《数学分析》（4）课程实施大纲

PAGE《数学分析》(4)课程实施大纲目录1．教学理念 11.1关注学生的发展 11.2关注教学的有效性 11.3关注教学的策略 11.4关注教学价值观 12．课程介绍 12.1课程的性质 12.2课程在学科专业结构中的地位、作用 12.3课程的前沿及发展趋势 12.4学习本课程的必要性 23．教师简介 23.1教师的职称、学历 23.2教育背景 23.3研究兴趣（方向） 24．先修课程 25．课程目标 25.1知识与技能方面 25.2过程与方法方面 25.3情感、态度与价值观方面 36．课程内容 36.1课程的内容概要 36.2教学重点、难点、学时安排 47.课程教学实施 57.1教学单元一 57.2教学单元二 107.3教学单元三 157.4教学单元四 227.5教学单元五 277.6教学单元六 307.7教学单元七 347.8教学单元八 367.9教学单元九 407.10教学单元十 457.11教学单元十一 507.12教学单元十二 537.13教学单元十三 567.14教学单元十四 607.15教学单元十五 667.16教学单元十六 727.17教学单元十七 747.18教学单元十八 778．课程要求 829．课程考核方式及评分规程 8210．学术诚信规定 8211．课堂规范 8212．课程资源 8313．教学契约 8414．其他说明 84PAGE841．教学理念1.1关注学生的发展核心理念是为了每一位学生的发展,这包含着三层涵义:一是课程要着眼于学生的发展,这是课程价值取向的定位问题。要培养学生的信息收集和整理能力,发现问题和思考问题的能力,分析问题和解决问题的能力,终生学习和创新的能力以及生存和发展的能力。1.2关注教学的有效性通过教与学，能激发学生的情感，对数学知识的热爱。1.3关注教学的策略重基础，理论联系实际，培养逻辑推理能力和计算能力。1.4关注教学价值观第一，要完成科学知识的讲授和社会经验的传递，发展学生智育；第二，要发展学生的智能和体能，使学生形成能力，掌握个人生存和为社会服务的本领；第三，要重视学生操作能力、动手能力、实践能力的培养，在理论和实践结合上掌握知识，学习技术，习得方法；第四，要对学生进行思想教育，逐步使学生树立正确的世界观、科学的人生观、形成良好道德品质、行为习惯，树立与市场经济相适应的思想和品格。2．课程介绍2.1课程的性质专业核心基础必修课2.2课程在学科专业结构中的地位、作用数学是由几何学（平面几何，立体几何，平面解析几何，空间解析几何，射影几何，非欧几何，微分几何等）、代数学（初等代数学，高等代数，抽象代数等）和分析学（微积分，实分析，复分析，Fourier分析，调和分析，逼近理论，实变函数，泛函分析，测度论，概率论，常微分方程，偏微分方程等）三大的分支组成：《数学分析》（《微积分》）是整个分析学的最重要基础，具有重大的理论和应用价值，后继理论的发展研究，都离不开《数学分析》的理论知识与方法。所以，打好坚实的《数学分析》基础对将来的发展，创新能力的提高，成为高素质可持续发展的人才，至关重要。2.3课程的前沿及发展趋势60年代初，美国数学家罗滨逊提出了非标准数学分析理论，为数学分析理论的发展增添了一个新的篇章．如果我们把牛顿、莱布尼兹时代的数学分析理论称为第一代数学分析理论，将标准分析称为第二代；那么，非标准分析可被称为第三代数学分析理论．2.4学习本课程的必要性《数学分析》是数学与应用数学专业的一门最重要专业主干课程，是数学与应用数学专业的后继课程（如实分析，复分析，Fourier分析，调和分析，逼近理论，实变函数，泛函分析，测度论，概率论，常微分方程，偏微分方程等）的基础．它的理论和方法，对于数学的后继课程，对于物理，力学，工程技术中的一些问题，有许多重要的应用．通过本课程的教学，应使学生掌握数学分析的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为从事教学，科研及其他实际工作打好微积分基础．3．教师简介从事应用数学方向研究。曾承担了本科生课程《数学分析》、《常微分方程》、《高等数学》、《线性代数》、《拓扑学》等课程的教学任务。4．先修课程中学数学（初等数学）5．课程目标5.1知识与技能方面（1）通过数学分析（4）的课堂教学，使学生掌握多元函数微积分的基本理论和方法，巩固多元函数微积分的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力．为进一步学习其他课程、为将来从事教学，科研及其他实际工作打好微积分知识基础．（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础．（3）作为教育方向的专业培养目标，在有关内容方面注重高等数学对初等数学认识上的提高和指导作用，使学生在今后的工作中有较高的起点．5.2过程与方法方面通过问题背景引出定义，采用猜测对比等方法引出定理，证明采用分析条件与结论间关系，严格推理。计算上注重书写步骤。5.3情感、态度与价值观方面培养学生对新知识、推广知识的好奇心和求知欲，培养感悟能力，注意力、记忆力、观察力、思维力、想象力等，培养良好的个性心理品质和自我调节控制心理的能力，培养科学的信念，坚韧的毅力、奋发的精神等。6．课程内容6.1课程的内容概要教学章节内容概要第十八章隐函数定理及应用§1隐函数1．介绍隐函数的定义2．隐函数定理的内容与证明3．隐函数定理的应用（判定隐函数的存在性，隐函数求导方法）§2隐函数组1．介绍隐函数组的定义2．隐函数组定理的内容与证明3．隐函数组定理的应用（判定隐函数组的存在性，隐函数求导方法）§3几何应用1．空间（或平面）曲线的切线与法平面方程2．空间曲面的切平面与法线方程§4条件极值1．函数的极值与最值2．函数的条件极值第十九章含参量积分§1含参量正常积分1．含参量正常积分的定义2．含参量正常积分的性质（连续性，可微性与可积性）3．含参量正常积分性质的应用——求定积分的值§2含参量反常积分1．含参量反常积分的定义2．含参量反常积分的性质（连续性，可微性与可积性）3．含参量反常积分性质的应用——求广义积分的值§3欧拉积分1．欧拉积分的定义（函数与函数）2．函数与函数的性质与关系3．利用函数与函数的关系，计算特殊的定（或广义）积分的值第二十章曲线积分§1第一型曲线积分1．问题背景2．第一型曲线积分的定义与性质3．第一型曲线积分的计算§2第二型曲线积分1．问题背景2．第二型曲线积分的定义与性质3．第二型曲线积分的计算4．．第一型曲线与第二型曲线积分的关系第二十一章重积分§1二重积分概念1．问题背景2．二重积分的定义与性质§2二重积分计算（与书上有所区别）1．直角坐标系下计算二重积分2．极坐标系下计算二重积分3．一般变换下计算二重积分§3格林公式。曲线积分与路径无关的条件1．格林公式内容及证明2．格林公式3．曲线积分与路径无关的条件的命题与证明4．曲线积分与路径无关的条件的应用§4三重积分1．问题背景2．三重积分的定义与性质3．三重积分的计算（1）直角坐标系下计算三重积分（2）柱坐标系下计算三重积分（3）球坐标系下计算三重积分（4）一般变换下计算三重积分§5重积分应用1．平面图形的面积与空间立体的体积2．空间曲面的面积3．非均匀物体的质量4．非均匀物体的重心5．引力第二十二章曲面积分§1第一型曲面积分1．问题背景2．第一型曲面积分的定义与性质3．第一型曲面积分的计算§2第二型曲面积分1．问题背景2．第二型曲面积分的定义与性质3．第二型曲面积分的计算§3高斯公式与斯托克斯公式1．高斯公式的证明与应用2．斯托克斯公式的应用6.2教学重点、难点、学时安排教学章节讲课学时自学学时教学重点、难点第十八章隐函数定理及应用14学时4§1隐函数42重点：定理条件难点：定理证明§2隐函数组42§3几何应用，§4条件极值4重点：求切线（平面）方程及条件极值难点：解方程组求稳定点本章小结、习题课2重点：总结，综合提高第十九章含参量积分12学时5§1含参量正常积分2重点：一致收敛的定义与性质难点：一致收敛判定§1含参量正常积分（续）§2含参量反常积分4§2含参量反常积分（续）§3欧拉积分45本章小结、习题课2重点：总结，综合提高第二十章曲线积分6学时3§1第一型曲线积分2重点：定义、性质、计算难点：曲线方程的恰当表示及曲线方向§2第二型曲线积分43第二十一章重积分20学时4§1二重积分4重点：定义、性质，作图、计算难点：积分区域的型、型区域表示§2二重积分变换42难点：作恰当变换，区域的不等式表示§3格林公式42重点：格林公式条件与应用难点：格林公式的证明§4三重积分4重点：定义与性质，积分区域的作图，计算与积分区域的不等式表示难点：空间积分区域的作图；柱坐标与球坐标变换时积分区域的不等式表示§5重积分应用，本章小结、习题课4难点：作图和问题的重积分表示；计算方法选择重点：总结，综合提高第二十二章曲面积分8学时4§1第一型曲面积分42重点：定义、性质、计算和高斯公式难点：曲面作图、曲面的方向§2第二型曲面积分§3高斯公式与斯托克斯公式427.课程教学实施7.1教学单元一7.1.1教学日期：7.1.2教学目标：7.1.3教学内容：第十八章隐函数定理及其应用——§1隐函数。本节主要是两个问题:1.隐函数存在条件；2.若存在，那么隐函数具有的性质。教学重点：隐函数的求导方法及其应用．教学难点：隐函数存在性定理的证明．7.1.4教学过程：一．隐函数概念1．隐函数概念通过实例形象阐述隐函数与显函数概念.如这种形式的函数称为显函数．又如，能确定一个定义在上的隐函数．如果方程中把解出，这个函数也可表示为显函数形式：．再如，不能解出或的表达式，是否有函数关系不清。从而引入隐函数的定义：函数关系由方程确定的函数称为隐函数．2．本节的两个主要问题：（i）隐函数的存在性（ii）隐函数的解析性质（连续性，可微性，可积性）二．隐函数存在唯一定理定理18.1（隐函数存在唯一性定理）若满足下列条件：(i)函数在以为内点的某一区域上连续；(ii)（通常称为初始条件）；(iii)在内存在连续的偏导数；(iv)，则在点的某邻域内，方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得1．时且；2．在内连续．证明：（难点，课后多看书，理解其证明方法）证明后记住注意事项（互动问题）：1．定理18.1的条件仅仅是充分的．例如方程，在点不满足条件（iv），但它仍能确定惟一的连续函数．当然，由于条件（iv）不满足，往往导致定理结论的失败，例如所示的双纽线，其方程为．由于与均连续，故满足定理条件（i）、（ii）、（iii）．但因致使在原点的无论怎样小的临域内都不可能存在惟一的隐函数．2．在定理证明过程中．条件（iii）和（iv）只是用来保证存在的某一邻域，在此邻域内F关于变量y是严格单调的．因此对于本定理所要证明的结论来说，可以把这两个条件减弱为“F在点某一邻域内关于y严格单调”．现在采用较强的条件（iii）和（iv），只是为了在实际应用中便于检验．3．如果把定理的条件（iii）、（iv）改为连续，且．这时结论是存在惟一的连续函数．4．情况如何？三．隐函数可微性定理定理18.2（隐函数可微性定理）设满足隐函数存在惟一性定理中的条件（i）—（iv）,又设在内还存在连续的偏导数，则有方程（1）所确定的隐函数在其定义域内有连续导函数，且（5）证明：（是难点，课后多看书，理解其证明方法）定理18.3若（i）函数在以点为内点的区域上连续；(ii)；(iii)在内存在且连续；(iv)则在点的某邻域内，方程惟一地确定了一个定义在的某邻域内的元连续函数（隐函数），使得1．当时，且，2．在内有连续偏导数：而且证明：（是难点，课后多看书，理解其证明方法，特别与定理18.1和18.2的证明比较——相似的）四．隐函数定理应用举例例1判定方程在邻域内能否确定隐函数，若能，求。解：设（7）由于（1）为初等函数，在平面上任一点都连续；（2）；（3），显然偏导数与在平面上任一点都连续；（4）故依定理18.1方程（7）确定了一个连续可导隐函数，据定理18.2，按公式（5），其导数为：．例2讨论笛卡儿（Descartes）叶形线所确定的隐函数的一阶与二阶导数．解：，则，据求导公式知：，所以课堂互动练习：1．讨论方程（8）在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数．（学生练习，抽学生回答）2．考虑反函数的存在性与其导数。（与学生一起互动完成）设在的某邻域内有连续的导函数，且，考虑方程（9）由于所以只要，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程（14）能确定出在的某邻域内的连续可微隐函数，并称它为函数的反函数．反函数的导数是（10）事实上，这就是在第五章里曾经得到过的反函数求导公式．7.1.5教学方法：讲授法7.1作业：P162:1,2,3(3),(4);(5),(6),5课后反思：1．定理18.1的条件仅仅是充分的．请举例说明。2．如果把定理的条件（iii）、（iv）改为连续，且．这时结论是存在惟一的连续函数．因此请总结判定隐函数存在的解题步骤。7.11．新学期的打算，怎样学好〈〈数学分析〉〉？2．复习〈数学分析〉〉（上册）介绍的隐函数求导法则7.1吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P220-2307.2教学单元二7.2.1教学日期：7.2.2教学目标：熟悉隐函数组概念；掌握隐函数组求导方法．7.2.3教学内容：第十八章隐函数定理及其应用——§2隐函数组。教学重点：隐函数组求导．教学难点：隐函数组存在性证明．7.2.4教学过程：一．隐函数组概念前一节讨论的是由一个方程所确定的隐函数，本节将讨论由方程组所确定的隐函数组．设和为定义在区域上的两个四元函数．若存在平面区域，对于中的每一点，分别有区间和K上惟一的一对值，它们与，一起满足方程组（1）则说方程组（1）确定了两个定义在上，值域分别落在和内的函数．我们称这两个函数为有方程组(1)所确定的隐函数组．若分别记在这两个函数为则在上成立恒等式二．隐函数组定理定理18.4（隐函数组定理）若方程组（1）中(i)与在以点为内点的区域内连续；(ii)（初始条件）；(iii)在内具有一阶连续偏导数；(iv)在点不等于零，则在点的某一（四维空间）邻域内，方程组(1)惟一地确定了定义在点的某一（二维空间）邻域内的两个二元隐函数使得1．，且当时，且2．在内连续；3．在内有一阶连续偏导数，且(2)（3）课堂讨论：1．在定理18.4中，若将条件(iv)改为，则方程(1)所确定的隐函数组相应是；其他情形均可类似推得．总之，由方程组定义隐函数组及隐函数组求导时，应先明确哪些变量是自变量，哪些变量是因变量，然后再进行有关的运算和讨论．2．公式（2）、（3）的由来1）满足确定隐函数组所需要的条件下，通过对方程组（1）两边分别求偏导数，得到（4）（5）要想从（4）、（5）分别解出与，与，其充分条件是它们的系数行列式不为零，即（6）（6）式左边的行列式称为函数、关于变量，的函数行列式(或雅可比（Jacobi）行列式)，亦可记作．可利用高代知识解得（2）、（3）。3．条件（4）在隐函数组定理中所起的作用，与定理18.1中的条件（iv）相当．课堂互动解题:讨论方程组在点近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数．三．反函数组与坐标变换1．反函数组的定义设函数组(7)是定义在平面点集上的两个函数，对每一点，由方程组(9)有平面上惟一的一点与之对应．我们称方程组(9)确定了到的一个映射．记作．这时映射(7)可写成如下函数形式,或写成点函数形式,并称为映射下的象，而则是的原象．记在映射下的象集为．反过来，若为一一映射（即不仅每一个原象只对应一个象，而且不同的原象对应不同的象）．这时每一点，由方程组(9)都有惟一的一点与之相对应．由此所产生的新映射称为映射的逆映射（逆变换），记作，即或亦即存在定义在上的一个函数组，，（8）把它代入（7）而成为恒等式：，，（9）这时我们又称函数组（8）是函数（7）的反函数组．2．反函数组的存在性与可导性问题定理18.5（反函数组定理）设方程组及其一阶导数在某区域上连续，点是D内点，且,,,则在点的某一邻域内存在惟一的一组反函数，使得，且当时，有以及恒等式(11)．此外，反函数组(10)在内存在连续的一阶偏导数，且,,,．（10）由（10）看到：互为反函数组的(7)与(8)，它们的雅可比行列试互为倒数，即．这与（一元）反函数求导公式相类似．2．坐标变换(1)平面上的点的直角坐标与极坐标之间的坐标变换公式为．(11)由于所以除原点外，在一切点上由函数组（14）所确定的反函数组是，对于函数组，，，在相应于定理18.5的条件下所确定出的反函数组为，，，它们是三维空间中直角坐标与曲面坐标之间的坐标变换．(2)直角坐标与球坐标之间的变换公式为(12)由于．所以即除去轴上的一切点，由方程组（15）可确定出为的函数，即三．隐函数组定理应用举例参看书上例.并总结隐函数组定理应用——求导数的方法。7.2讲授法7.2.6作业安排及课后反思作业：P169:1,2(2),(3),3(2)课后反思：1．定理18.5的条件仅仅是充分的．请举例说明。2．请总结判定隐函数存在的解题步骤。7.2.7课前准备情况及其他相关特殊要求1．极坐标变换中的含义2．方程两边对一个变量求导法则。7.2.8参考资料吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P230-2457.3教学单元三7.37.3.27.3.3教学内容：第十八章隐函数定理及其应用教学重点：求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程．教学难点：切线的方向向量与平面的法向量公式及灵活应用7.3一．预备知识（复习）据解析几何知识：（课堂互动）1．空间直线方程：（理解式子中元素含义）过，方向向量为的空间直线方程为：参数式为：（为参数）2．平面方程：（理解式子中元素含义）过，法向量为的平面方程为：二．平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程给出，它在点的某邻域内满足隐函数定理条件，于是在附近所确定的连续可微隐函数（或和方程（1）在附近表示同一曲线，从而该曲线在点处存在切线和法线，其方程分别为（或）与（或）由于（或），所以曲线在点处的切线与法线方程为切线：，（2）法线：．（3）例1求笛卡尔叶形线在点（2，1）处的切线与法线解：令，则，所以所以，所求切线方程为即法线方程为即三．空间曲线的切线与法平面1．推导由参数方程．（4）表示的空间曲线上在某一点处的切线和法平面方程。其中，，并假定(4)式中的三个函数在处可导，且推导：在曲线上点附近选取一点，于是连接上的点与的割线方程为．其中，以除上式各分母，得．当时，，且．即得曲线在处的切线方程为．（5）由此可见，当不全为零时，它们是该切线的方向数。过点可以作无穷多条直线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这平面为曲线在点处的法平面（平面n）它通过点，且以L在的切线为它的法线，所以法平面的方程为（6）2．推导当空间曲线由方程组（7）给出时，求它在点处的切线与法平面方程推导：若的方程在点的某邻域内满足隐函数组定理的条件（这里不妨设条件(iv)是），则方程组(7)在点附近能确定惟一连续可微的隐函数组(8)使得且．由于在点附近方程组(7)与函数组(8)表示同一空间曲线，因此以为参数时，就得到点附近曲线的参量方程：于是由（5）式曲线在处的切线方程为．即．（9）按（6）式曲线在处的法平面方程为：（10）同样可推出：当或在处不等于零时，曲线在处的切线与法平面方程仍分别取（9）与（10）的形式由此可见，当．不全为零时，它们是空间曲线（7）在点处的切线的方向数。课堂互动问题：能否给出方程（7）在点处的切线的方向数的简单表示，方便记忆。（联想行列式，写出）例2求曲线在点处的切线与法平面方程。解：设，，则；。所以，曲线在点的切线的方向向量为所以，曲线在点的切线的方程为：曲线在点的法平面的方程为：即课堂练习题:求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。四．曲面的切平面与法线设曲面有方程（11）给出，它在点的某邻域内满足隐函数定理条件（这里不妨设），于是方程（11）在点附近确定惟一连续可微的隐函数使得，且，．由于在点附近（11）与表示同一曲面，从而切平面方程：．法线方程：．它们也可分别写成如下形式：切平面方程：（12）法线方程：．（13）这种形式对于或也同样适合例3求椭球面在处的切平面方程与法线方程解：令，则，，所以，，所以，所求平面的法向量为，方程为即法线方程为例4综合题（华东师大1994考研题）证明曲面的所有切平面都经过某定点，其中为可微函数．证明：，则所以曲面上任意点的切平面方程为化简得：由此可见：切平面过点课堂练习：作业2（1）、3（1）7.3.5教学方法：讲授法，讲练结合7.3.6作业安排及课后反思作业：P175:1,2,3(1),5,6课后反思：1．在点处的切线方向向量公式：怎样才能记住？2．本节知识与解析几何知识的联系及题型变化7.3.7课前准备情况及其他相关特殊要求1．新学期的打算，怎样学好〈〈数学分析〉〉？2．复习〈数学分析〉〉（上册）介绍的隐函数求导法则3．复习平面方程与直线方程的求法7.3.8参考资料吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P245-2557.4教学单元四7.4.1教学日期：7.4.2教学目标：熟悉掌握条件极值概念及求法．7.4.3教学内容：第十八章隐函数定理及其应用——§4条件极值。教学重点：条件极值定义与条件最值的定义，条件极值（最值）的求法及应用教学难点：条件极值（最值）的应用——求方程组的驻点．7.4.4教学过程：一．条件极值问题先提出下面例子：要设计一个容积为的长方体形开口水箱.确定长、宽和高,使水箱的表面积最小．分别以、和表示水箱的长、宽和高,该例可表述为:在约束条件．（1）之下求函数．的最小值．条件极值问题的一般陈述：.在条件组，（2）的限制下，求目标函数（3）的极值．二．条件极值的必要条件设在约束条件之下求函数的极值。当满足约束条件的点是函数的条件极值点，且在该点函数满足隐函数存在条件时，由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点，有.代入，就有．（以下、、、均表示相应偏导数在点的值)即．亦即．可见向量与向量正交．注意到向量也与向量正交，即得向量与向量线性相关，即存在实数，使．亦即由上述讨论知：函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组（4）的解．三．Lagrange乘数法若引进所谓Lagrange函数,称其中的实数为Lagrange乘数，则上述方程组（4）即为方程组对于一般条件极值问题的拉格朗日函数是：（5）其中为拉格郎日乘数，并有下面定理：定理18.6设在条件的限制下，求函数的极值问题，其中与在区域内有连续的一阶偏导数．若的内点是上述问题的极值点，且雅可比矩阵（6）的秩为，则存在个常数，使得为拉格朗日函数的稳定点，即为下述个方程：（7）的解．应用时难点：解上述方程组，下面例中介绍方法（注意听讲）。四．用Lagrange乘数法解应用问题举例例1求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积。例2抛物面被平面截成一个椭圆.求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离。例3综合题（华东师大1994考研题）设椭圆的任意切线与轴分别交于两点，试求线段长度的最小值．解：设，则，过椭圆上任意点的切线方程为：令，则，同理令得．由此得交点为，，于是线段长度的平方，设并令由前两个方程得：所以问题转化为求，只需由两个方程得的，代入第三个方程即得：于是，即．例4综合题（华东师大1994考研题）证明曲面的所有切平面都经过某定点，其中为可微函数．证明：，则所以曲面上任意点的切平面方程为化简得：由此可见：切平面过点．例5求函数在条件下的极小值,并证明不等式：,其中，为任意正常数。课堂练习：习题中选择1-2题7.4.5教学方法：讲练结合7.4.6作业安排及课后反思作业：作业：P181:1(3),2,3课后反思：1．总结和巩固二元函数在有界闭域上求最值的方法。2．条件极值与无条件极值的有无关系，怎样转化？7.4.7课前准备情况及其他相关特殊要求1．复习一元函数极值、最值的求法2．复习、回忆解多元方程组的方法7.4.8参考资料吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P255-2667.5教学单元五7.5.1教学日期：7.5.2教学目标：理解含参变量定积分的定义，熟悉含参变量定积分的性质，掌握含参变量定积分的应用——求特殊定积分的值。7.5.3教学内容：第十九章含参变量积分——§1含参变量定积分。教学重点：含参变量定积分的性质及应用．教学难点：含参变量定积分应用——可微性应用7.5.4教学过程：一．含参量正常积分概念设是定义在矩形区域上的二元函数，当取上某定值时，若作为的函数在上可积，则其积分值是关于的函数，记为，即，（1）一般地，设是定义在区域上的二元函数，其中为定义在上的连续函数，若当取上某定值时，作为的函数在区间上可积，则其积分值是关于的函数，记为，即，（2）由（1）和（2）定义的两个函数，通常称为定义在上含参量的（正常）积分，或简称含参量积分．若含参量积分可以表达具体的函数式，那么就很容易研究它的性质，但是若含参量积分不可以表达具体的函数式，将如何研究它的性质呢？下面讨论含参量积分性质二．含参量积分性质1．连续性定理19.1（连续性）若二元函数在矩形区域上连续，则在上连续．证明：（让学生了解证明思路）注意事项说明：（1）若定理中换成，则在上连续．（2）定理的结论可以写成如下形式：．定理19.2（连续性）若二元函数在区域上连续，则在上连续．证明：（让学生了解证明思路）2．可微性定理19.3（可微性）若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则在上可微，且证明：（让学生了解证明思路）定理19.4（可微性推广）设，在区域上连续，为定义在上其值含于内的可微函数，则在上可微，且．3．可积性若分别在和上可积，则存在两个求积顺序不同的积分：，．把上述两个积分简记为，．前者表示先对求积然后对求积，后者表示先对求积然后对求积，它们统称为累次积分，或称二次积分．定理19.5（可积性）若在矩形区域上连续，则分别在和上可积，且＝．证明：（让学生了解证明思路）三、参变量定积分性质的应用举例（联想性质及方法的选择）例1求．例2求．解：因为，所以原式．又因为函数在上连续，据含参量正常积分的可积性知：例3计算积分．参看书，学习理解怎样作辅助函数（难点）。例4设在的某个邻域内连续，验证当充分小时，函数．的各阶导数存在，且．课堂练习：习题中选择1-2题7.5.5教学方法：讲授法7.5.6作业安排及课后反思作业：P191:1,2,3,5(1)课后反思：反常积分数项级数；含参量反常积分函数项级数（与函数项级数对应思考复习）7.5.7课前准备情况及其他相关特殊要求1．变动上限函数的性质2．复习定积分的计算方法7.5.8参考资料吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P273-2827.6教学单元六7.6.1教学日期：7.6.2教学目标：了解含参变量广义积分的收敛与一致收敛的概念，掌握含参变量广义积分一致收敛的判别法．熟练掌握含参变量反常积分一致收敛的性质的应用7.6.3教学内容：第十九章含参变量积分——§2含参变量反常积分。教学重点：含参变量广义积分一致收敛的判定与性质及其应用。教学难点：含参变量广义积分一致收敛性质及其应用7.6.4教学过程：一．含参量反常积分概念定义1设函数定义在无界区域上，若对每个固定的，反常积分（1）都收敛，则它的值是在上取值的函数，记为，即，（2）称（1）式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分．二．含参量反常积分一致收敛性概念定义2若含参量积分与，对任给的正数，总存在某一个实数，使得当时，对一切，都有即则称含参量反常积分在上一致收敛于，或简称含参量反常积分在上一致收敛．定义若含参量积分与，存在某个正数，对任何的实数，总是相应存在某个及某个，使得则称含参量反常积分在上不一致收敛三．含参量反常积分一致收敛性判定1．柯西准则定理19.7含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某一个实数，使得当时，对一切，都有证明2．含参量积分一致收敛性与函数项一致收敛性之间的关系定理19.8含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（，函数项级数在上一致收敛．证明3．M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法M判别法：设有函数，使得，若收敛，则在上一致收敛．狄利克雷判别法：设对一切实数，含参量正常积分对参量在上一致有界，即存在正数，对一切及一切，都有（2）对每个，函数关于是单调递减且当时，对参量，一致收敛于0，则含参量反常积分在上一致收敛．阿贝尔判别法：设（1）在上一致收敛；（2）对每一个，函数为的单调函数，且对参量，在上一致有界，则含参量反常积分在上一致收敛．四．关于一致收敛判定的例题（重点：听老师介绍方法选择）例1证明含参量反常积分在上一致收敛（其中），但在内不一致收敛．例2证明含参量反常积分在上一致收敛．例3证明含参量反常积分在上一致收敛．五．含参量反常积分的性质定理19.9（连续性）设在上连续，若反常积分在上一致收敛，则在上连续．证明：定理19.10（可微性）设与在上连续．若在上收敛，在上一致收敛，则在上可微，且证明定理19.11（可积性）设在连续，在上一致收敛，则在上可积，且证明定理19.12设在上连续，若（1）关于在任何闭区间一致收敛，关于在任何闭区间一致收敛；（2）积分中有一个收敛，则．证明六．利用含参量反常积分的性质计算反常积分例4计算．（重点掌握此类题的解题方法．与前一节例2作比较。）解：因为，所以，原式=．又由于而收敛，所以收敛，于是例5计算．例6计算．七．含参量的无界函数反常积分（这部分内容学生自学．）课堂练习：习题中选择1-2题7.6.5教学方法：讲授法7.6.6作业安排及课后反思作业：P201:1(2)(3),4(1)(2)课后反思：1．在一致收敛等条件下，积分与极限运算、与积分运算，求导运算可以交换运算顺序。（与函数项级数对应思考复习，方便记忆）2．总结含参量正常积分的性质与含参量反常积分的性质应用的相似点7.6.7课前准备情况及其他相关特殊要求1．反常积分的计算7.6.8参考资料吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P282-2967.7教学单元七7.77.7.2教学目标：了解欧拉积分的形式，掌握其性质，熟悉递推公式及应用7.7.3教学内容：第十九章含参量积分——§3欧拉积分。教学重点：欧拉积分的形式及应用．教学难点：应用中将所求积分化为欧拉积分7.7.4教学过程：一．函数（特殊的含参量反常积分）1．形式：特别：2．性质：3．递推公式：或二．函数（特殊的含参量反常积分）1．形式：2．其他形式：或3．性质三．函数与函数的关系；——余元公式；——加倍公式；四．应用举例例1计算．解：令，则例2计算．解：令，则，因为在上连续，所以课堂练习：习题中选择1-2题7.7.5教学方法：讲授法7.7.6作业安排及课后反思作业：P201:1(2)(3),4(1)(2)课后反思：1．在一致收敛等条件下，积分与极限运算、与积分运算，求导运算可以交换运算顺序。（与函数项级数对应思考复习，方便记忆）2．总结含参量正常积分的性质与含参量反常积分的性质应用的相似点。7.7.7课前准备情况及其他相关特殊要求1．反常积分的计算7.7.8参考资料吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P296-3047.8教学单元八7.8.1教学日期：7.8.2教学目标：掌握第一型曲线积分的概念及计算．7.8.3教学内容：第二十章曲线积分——§1第一型曲线积分教学重点：第一型曲线积分的计算教学难点：问题背景与第一型曲线积分的概念．7.8.4教学过程：一．问题背景（与定积分作比较）问题：设有一根有限的金属曲线，其线密度是不均匀的,在上的点处的密度为，设是在上连续函数，问该曲线的质量多少？解决方法：当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量．当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时怎样计算物体的质量的？我们可以类似定积分处理方法来解决．（1）分割：把分成个可求长度的小曲线段（…），并在每一个上任取一点．由于为上的连续函数，故当的弧长都很小时，每一小段的质量可近似的等于，其中为在小曲线段的长度．（2）作和：在整个上的质量就近似地等于和式．（3）取极限：令，则．由上面看到，求具有某种物质的曲线的质量，与求直线段的质量一样，也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的．下面给出这类积分的定义．二．第一型曲线积分的定义定义设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数．对曲线作分割，它把分成个可求长度的小曲线段…），的弧长记为，分割的细度为，在上任取一点（）（…）．若有极限且的值与分割与点（）的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作(1)若为空间可求长线段，为定义在上的函数，则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分，并且记作．(2)三．第一型曲线积分的性质关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述一些重要性质．下面列出平面上第一型曲线积分的性质．、若存在，为常数，则也存在，且．、若曲线由曲线…首尾相接而成，且…都存在，则也存在，且．、若与都存在，且在上，则．、若存在，则也存在，且．、若存在，的弧长为，则存在常数，使得．这里．对于空间第一型曲线积分的性质，可自行仿此写出．四．第一型曲线积分的计算定理设有光滑曲线：．函数为定义在上的连续函数，则．证明课堂互动提问：（下面特殊情况：与同学讨论得出答案）1．当曲线由方程,表示，且在上有连续的导函数时，式成为．2．当曲线由方程,表示，且在上有连续的导函数时，式成为．3．当曲线由极坐标方程,表示，且在上有连续的导函数时，式成为什么？大家一起完成。．五．应用例题（应用的关键在于选择曲线的解析表示，是本节重点）例1计算第一型曲线积分．其中是半圆周．课堂提问：例1中改为怎样做？例2设是从到一段（图），试计算第一型曲线积分．例3计算，其中为球面被平面所截得的圆周．7.8讲授法7.8作业：P213:1(2)(3)(4)(5),2课后反思：1．通过弧长公式把第一类曲线积分化为定积分计算。对空间曲线你能给出计算公式吗？2．总结第一类曲线积分计算的解题步骤。7.81．复习已学的定积分的定义基几何意义2．复习已学的定积分的计算方法7.8吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P311-3177.9教学单元九7.97.9.2教学目标：7.9.3教学内容：第二十章曲线积分——§教学重点：第二型曲线积分的计算及物理上的应用。教学难点：第二型曲线积分的概念，两类曲线积分的联系。7.9一．问题背景（与定积分作比较）问题：一质点受力的作用沿平面曲线从点移动到点，求力所作的功．解决方法：在曲线内插入个分点，与一起把有向小曲线段（…）．若记小曲线段的弧长为，则分割的细度为．设力在轴和轴方向的投影分别为与，那么，．又设小曲线段在轴与轴上的投影分别为与，其中与分别为分点与的坐标．记，于是力在小曲线段上所作的功．其中为小曲线段上任一点．因而，力沿曲线所作的功近似地等于．当细度时，上式右边和式的极限就应该是所求的功．这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分．二．第二型曲线积分的定义定义1设函数与定义在平面有向可求长度曲线上．对的任一分割，它把分成个小曲线段，（…）。其中．记各小曲线段的弧长为，分割的细度．记，（…）．在每个小曲线段上任取一点，若极限+存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数,，沿有向曲线上的第二型曲线积分，记为或三．第二型曲线积分的其它记法及性质1．第二型曲线积分的其它记法上述积分也可记作或+为书写简洁起见，式常简写成或若为封闭的有向曲线，则记为若记，，d(d,d)，则式可写成向量形式或倘若为空间有向可求长度曲线，，，为定义在上的函数，则可按上述类似地定义沿空间有向曲线上的第二型曲线积分，并记为或简写成．当把与看作三维向量时，式也可写成或．2．第二型曲线积分的性质.若…存在，则也存在，且其中…为常数．若有向曲线是由有向曲线首尾相接而成，且存在，则…也存在,且．3．设是的反向曲线(即和方向相反),则．四．第二型曲线积分的计算与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算．1．设平面曲线．其中在上具有一阶连续导函数，且点与的坐标分别为与.又设与为上的连续函数，则沿从到的第二型曲线积分仿照§中定理的方法分别证明2．于沿封闭曲线的第二型曲线积分的计算，可在上任意选取一点作为起点，沿所指的方向前进，最后回到这一点．3．对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与（6）式相仿．设空间有向光滑曲线的参量方程为：:．起点为，终点为，则课堂提问：（下例特殊情况）1．当曲线由方程,表示，且在上有连续的导函数时，式变成什么？大家一起完成．2．当曲线由方程,表示，且在上有连续的导函数时，式变成什么？大家一起完成．3．当曲线由极坐标方程,表示，且在上有连续的导函数时，式变成什么？大家一起完成。．四．应用举例（应用的关键在于选择曲线的解析表示，是本节重点，还要注意的方向性）例1（书上例）计算,其中分别沿如图中路线(i)直线；(ii)（抛物线：）；(iii)（三角形周界）．例2计算，这里：（i）沿抛物线，从到的一段（图）；（ii）沿直线段：（iii）沿封闭曲线．例3计算第二型曲线积分是螺旋线：从到上的一段．例4求在力作用下，(i)质点由沿螺旋线到所作功，其中;(ii)质点由沿直线到所作的功．课堂练习：例1-4题中可选择1-2题作为课堂练习，视情况而定。五．两类曲线积分的联系虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型，且有着不同的特性，但在一定条件下，如在规定了曲线的方向之后，可以建立它们之间的联系．设为从到的有向光滑曲线，它以弧长为参数，于是:．其中为曲线的全长，且点与的坐标分别为与()．曲线上每一点的切线方向指向弧长增加的一方．现以分别表示切线方向与轴与轴正向的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦是若,为曲线上的连续函数，则由（6）式得最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式．这里必须指出，当式左边第二型曲线积分中改变方向时，积分值改变符号，相应在式右边第一型曲线积分中，曲线上各点的切线方向指向相反的方向（即指向弧长减少的方向）这时夹角和分别与原来的夹角相差一个弧度，从而和都要变号．因此，一旦方向确定了，公式总是成立的．这样，根据条件和公式便建立了两种不同曲线积分之间的联系．课堂提问：（下例特殊情况）若切线方向改为外法线方向时，两种不同曲线积分之间的关系。7.9讲授法7.9作业：p221:1(1)(2)(3)(5),2课后反思：1．性质3说明第二类曲线积分与曲线的方向有关,这是两种类型曲线积分的一个重要差别.通过弧长公式把第一类曲线积分化为定积分计算。对空间曲线你能给出计算公式吗？2．总结两类曲线积分计算解题的相似点与不同点。7.91．恒力作功公式2．定积分的计算方法7.9吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P318-3267.10教学单元十7.10.1教学日期：7.10.2教学目标：理解并掌握二重积分的概念、性质．7.10.3教学内容：第二十一章重积分——§1二重积分的概念。教学重点：二重积分的概念与性质教学难点：二重积分的证明题．7.10.4教学过程：一．问题背景——求曲顶柱体的体积（与前面的积分做比较）问题：设为定义在可求面积的有界闭区域上的非负连续函数．求以曲面为顶，为底的柱体的体积．解决方法：分割：先用一组平行于坐标轴的直线网把区域分成个小区域（称为区域的一个分割）．近似求和：以表示小区域的面积．这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成个以为底的小曲顶柱体．由于在上连续，故当每个的直径都很小时，在上各点的函数值都相差无几，因而可在上任取一点，用以为高，为底的小平顶柱体的体积作为的体积的近似值，即把这些小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积的近似值取极限：当直线网的网眼越来越细密，即分割的细度（为的直径）趋于零时，就有这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、重心、转动惯量等等．二．二重积分定义定义1平面区域：设为平面上可求面积的有界闭区域；二元函数：为定义在上的函数;分割：用任意的曲线把分成个可求面积的小区域，，，这些小区域构成的一个分割;分割的细度：以表示小区域的直径，称为分割的细度;积分和：在每个上任取一点，作和式（表示小区域的面积）;称它为函数在上属于分割的一个积分和．定义2设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数．是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有（1）则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作（2）积分变量积分变量被积函数积分区域三．二重积分几何意义（结合图形理解）当时，二重积分就表示以为曲顶，以为底的曲顶柱体的体积．当时，二重积分的值就等于积分区域的面积．四．二重积分的可积条件（了解结论）设函数在上有界，为的一个分割，它把分成个可求面积的小区域，，．令，则定义：上和：与下和：。定理21.1函数在有界可求面积区域上可积的必要条件是它在上有界．定理21.2在上可积的充要条件是：定理21.3在上可积的充要条件是：对于任给的正数，存在的某个分割，使得．定理21.4有界闭区域上的连续函数必可积．定理21.5设是定义在有界闭区域上的有界函数．若的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则在上可积．证明五．二重积分的性质若在区域上可积，为常数，则在上也可积，且．若，在上都可积，则在上也可积，且若在和上都可积，且与无公共内点，则在上也可积，且若与在上可积，且则若在上可积，则函数在上也可积，且若在上可积，且则这里是积分区域的面积．（中值定理）若在有界闭区域上连续，则存在，使得这里是积分区域的面积．中值定理得几何意义：以为底，为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在区域中某点的函数值．六．应用举例例1设在有界平面闭区域上连续，且在的任意子区域上有：证明：在上．证明：假设在上不恒为零．则存在，使，不妨设．因为在上连续，据连续函数的局部保号性定理：存在的邻域，使，有记为的面积，显然．所以这与题设矛盾．即在上．例2设平面区域在和轴上的投影长度分别为和，的面积为，为内任意点，证明：（1）；（2）．证明：设在和轴上的投影区间范围为和，则，则当时，，．所以有：．7.10讲授法7.10作业：p229:3,4,6课后反思：1．定理21.6及定理21.7告诉我们二重积分可以转化为两个累次定积分计算．因此掌握好定积分计算就能够解决二重积分计算．重点掌握两种类型的区域不等式；2．定理21.8是计算二重积分重要公式；注意选择适当的积分次序．3．总结各类积分定义的相似之处7.101．复习定积分的定义，线积分的定义及问题背景2．复习定积分的计算方法7.10吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P331-3367.11教学单元十一7.11.1教学日期：7.11.2教学目标：熟练掌握二重积分的计算．7.11.3教学内容：第二十一章重积分——§2教学重点：一般区域的不等式表示教学难点：二重积分化为二次积分．7.11.4教学过程：一．矩形区域上二重积分计算定理21.6设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且证明定理21.7设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且定理21.7的证明与定理21.6相仿．特别当在矩形区域上连续时，则有例计算，其中．2．一般区域上二重积分的计算由二重积分定义知道，若在区域上可积，则与定积分情况一样，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割，则每一小网眼区域的面积．此时通常把记作（1）重点介绍两个区域的不等式确定方法（结合图形）-型区域：-型区域：（2）．两个特殊区域上二重积分的计算公式定理21.8若在型区域上连续，其中在上连续，则即二重积分可化为先对，后对的累次积分．类似可证，若为型区域，其中在上连续，则二重积分可化为先对，后对的累次积分．（3）一般区域上二重积分计算一般区域都可以分成几个型区域与型区域，由区域可加性质及型区域与型区域的计算公式就可以解决一般区域上二重积分计算．三．典型题实例例2更换积分的顺序，并在极坐标系下化为累次积分解：二次积分对应二重积分的积分区域如图：画图用-型不等式表为，则交换顺序为：例3计算二重积分，其中例4计算，其中是以点、和为顶点的三角形区域.解：积分区域画图，用-型不等式表为所以，例5计算二重积分，其中为由直线，及所围成的三角形区域．例6求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积．课堂练习：1交换累次积分的顺序．2设是由直线及围成的区域，试计算：的值．7.10讲授法7.10作业：p235:2(1)(2),3(2)(3)课后反思：总结计算二重积分的解题步骤，型区域与型区域的选择7.101．复习定积分的计算方法2．画平面图形7.10吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P336-3627.12教学单元十二7.17.127.12.3教学内容：第二十一章重积分教学重点：极坐标下二重积分的计算。教学难点：一般变换下二重积分的计算。7.1一．二重积分的变量变换公式1．二重积分的变量变换公式的引入在定积分的计算中，我们得到了如下结论：设在区间上连续，当从变到时，严格单调地从变到，且连续可导，则当时，记，则。利用这些记号，公式又可写成当时，式可写成故当为严格单调且连续可微时，式和式可统一写成如下的形式：2．二重积分的变量变换公式下面我们把公式推广到二重积分的场合。为此，先给出下面的引理。引理设变换将平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域，一对一地映成平面上的闭区域，函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式则区域的面积证明定理设在有界闭区域上可积，变换，将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域，函数，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式则证明3．应用实例例求，其中是由所围区域。例求抛物线和直线所围区域的面积。二．用极坐标计算二重积分1．极坐标变换变换的函数行列式为2．极坐标变换适应范围（1）当积分区域是圆域的一部分；（2）被积函数的形式为时，采用极坐标变换往往能达到简化积分区域或被积函数的目的。3．用极坐标计算二重积分公式定理设满足定理的条件，且在极坐标变换下，平面上有界闭区域与平面上区域对应，则成立4．二重积分在极坐标下如何化为累次积分计算。(i)若原点，且平面上射线常数与的边界至多交于两点，则必可表示成，于是有类似地，若平面上的圆常数与的边界至多交于两点，则必可表示成，所以(ii)若原点为的内点，的边界的极坐标方程为，则可表示成所以(iii)若原点在的边界上，则为于是5．广义极坐标变换广义极坐标变换：并计算得对广义极坐标变换也有与定理相应的定理。三．经典实例例计算，其中为圆域：。例求球面被圆柱面所割下部分的体积（称为维维安尼体）。课堂练习：1计算，其中为圆域：。2求椭球体的的体积。7.1讲授法7.12作业：P254:2(1)(2)(3),4(1),5(1),8(1)(2)课后反思：积分区域在直角坐标与极坐标系中的相互转化是怎样的，解题步骤怎样？7.11．复习二重积分的几何意义2．复习极坐标变换3．复习定积分的计算方法7.1吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P355-3627.13教学单元十三7.17.137.13.3教学内容：第二十一章重积分——§教学重点：掌握格林公式。教学难点：利用格林公式计算。7.1一．格林公式1．区域边界的方向边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走时，区域总在它的左边。与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为。2．格林公式定理若函数在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有这里为区域的边界曲线，并取正方向。公式称为格林公式。证明为便于记忆，格林公式也可写成下述形式：3．格林公式应用——计算曲线积分例计算，其中曲线是半径为的圆在第一象限部分。例计算，其中为任一不包含原点的闭区域的边界线。解：设，，则．（1）当闭曲线所围区域内不含原点时：则据曲线积分与路径无关得：（2）当闭曲线所围区域内含原点时：及它们的偏导在无定义，当然不连续．此时，以原点为圆心，半径充分小作圆周：，使在所围区域内，在与为边界的区域内满足格林公式得4．曲线积分计算平面图形面积：（2）例计算抛物线与轴所围的面积。二．曲线积分与路线的无关性在第二十章§中计算第二型曲线积分的开始两个例子中，读者可能已经看到，在例中，以为起点为终点的曲线积分，若所沿的路线不同，则其积分值也不同，但在例中的曲线积分值只与起点和终点有关，与路线的选取无关。本段将讨论曲线积分在什么条件下，它的值与所沿路线的选取无关。首先，介绍单连通区域的概念。若对于平面区域内一封闭曲线，皆可不经过以外的点而连续收缩于属于的某一点，则称此平面区域为单连通区域；否则称为复连通区域。更通俗地说,单连通区域是没有“洞”的区域，复连通区域是有“洞”的区域。定理设是单连通闭区域。若函数在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：(i)沿内任一按段光滑封闭曲线，有(ii)对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；(iii)是内某一函数的全微分，即在内有(iv)在内处处成立证明注意：定理要求为单连通区域是重要的，如本节例，对任何不包含原点的单连通区域，以证得在这个内的任何封闭曲线上，皆有（3）倘若为绕原点一周的封闭曲线，则函数只在剔除原点外的任何区域上有定义，所以必含在某个复连通区域内。这时它不满足定理的条件，因而就不能保证式成立。定义1若，则称为的一个原函数。的原函数求法：若满足定理的条件，则．例试应用曲线积分求的原函数。三．综合例题设函数在光滑闭曲线所围的区域上具有连续的二阶偏导数，证明：其中是沿外法线方向的导数。证明：因为所以据格林公式得：课堂练习：习题中选择1-2题7.1讲授法7.1作业：P244:1(1)(2),3,5(1)(3)课后反思：格林公式连通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系，条件是什么？7.11．复习第二型曲线的积分的计算方法2．复习二重积分的计算方法7.1吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P346-3547.14教学单元十四7.147.14.27.14.3教学内容：第二十一章重积分教学重点：三重积分计算．教学难点：空间立体区域的不等式表示（直角坐标，柱坐标，球坐标中）7.14一．问题背景问题：设一个空间立体，其密度函数为，求的质量．问题求解：分割：我们把分割成个小块．近似求和：在每个小块上任取一点，则其中，为小块的体积。取极限：，其中．二．三重积分的概念定义设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，现用若干光滑曲面所组成的曲面网来分割，它把分成个小区域．记的体积为．在每个中任取一点，作积分和．是一个确定的数．若对任给的正数，总存在某一正数，使得对于的任何分割，只要，属于分割的所有积分和都有则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作或其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区域．当时，在几何表示的体积．三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性质（参见§），这里不一一细述了．例如，类似于二重积分，有(i)有界闭区域上的连续函数必可积；（ii）如果有界闭区域上的有界函数的间断点集中在有限多个零体积（可类似于零面积那样来定义）的曲面上，则在上必可积．三．三重积分的计算——化为三次积分1．直角坐标系中计算定理若函数在长方体上的三重积分存在，且对任何，二重积分存在，其中，则积分也存在，且（1）由§知道，式右端中的二重积分可化为累次积分来计算，于是我们就把式左边的三重积分来计算．如化为先对，然后对，最后对来求积分，则为（2）有时为了计算上的方便，也可采用其他的计算顺序．为了讨论一般区域上的三重积分的计算，先研究一类简单区域上的积分．设积分区域由集合所确定，这里在平面上的投影区域是一个型区域，它对于平行于轴且通过内点的直线与的边界至多交于两点．现设在上连续，在上连续，在上连续，则有（3）同样地，当把区域投影到平面或平面上时，也可写出相应的累次积分公式．对于一般区域上的三重积分，常可把它分解成有限个简单区域上的积分和来计算．例1计算，其中为由平面所围的区域．例2求，其中是椭球体2．在一般变换下三重积分的计算公式和二重积分一样，某些类型的三重积分作适当的变量变换后能使计算方便．设变换，把空间中的区域对一地映成空间中的区域，并设函数及它们的一阶偏导数在内连续且函数行列式于是与二重积分换元法一样，可以证明（用本章§中证明二重积分类似的方法）成立下面的三重积分换元公式：（4）其中为上可积．下面介绍几个常用的变换公式：（1）柱面坐标变换由于变换的函数行列式按式，三重积分的柱面坐标换元公式为这里为在柱面坐标变换下的原象．与极坐标变换一样，柱面坐标变换并非是一对一的，并且当时，但我们仍可证明式成立．在柱面坐标系中，用的平面分割时，变换后在直角坐标系中，是以轴为中心轴的圆柱面，是过轴的半平面，是垂直于轴的平面．用柱面坐标计算三重积分，通常是找出在平面上的投影区域，即当时，其中二重积分部分应用极坐标计算．例3计算，其中是由曲面为界面的区域．（2）球坐标变换由于当在上取值时，，所以在球坐标变换下，按公式，三重积分的球坐标换元公式为这里为在球坐标变换下的原象．类似地，球坐标变换并不是一对一的，并且当时，．但我们仍然可以证明式成立．在球坐标系中，用的平面分割时，变换后在直角坐标系中，是以原点为心的球面，是以原点为顶点，轴为中心轴的圆锥面，是过轴的半平面．在球坐标系下，当区域为集合时，式可化为累次积分（3）广义球坐标变换由于当在上取值时，，所以在球坐标变换下，按公式，三重积分的球坐标换元公式为这里为在球坐标变换下的原象．例4求，其中为由所围