。有可用函数15lna6),(xf(x)axx4.4,(x6)x4描绘学某学科知的掌握程度，此中x表示某学科知的学次数〔xN*〕，f(x)表示学科知的掌握程度，正数a与学科知相关。〔1〕明：当x7，掌握程度的增添量f(x1)f(x)是降落；〔2〕依据，学科甲、乙、丙的a的取划分(115,121],(121,127],(121,133]。当学某学科知6次，掌握程度是85%，确立相的学科。20.明〔1〕当x7时，f(x1)f(x)3)(x4)(x而当x7时，函数y(x3)(x4)增，且(x3)(x4)>0⋯⋯..3分故f(x1)f(x)减当x7时，掌握程度的增量f(x1)f(x)是降落⋯⋯⋯⋯⋯..6分〔2〕由意可知0.1+15lna⋯⋯⋯⋯⋯⋯.9分a6a整理得ea6解得ae66(121,127]⋯⋯.13分e1由此可知，学科是乙学科⋯⋯⋯⋯⋯..14分21．〔安分16分〕本共有2个小，第1小分8分，第2小分8分。双曲c:x2y2v1,点A(3(1,k)2,0)的直l的方向向量e2〔1〕当直l与双曲C的一条近m平行，求直l的方程及l与m的距离；〔2〕明：当k>2，在双曲C的右支上不存在点Q，使之到直l的距离6。221.〔1〕双曲C的近m:x2y0............2分2直l的方程x2y320⋯⋯⋯⋯⋯⋯..6分直l与m的距离d326⋯⋯⋯.8分12〔2〕原点且平行与l的直b:kxy032k直l与b的距离d1k2当k2时，d62又双曲C的近x2y0双曲C的右支在直b的右下方，双曲C右支上的随意点到直l的距离6。故在双曲C的右支上不存在点Q，使之到直l的距离6。[法二]双曲C的右支上存在点Q(x0,y0)到直l的距离6，kx0y0321k26,(1)x02y02,(2)由〔1〕得y0kx032k61k2，t32k61k2当k2，t32k61k20⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..13分2将y0kx0t代入〔2〕得(12k2)x024ktx02(t21)0〔*〕k2,t0,12k20,4kt0,2(t21)02方程〔*〕不存在正根，即假不可立故在双曲C的右支上不存在Q，使之到直l的距离6⋯⋯⋯⋯⋯.16分22.〔安分16分〕本共有3个小，第1小分4分，第2小分6分，第3小分6分。函数yf(x)的反函数。定：假定定的数a(a0)，函数yf(xa)与yf1(xa)互反函数，称yf(x)足“a和性〞；假定函数yf(ax)与yf1(ax)互反函数，称yf(x)足“a性〞。〔1〕判断函数g(x)x21(x0)能否足“1和性〞，并明原因；〔2〕求全部足“2和性〞的一次函数；〔3〕函数yf(x)(x0)任何a0，足“a性〞。求yf(x)的表达式。22〔1〕解，函数g(x)x21(x0)的反函数是g1(x)x1(x1)g1(x1)x(x0)而g(x1)(x1)21(x1),其反函数yx11(x1)故函数g(x)x21(x0)不足“1和性〞〔2〕函数f(x)kxb(xR)足“2和性〞，k0.f1(x)xb(xR),f1(x2)x2bkk

.6分而f(x2)k(x2)b(xR),得反函数xb2kyk⋯⋯⋯⋯.8分x2b=xb2kx由“2和性〞定可知R恒成立kkk1,bR,即所求一次函数f(x)xb(bR)⋯⋯⋯..10分〔3〕a0，x00，且点(x0,y0)在yf(ax)像上，(y0,x0)在函数yf1(ax)象上，故f(ax0)y0，可得ay0f(x0)af(ax0)，．．．．．．12分f1(ay0)x0，令ax0x，ax。f(x0)xf(x)，即f(x)x0f(x0)。．．．．．．14分x0x0x上所述，1b1qn1bnf(x)k(k0)，此f(ax)k，其反函数就是yk，kxaxax而f1(ax)，故yf(ax)与yf1(ax)互反函数。．．．．．．16分ax23.〔安分18分〕本共有3个小，第1小分5分，第2小分5分，第3小分8分。an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。〔1〕假定an3n1，能否存在m、kN*，有amam1ak?说明原因；〔2〕找出全部数列an和bn，使对全部nN*,an1bn,并说明原因；an〔3〕假定a15,d4,b1q3,试确立全部的p，使数列an中存在某个连续p项的和是数列bn中的一项，请证明。23．[解法一]〔1〕由amam1ak，得6m53k1，．．．．．．2分整理后，可得k2m4，m、kN，k2m为整数，3不存在m、kN，使等式成立。．．．．．．5分an1bn，即a1ndn1，〔*〕〔2〕假定a1(nb1qa1)d〔ⅰ〕假定d0,那么1b1qn1bn。当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，知足要求。．．．．．．7分〔ⅱ〕假定d0，〔*〕式等号左侧取极限得lima1nd，〔*〕式等号右侧的极限只有1a1(n1)d当q1时，才能等于1。此时等号左侧是常数，d0，矛盾。综上所述，只有当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，知足要求。．．．．．．10分【解法二】设anndc,假定an1bn,且bn为等比数列an那么an2/an1q,对nN*都成立，即anan2qa2n1an1an(dnc)(dn2dc)q(dndc)2对nN*都成立，a2qd