材料力学-扭转1课件

§5-1

扭转概念和工程实例第五章扭转§5-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§5-3

纯剪切§5-4

圆轴扭转时横截面上的应力§5-5

扭转变形扭转强度和刚度计算§5-6扭转静不定问题§5-7

矩形截面杆的自由扭转§5-1扭转概念和工程实例第五章扭转§5-2§5-1扭转概念和工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。Me主动力偶阻抗力偶一、扭转的工程实例§5-1扭转概念和工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。汽车传动轴3、机器中的传动轴工作时受扭。汽车传动轴3、机器中的传动轴工作时受扭。4、汽车离合器连接时受扭。4、汽车离合器连接时受扭。5、扳手卸轮胎5、扳手卸轮胎二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。Me主动力偶阻抗力偶二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶变形特点：杆任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。这种相对角位移称为扭转角，用表示。轴：以扭转变形为主的杆件。变形特点：杆任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生轴：以扭一、外力偶矩计算§5-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶所做的功：已知轴转速－n转/分钟输出功率－P

千瓦求：力偶矩Me一、外力偶矩计算§5-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图按输入功已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）P——功率，单位为千瓦（KW）n——转速，单位为rod/minP——功率，单位为马力（PS）n——转速，单位为rod/min1PS=735.5N·m/s,1kW=1.36PS已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）P——功率mm

T1、扭转杆件的内力（截面法）mmT右段：内力偶矩——扭矩左段：二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。mmT1、扭转杆件的内力（截面法）mmT右段：内力偶矩—2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。T+T-2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。T+T-材料力学-扭转1课件例题：1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。3、内力图（扭矩图）扭矩图作法：同轴力图：例题：3、内力图（扭矩图）扭矩图作法：同轴力图：解：（一）外力偶矩

（二）求解各段内力解：（一）外力偶矩由平衡条件可解得各段内力为：负号说明与假设方向相反。由平衡条件可解得各段内力为：负号说明与假设方向相反。（三）绘扭矩图。

扭矩图（三）绘扭矩图。扭矩图1、实验：§5-3

纯剪切一、薄壁圆筒横截面上的应力

薄壁圆筒轴的扭转,r0：平均半径）(壁厚1、实验：§5-3纯剪切一、薄壁圆筒横截面上的应力2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：横截面上可认为剪应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕3、剪应力的计算公式：da薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式3、剪应力的计算公式：da薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体——得1、剪应力互等定理Lmφrtm二、关于剪应力的若干重要性质从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体——得1、剪

在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。纯剪切各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相2、剪切虎克定律在剪应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量

称为剪应变。当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应变

与剪应力τ成正比，这个关系称为剪切胡克定律。G—剪切弹性模量(GN/m2)各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：τ2、剪切虎克定律在剪应力的作用下，单元体的直角将发生一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系：1、实验：§5-4圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系：1、实验：§5-观察变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上剪应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。观察变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕取楔形体O1O2ABCD

为研究对象微段扭转变形

dj取楔形体O1O2ABCD为研究对象微段扭转变形dj二）物理关系：→方向垂直于半径。dj/

dx－扭转角变化率弹性范围内二）物理关系：→方向垂直于半径。dj/dx－扭转角变三）静力关系：横截面对形心的极惯性矩三）静力关系：横截面对形心的极惯性矩横截面上——抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：三、公式的使用条件：1、等直的圆轴，2、弹性范围内工作。Ip—截面的极惯性矩，单位：二、圆轴中τmax的确定单位：横截面上——抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：三、公式的四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp实心圆截面：Odrrd四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp实心圆截面：O空心圆截面：DdrrOd空心圆截面：DdrrOd1、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:§5-5扭转变形扭转强度和刚度计算≤≥2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:≤一、扭转强度计算等截面圆轴:变截面圆轴:1、强度条件：2、强度条件应用：§5-5扭转变形扭转强度例

由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930N·m,[]=70MPa.校核此轴的强度。解：（1）计算抗扭截面模量cm3（2）强度校核

满足强度要求例由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=例

如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。解：当实心轴和空心轴的最大应力同为[]时，两轴的许可扭矩分别为T1=T2，于是有

例如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相

在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31%。实心轴和空心轴横截面面积为在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横例

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径

d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN•m，MB=36kN•m，MC=14kN•m。材料的许用剪应力[t

]=80MPa

，试校核该轴的强度。解：1、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB例图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段BC段AB段2、计算轴横截面上的最大剪应力并校核强度即该轴满足强度条件。2214T图（kN·m）BC段AB段2、计算轴横截面上的最大剪应力并校核强度即该轴满1、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度（rad）

GIP——抗扭刚度。二、扭转杆的变形计算扭转变形与内力计算式1)扭矩不变的等直轴1、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度（rad）二、——单位长度的扭转角2)各段扭矩为不同值的阶梯轴3)变截面轴x2、单位长度扭转角：——单位长度的扭转角2)各段扭矩为不同值的阶梯轴3)变截面轴3、刚度条件：rad/m0/m[θ]—

许用单位长度扭转角3、刚度条件：rad/m0/m[θ]—许用单位长度扭转角4、刚度条件应用：1)、校核刚度:3)、确定外荷载:2)、设计截面尺寸:≤4、刚度条件应用：3)、确定外荷载:2)、设计截面尺寸:≤例题：已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各轮的间距为l1=0.8m，l2=1.0m，l3=1.2m；材料的[]=80GPa，[]=0.3/m，G=80GPa.(1)设计轴的直径D；(2)若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角D-A解：1）作扭矩图例题：已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9k2）设计轴的直径取

d

＝

102

mm由刚度条件：由强度条件：≤2）设计轴的直径取d＝102mm由刚度条件：由强度条3）计算全轴的相对扭转角D-A3）计算全轴的相对扭转角D-A例题：一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为d1=40mm，d2=70mm，已知轮3输入的功率为N3=30kW，轮1输出的功率为N1=13kW。轴作匀速转动，转速n=200r／min。若材料的容许剪应力[]=60MPa，G=8104MPa，轴的容许单位长度扭转角为[]=2／m，试校核该轴的强度和刚度。例题：一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为d1=例题：

已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同,α=0.5。试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况。解：2）比较强度dd1D1面积相同1）确定两轴尺寸关系例题：已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同,解：2）比较3）比较刚度dd1D13）比较刚度dd1D1例题：有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直径为80mm的实心圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动，输入功率N1=150kW；在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。若已知轴的转速为n=300r／min，容许剪应力[]=45MPa；键的尺寸为10mml0mm30mm，其容许应力为[]=100MPa和[c]=280MPa。(1)校核空心轴及实心轴的强度（不考虑键槽的影响）；(2)求所需键数n。P例题：有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直§5-6扭转静不定问题已知:AB

阶梯轴两端固定,C

处作用外力偶矩Me,AC抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭刚度为G2Ip2

。求:轴的扭矩。解:1）静力学关系2）变形几何关系扭转静不定问题ABCMBACBMAxACBab§5-6扭转静不定问题已知:AB阶梯轴两端固定,C处作3）物理关系解出:MBACBMAxACBab3）物理关系解出:MBACBMAxACBab§5-7非圆截面杆扭转简介常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆圆杆扭转时——

横截面保持为平面；非圆杆扭转时——平面假设不成立。变形后横截面成为一个凹凸不平的曲面，这种现象称为翘曲。§5-7非圆截面杆扭转简介常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆非圆截面杆扭转的分类：自由扭转（纯扭转）：各横截面翘曲程度不受任何约束(可自由凹凸)，任意两相邻截面翘曲程度相同。约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘曲程度不同。非圆截面杆扭转的分类：自由扭转（纯扭转）：各横截面翘曲程度不式中h——矩形截面长边的长度；

t——矩形截面短边的长度；

a——与截面尺寸的比值h/t有关的系数。

矩形截面杆自由扭转时，其横截面上的剪应力计算有以下特点：(a)截面周边各点处的剪应力方向与周边平行(相切)；

(b)截面角点处的剪应力等于零；(c)截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处.式中h——矩形截面长边的长度；矩形截面杆自由扭转时，小结1、受扭物体的受力和变形特点2、扭矩计算、符号规定和扭矩图绘制3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算4、圆轴扭转时的变形及刚度计算小结1、受扭物体的受力和变形特点2、扭矩计算、符号规定和扭矩作业5.75.115.135.155.16作业谢谢观看！2020

谢谢观看！§5-1

扭转概念和工程实例第五章扭转§5-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§5-3

纯剪切§5-4

圆轴扭转时横截面上的应力§5-5

扭转变形扭转强度和刚度计算§5-6扭转静不定问题§5-7

矩形截面杆的自由扭转§5-1扭转概念和工程实例第五章扭转§5-2§5-1扭转概念和工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。Me主动力偶阻抗力偶一、扭转的工程实例§5-1扭转概念和工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。汽车传动轴3、机器中的传动轴工作时受扭。汽车传动轴3、机器中的传动轴工作时受扭。4、汽车离合器连接时受扭。4、汽车离合器连接时受扭。5、扳手卸轮胎5、扳手卸轮胎二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。Me主动力偶阻抗力偶二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶变形特点：杆任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。这种相对角位移称为扭转角，用表示。轴：以扭转变形为主的杆件。变形特点：杆任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生轴：以扭一、外力偶矩计算§5-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶所做的功：已知轴转速－n转/分钟输出功率－P

千瓦求：力偶矩Me一、外力偶矩计算§5-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图按输入功已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）P——功率，单位为千瓦（KW）n——转速，单位为rod/minP——功率，单位为马力（PS）n——转速，单位为rod/min1PS=735.5N·m/s,1kW=1.36PS已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）P——功率mm

T1、扭转杆件的内力（截面法）mmT右段：内力偶矩——扭矩左段：二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。mmT1、扭转杆件的内力（截面法）mmT右段：内力偶矩—2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。T+T-2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。T+T-材料力学-扭转1课件例题：1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。3、内力图（扭矩图）扭矩图作法：同轴力图：例题：3、内力图（扭矩图）扭矩图作法：同轴力图：解：（一）外力偶矩

（二）求解各段内力解：（一）外力偶矩由平衡条件可解得各段内力为：负号说明与假设方向相反。由平衡条件可解得各段内力为：负号说明与假设方向相反。（三）绘扭矩图。

扭矩图（三）绘扭矩图。扭矩图1、实验：§5-3

纯剪切一、薄壁圆筒横截面上的应力

薄壁圆筒轴的扭转,r0：平均半径）(壁厚1、实验：§5-3纯剪切一、薄壁圆筒横截面上的应力2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：横截面上可认为剪应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕3、剪应力的计算公式：da薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式3、剪应力的计算公式：da薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体——得1、剪应力互等定理Lmφrtm二、关于剪应力的若干重要性质从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体——得1、剪

在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。纯剪切各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相2、剪切虎克定律在剪应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量

称为剪应变。当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应变

与剪应力τ成正比，这个关系称为剪切胡克定律。G—剪切弹性模量(GN/m2)各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：τ2、剪切虎克定律在剪应力的作用下，单元体的直角将发生一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系：1、实验：§5-4圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系：1、实验：§5-观察变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上剪应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。观察变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕取楔形体O1O2ABCD

为研究对象微段扭转变形

dj取楔形体O1O2ABCD为研究对象微段扭转变形dj二）物理关系：→方向垂直于半径。dj/

dx－扭转角变化率弹性范围内二）物理关系：→方向垂直于半径。dj/dx－扭转角变三）静力关系：横截面对形心的极惯性矩三）静力关系：横截面对形心的极惯性矩横截面上——抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：三、公式的使用条件：1、等直的圆轴，2、弹性范围内工作。Ip—截面的极惯性矩，单位：二、圆轴中τmax的确定单位：横截面上——抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：三、公式的四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp实心圆截面：Odrrd四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp实心圆截面：O空心圆截面：DdrrOd空心圆截面：DdrrOd1、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:§5-5扭转变形扭转强度和刚度计算≤≥2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:≤一、扭转强度计算等截面圆轴:变截面圆轴:1、强度条件：2、强度条件应用：§5-5扭转变形扭转强度例

由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930N·m,[]=70MPa.校核此轴的强度。解：（1）计算抗扭截面模量cm3（2）强度校核

满足强度要求例由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=例

如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。解：当实心轴和空心轴的最大应力同为[]时，两轴的许可扭矩分别为T1=T2，于是有

例如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相

在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31%。实心轴和空心轴横截面面积为在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横例

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径

d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN•m，MB=36kN•m，MC=14kN•m。材料的许用剪应力[t

]=80MPa

，试校核该轴的强度。解：1、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB例图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段BC段AB段2、计算轴横截面上的最大剪应力并校核强度即该轴满足强度条件。2214T图（kN·m）BC段AB段2、计算轴横截面上的最大剪应力并校核强度即该轴满1、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度（rad）

GIP——抗扭刚度。二、扭转杆的变形计算扭转变形与内力计算式1)扭矩不变的等直轴1、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度（rad）二、——单位长度的扭转角2)各段扭矩为不同值的阶梯轴3)变截面轴x2、单位长度扭转角：——单位长度的扭转角2)各段扭矩为不同值的阶梯轴3)变截面轴3、刚度条件：rad/m0/m[θ]—

许用单位长度扭转角3、刚度条件：rad/m0/m[θ]—许用单位长度扭转角4、刚度条件应用：1)、校核刚度:3)、确定外荷载:2)、设计截面尺寸:≤4、刚度条件应用：3)、确定外荷载:2)、设计截面尺寸:≤例题：已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各轮的间距为l1=0.8m，l2=1.0m，l3=1.2m；材料的[]=80GPa，[]=0.3/m，G=80GPa.(1)设计轴的直径D；(2)若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角D-A解：1）作扭矩图例题：已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9k2）设计轴的直径取

d

＝

102

mm由刚度条件：由强度条件：≤2）设计轴的直径取d＝102mm由刚度条件：由强度条3）计算全轴的相对扭转角D-A3）计算全轴的相对扭转角D-A例题：一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为d1=40mm，d2=70mm，已知轮3输入的功率为N3=30kW，轮1输出的功率为N1=13kW。轴作匀速转动，转速n=200r／min。若材料的容许剪应力[]=60MPa，G=8104MPa，轴的容许单位长度扭转角为[]=2／m，试校核该轴的强度和刚度。例题：一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为d1=例题：

已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同,α=0.5。试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况。解：2）比较强度dd1D1面积相同1）确定两轴尺寸关系例题：已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同,解：2）