机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计

结构优化设计structuraloptimaldesign(optimumstructuraldesign)参考书：1.孙靖民：机械优化设计，机械工业岀版社，2003孙徳敏：丁-程最优化方法和应用，中国科大出版社，1997施光燕：最优化方法，高教出版社，1999绪论内容基木概念：结构(structure)广义一系统纟H.成；窄义一承受载荷、维持系统儿何形状不变的部分，如梁杆板壳及其组合。结构是用来支承有效载荷的。设计(design)完成一项新产品、新工程前的方案构思(如大小、尺寸、形状、材料、工艺过程等)。数据一数字化“CAE优化(optimization)从几种方案中选出最好的一优选；从设计空间中的无数种方案中用计算机选出最好的一优化。工程中的优化问题桥梁等强度梁，铁塔飞机、航天器其他领域(控制、化工)发展史：牛顿，计算机，钱令希；MATLAB—优化工具箱；遗传算法MATLAB—L&J冋工程的咼级语HOptimizationToolbox主要功能：线性规划元一一x*Ax<b(1A—二次规划min-xTHx+cTx——戸=qp(Hf,A,b)52丿概述(入门实例)一、举例人字架优化#=min3+乙=8；=6末四级：乙=min2+Ihl+A=9；IF=min=min3+乙=8；=6末四级：乙=min2+Ihl+A=9；IF=minl+/,=82+tIc=min5+b=H4+乙末五级：I=min5+®=12；4+匚=min2'f=i4

_3+b末六级:=minl+/c0+g=13动态规划：24次加法，9次比校。最优原理从A到C的最优轨线是ABC(I+II),则从该轨线上任一点B到C的最优轨线II是原轨线BCo证明：如果存在最优轨线I「，则I+山是A到C的最优轨线，与前提矛盾。动态规划递推公式时间离散系统的系统方程x(k+1)=f\x{k\u(k\k]x(0)=x0其中无t维状态向量；u(k)-m维控制向量；时问变量或阶段变量。N性能指标(目标函数)：几二工CJ玖灯上伙)，幻k=0€\-第£阶段的性能指标(泛函)，或代价函数。定义：伙)，幻-由R级达到末级(N)的最小性能指标(泛函)。几_越⑷,幻=minK；C;[xG)，4j)，j]>分解得动态规划递推公式IN-k[x(k\k]=min{c苗仗)，幻+IN_(k+])[x(k+1从+1]}通常从末级开始，有帀(N)=0/。[元(N),N]=5(N),N]遗传算法简介近年来，发展了一种模拟生物进化的优化方法，称为“遗传算法（Geneticalgorithm—GA）,Jo它是衣1975年由美国教授J.Holland提出的一种人工智能方法,是在计算机上按生物进化过程进行模拟的一种搜索寻优算法。我们在介绍随机方向法时，提到了可以通过计算机产生的一个随机数列做为一个可行的初始方向（一个向量），然示按一定条件在搜索空间内对函数进行寻优。类似地，按照遗传算法的思路，它是把函数的搜索空间看成是一个映射的遗传空问，匝在此空间进行寻优搜索的可行解看成是由一个向量染色体（个体）组成的集合（群体）。染色体（chromosome）是由基因（gene）（元素）组成的血量。在遗传算法中，目标函数被转化成对应各个个体的适应度（fitness）,适应度是根据预定的目标函数对每个个体（染色体）进行评价的一个表述，可用F表示，它反映个体对目标适应的概率。相应的第i个个体的适应度用Fi表示，它可用来表示各个个体的适应性能,并据此指导寻优搜索。尺值越大，说明其性能越好。计算开始时，就是要从随机产生的一系列染色体（个体）中选择那些适应度高（性能好）的染色体（个体）组成初始的寻优群体（初始可行解）,称为“种群”（reproduction）0遗传算法先把优化问题的一组基木可行解（染色体）用二进制（或I•进制）的字符串进行编码，例如二进制的字符串001101和100111就可分别表示两个染色体。其中的一位或儿位字符的组合称为一个基因（元素）。这两个染色体就可表示二维遗传空间的两个可行解,可作为二维遗传空间中的一个寻优的初始点（种群）。当然，维数越高，要求遗传空间内染色体的群体个数越多，即和它的维数相对应。而且，遗传空间内的可行解会有多种纟R合，它们组成了可行解的空间。改变染色体中某个基因所处的位置，例如，把001101和100111中的后三位字符（基因组）进行交换，即得001111和100101的另外两个染色体（可行解）,它可以作为遗传空间中的一组新的寻优试探点。这种基因交换称为“杂交”或“交叉”（crossover）,它体现了自然界信息交换的思想。通过这样不断杂交和不断选择适丿亚度好的染色体的过程,可以实现从一个染色体种群（可行解）向另一个更优的种群的转换。或者说,通过杂交可以使一个染色体种群向另一个比上一代更优秀的种群（可行解）进化。从而可以实现在遗传空间内进行大范围的寻优，直到满意终止为止。当然，我们这里所列的两个字符串001101和100111所代表的染色体，需要从计算机产生的随机数列进行选择,择其优秀者组成寻优的初始点。这一步称为“选择”（selection）。…为了提高遗传算法搜索全局最优解的能力,还须扩大基因组合，这就是“变异”（mutation）0变异过稈是对某一染色体字符串的某个基因在繁殖过稈中实现1-0或0-1的转变，以确保染色体群体中遗传基因的多样性，保证搜索能在尽可能大的空间中进行，避免丢失搜索中有用的遗传信息而导致“过早收敛”，陷入局部解，从而提高优化解的质量。通过上面的简单介绍，可知遗传算法是由：选择、杂交和变异三个过稈组成的。还可以看出，遗传算法和前述多种优化方法的区别在于：遗传算法是多点搜索，而不是单点寻优；遗传算法育接利用从目标函数转化成的适应函数，而不采用导数等信息；遗传算法采用编码方法而不是参数本身；遗传算法是以概率原则指导搜索，而不是确定性的转化原则。目前，遗传算法还存在一些问题，主要是计算时要求种群规模较大（一般为50-100）,耗费机时太多，难以解决大型结构优化问题，一般多用于系统优化问题。其次是在求解过程中，有时会发生过早收敛于局部最优解。为此需对选择、杂交和变异三个过程进行仔细分析研究。具体算法请参阅相关文献资料。群体(population)竞争淘汰(competition)种群(reproduction)-*婚配(crossover)f了群(subpopulation)变异(mutation)f新群体…个体（individual）--解（设计方案）;染色体（chromosome）--解的编码（字符串,向量）;基因（gene）一解的一个分量，可用染色体的一个或几个元素来表示。适应度（fitness）—适应函数值（与目标有关）。例1：求f（x）=x\.0<x<3\,x为最大整数的解。解：初始种群（随机）X]=(00000)to,勺=(11001)^25,吃=(01111)t15=(01000)t8适应函数fitness(x)=x2>0入选种群概率fitness{xi)工fi血ss(xjj入选种群概率淘汰X],得种群X2,X3.X4兀2=(11|00叽A产(11|111)t31乂勺=(01|lll)J[y2=(01|001)^9x2=(11|001)1Jy3=(11|000)T24x4=(01|000)jT(儿=(01|001)t9令儿第一个基因变异得y4=(11|001)^25淘汰y2,得种群y],儿,y4例2：求max./'（兀）=1-F’.xw[0,1]的解。编码取伽山）=（丄丄丄，丄'（24816丿1137解：初始群体一（0001）T—,（0100）T—,（0011）T—,（1110）T—164168

fit.f(x)--0.996,.0.938,.0.965,.0.234入选概率-031&・0・299,.0.30&.0.075，淘汰第四个。新种群~(0001),.(0100),.(0001),.(0011)交配位(随机)(oo?oi),.(oiToo),.(ooo?i),.(ooiT1)新群体一（（）（）00）,.（0101）,.（0001）,.（（）011）变异（第二个）（0000）,（1101）,.（0001）,.（0011）T0,•二,.一,・一161616fit.f（x）优越性：1）同时记录多个解（方案），普遍方法，适合多目标、多变量问题。2）不容易局部最优解。3）方法简单、灵活。4）可和其他方法配合求解。问题：1）不是所有的问题的解祁能用编码精确表达；2）约束问题计算量大；方法重点1）解的编码方法；2）群体大小：群体越大，解越精确，越不易早熟（premature），但计算量越大；3）适应函数的确定；4）三个算法：种群选取