高考数学热点《数列与不等式》练习

热点07数列与不等式热点07数列与不等式从新高考的考查情况来看，数列与不等式主要命题方向：通项与前n项和的关系；通项与递推式的关系；数列的单调性、周期性等；.等差数列、等比数列的判断；等差（比）数列的基本运算；与不等式（最值、不等式的证明）的交汇问题；与函数、导数的交汇；一元二次不等及其解法；均值不等式与基本不等式的运用；不等式与平面解析几何的交汇等问题。1、解决等差（比）数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等差（比）数列中有五个量a1，n，d（q），an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d（q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外等差（比）数列在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．2、证明等差（比）数列的用方法：证明一个数列为等差（比）数列常用定义法与等差（比）中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等差（比）数列，则只要证明存在连续三项不成等差（比）数列即可．3、求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm．②当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm．4、常见数列求和的类型1）分组转化法求和的常见类型（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．（2）通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．2）错位相减法求和时两个注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．3）裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧：①eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)．②eq\f(1,n(n＋2))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))．③eq\f(1,(2n－1)(2n＋1))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))．④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．（3）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．5、条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．6、基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：（1）先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点．（2）用基本不等式求最值，要有用基本不等式求最值的意识．（3）检验．检验等号是否成立，完成后续问题．热点1.等差数列与不等式的交汇问题等差数列与不等式的结合，一般涉及等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的常用性质，如(1)通项公式的推广：(2)若为等差数列，且,则；(3)若是等差数列，公差为，则是公差的等差数列；(4)数列也是等差数列.在解决等差数列的运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.热点2.等比数列与不等式的交汇问题等比数列与不等式的结合，一般涉及等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列的常用性质.其中与“错位相减法”、“放缩法”相结合的情形较多.运算中要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.热点3.数列与函数、导数交汇问题数列本身就是“特殊的函数”，因此，其更易于和函数相结合，一是数列的本身由函数呈现，二是在处理数列问题的过程中，可通过构造函数，利用函数的性质、导数等达到解题目的．A卷（建议用时60分钟）一、单选题1．（2021·四川·成都七中一模）记为等比数列的前项和.若，则（）A． B． C． D．2．（2021·吉林省实验模拟预测）相传国际象棋起源于古印度，国王要奖赏发明者，发明者说：“请在棋盘第1个格子里放上1颗麦粒，请在棋盘第2个格子里放上2颗麦粒，请在棋盘第3个格子里放上4颗麦粒……以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍．”已知棋盘共有64个格子，则最后一个格子的麦粒数是几位数？（例如：28是2位数，1234是4位数，已知）（）A．17 B．18 C．19 D．203．（2021·吉林·长春外国语学校高三期中）已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．4．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）等比数列的前项和为，若，则（）A．2 B．-2 C．1 D．-15．（2021·江苏镇江·高三期中）已知等比数列的前项和为，且，，则（）A． B． C．27 D．406．（2021·陕西安康·高三期中）已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A．数列是公差为的等差数列B．数列是公差为2的等差数列C．数列是公比为的等比数列D．数列是公比为2的等比数列7．（2021·福建省泉州第一中学高三期中）若单调递减的等差数列中的两项，是方程的两个根，设数列的前n项和为，则使得的最小的值为（）A．10 B．18 C．19 D．208．（2021·山东聊城·高三期中）设数列满足，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．9．（2021·山东聊城·高三期中）《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个．A．12 B．24 C．36 D．4810．（2021·山东菏泽·高三期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（）A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-211．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）若，，且，则（）A． B． C． D．12．（2021·江苏如皋·高三期中）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）A． B．1 C．2 D．8二、多选题13．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（）A． B．C．取得最小值时等于5 D．设，为的前项和，则14．（2021·福建·模拟预测）已知下图的一个数阵，该阵第行所有数的和记作，，，，，数列的前项和记作，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．15．（2021·山东临沂·高三期中）在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（）A．B．C．数列是等比数列D．数列是公差为2的等差数列16．（2021·山东菏泽·高三期中）下列函数中，最小值为4的是（）A．B．C．D．三、填空题17．（2021·河北保定·高三期中）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为___________里.（取1.18=2.14）18．（2021·福建·模拟预测）已知数列的前项和记作，，则________．19．（2021·辽宁丹东·高三期中）数列中，若，，则___________.20．（2021·重庆·模拟预测）等比数列满足，则的最大值为__________.21．（2021·湖南岳阳·一模）已知点在线段上运动，则的最大值是____________．四、解答题22．（2021·河北衡水中学模拟预测）在数列中，，.（1）设，求证数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.23．（2021·四川南充·一模）已知数列的前n项和为，且，．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和，求证：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．24．（2021·山东菏泽·高三期中）解关于的不等式：.25．（2021·重庆市第七中学校高三期中）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求；（2）若+2，求.26．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知数列是前项和为（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．27．（2021·江苏镇江·高三期中）已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列___________，求数列的前项和.请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.B卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）已知正数，，满足，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．以上均不对2．（2021·山东文登·高三期中）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．3．（2021·福建省福州第一中学高三期中）已知数列满足：.若，则（）A．2021 B．2022 C．62 D．634．（2021·福建·福州三中模拟预测）已知在等差数列中，，，数列的通项，是数列的前项和，若，则与的大小关系是（）A． B． C． D．5．（2021·山东文登·高三期中）设正项数列的前n项和满足，记表示不超过x的最大整数，．若数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为（）A．1179 B．1180 C．2022 D．20236．（2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列满足，记数列前项和为，则（）A． B． C． D．7．（2021·黑龙江·哈尔滨市高三期中）数列的前项和为，若，，则（）A．数列是公比为2的等比数列 B．C．既无最大值也无最小值 D．8．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（）A．数列的最小项为第项B．C．D．时，的最大值为二、多选题9．（2021·山东菏泽·高三期中）已知，，，则（）A．的最大值为B．的最小值为C．D．的最小值为10．（2021·辽宁·模拟预测）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．11．（2021·浙江·台州一中高三期中）设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（）A．当时，一定是递减数列B．当时，不存在使是周期数列C．当时，D．当时，12．（2021·江苏南通·高三期中）已知数列满足，，，则（）A．是等比数列B．C．是等比数列D．13．（2021·山东省实验中学高三期中）设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数.则下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则是间隔递增数列C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则14．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是()(参考公式：)A．B．C．D．三、填空题15．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.16．（2021·江苏镇江·高三期中）某校在研究民间剪纸艺术时，经常会沿着纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折一次可以得到和两种规格的图形，他们的周长之和为，对折二次可以得到，，三种规格的图形，他们的周长之和为，以此类推，则折叠次后能得到的所有不同图形的周长和为___________，如果对折次后，能得到的所有图形的周长和记为，则___________.17．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数.现设记，则数列的前项和___________.18．（2021·山东菏泽·二模）已知正项数列的前n项和为，且，则不超过的最大整数是_____________．19．（2021·湖北·华中师大一附中模拟预测）设，记最接近的整数为，则__________；__________．(用表示)20．（2021·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）已知函数（，）为奇函数，其定义域为A．当时，恒成立，当且仅当时取等号，则______．四、解答题21．（2021·上海长宁·一