(新高考)高考数学二轮精品复习专题11《数列求和方法之分组并项求和法》(解析版)

专题11数列求和方法之分组并项求和法一、单选题1．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是等比数列，则SKIPIF1<0（）A．376 B．382 C．749 D．766【答案】C【分析】利用累加法求出通项SKIPIF1<0，然后利用等比数列的求和公式，求解SKIPIF1<0即可【详解】由已知得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是等比数列，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题2．若在边长为SKIPIF1<0的正三角形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）等分点，沿向量SKIPIF1<0的方向依次为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，若给出四个数值：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0的值可能的共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】由题意，存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，计算数量积，得到SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，结合题中条件，由赋值法，分别判断，即可得出结果.【详解】由题意，存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的值不可能取所给的四个数值.故选：A.【点睛】思路点睛：向量数量积的问题，在求解时，可根据向量向量积的运算法则，由转化法求出数量积；也可利用建系的方法，建立平面直角坐标系，得出所需向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.3．若数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．45 B．65 C．69 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，进而可得答案【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B．【点睛】此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题二、解答题4．设SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0是正项等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，这两个条件中任选一个，回答下列问题：（1）写出你选择的条件并求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）在（1）的条件下，若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）条件选择见解析，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，根据所选的条件结合已知条件得出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）求得SKIPIF1<0，利用分组求和法可求得SKIPIF1<0.【详解】（1）选择①：设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0.则根据题意有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；选择②：设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0.则根据题意有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于SKIPIF1<0型数列，利用分组求和法；（4）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，利用裂项相消法.5．已知数列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn.（1）若{an}是等差数列，求k的值；（2）若a＝1，k＝－SKIPIF1<0，求Sn.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据等差中项可得SKIPIF1<0，从而求出SKIPIF1<0.（2）根据题意可得SKIPIF1<0，讨论n是偶数或n是奇数，利用分组求和即可求解.【详解】（1）若SKIPIF1<0是等差数列，则对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以，当n是偶数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当n是奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上，SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：本题考查了分组求和，解题的关键是求出SKIPIF1<0，考查了计算求解能力.6．在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）证明：数列SKIPIF1<0是等比数列；（2）求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，变形为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而证明结论；（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，再利用分组求和即可得出SKIPIF1<0.【详解】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为5的等比数列，（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0SKIPIF1<0【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前SKIPIF1<0项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前SKIPIF1<0项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前SKIPIF1<0项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如SKIPIF1<0类型，可采用两项合并求解.7．已知正项等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）令SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.【详解】（1）正项等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项，设公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：第二问分组后利用等差、等比数列的前SKIPIF1<0项和公式求和是解题关键.8．在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知SKIPIF1<0是各项均为正数的等差数列，其前n项和为SKIPIF1<0，________，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，可得SKIPIF1<0，若选①：由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即可解出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，即可求出SKIPIF1<0的通项公式；若选②：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即可解出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，即可求出SKIPIF1<0的通项公式；若选③：由SKIPIF1<0，可表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，即可解出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，即可求出SKIPIF1<0的通项公式；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.【详解】SKIPIF1<0是各项均为正数的等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，若选①：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若选②：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0不符合题意；若选③：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0不符合题意；综上所述：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列计算出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，由SKIPIF1<0是各项均为正数的等差数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第二问中SKIPIF1<0正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分SKIPIF1<0为奇数和偶数讨论.9．已知数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式;（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【分析】（1）由等差数列前n项和公式，结合已知即可求公差SKIPIF1<0，进而写出通项公式即可.（2）由（1）结论，有SKIPIF1<0，首先分组，再结合等差等比前n项和公式求SKIPIF1<0．【详解】（1）∵数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．10．已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，求得SKIPIF1<0，即可求得数列SKIPIF1<0的通项公式.（2）由（1）和SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，联立方程组，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0.（2）由（1）和SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.11．已知SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是等差数列．（1）求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）首项求出SKIPIF1<0，然后求出SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0；（2）分别算出数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和即可.【详解】（1）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．从而SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0；数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．所以，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．12．设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）证明数列SKIPIF1<0是等比数列，并求出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【分析】（1）当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，两式相减，可化为SKIPIF1<0，结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由题知数列SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0，再利用分组求和法求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【详解】（1）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②由①－②得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是以2为公比，首项为SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.（2）由题得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以2为公差，2为首项的等差数列，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：（1）等差SKIPIF1<0等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）SKIPIF1<0（数列SKIPIF1<0为等差数列）：裂项相消法；（4）等差SKIPIF1<0等比数列：错位相减法.13．已知SKIPIF1<0是公差不为零的等差数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项求出公差，即可得出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）由（1）得出数列SKIPIF1<0的通项公式，再由分组求和法，结合等差、等比的求和公式求解即可.【详解】解：（1）由题设知公差SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）故SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，由分组求和法得SKIPIF1<0．14．已知数列SKIPIF1<0满足奇数项SKIPIF1<0成等比数列SKIPIF1<0，而偶数项SKIPIF1<0成等差数列SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的最大值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为SKIPIF1<0，等差数列的公差为SKIPIF1<0，代入已知条件求出SKIPIF1<0，得通项公式；（Ⅱ）用分组求和法求出SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，然后用作差法确定数列SKIPIF1<0的单调性，得最大值．【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为SKIPIF1<0，等差数列的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅱ）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法，数列的增减性．求通项公式的方法是等差数列和等比数列的基本量法，即求出公比和公差后直接写出通项公式，只是注意两解，要写成统一形式．数列求和用的分组求和法，数列求和还有其他一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，倒序求和法等．他们都是对应的着特殊数列的求和．数列的单调性一般用作差法确定，即确定SKIPIF1<0的正负，得数列的增减性，从而得最大项或最小项．对于以幂的形式给出的通项公式不等增数列还可能用作商法确定增减性．15．在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题.已知等比数列SKIPIF1<0的公比是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且有(SKIPIF1<0).(注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分)（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】不管选哪一个条件，方法都一样：（1）由基本量法求出SKIPIF1<0，得通项公式；（2）用分组求和法求SKIPIF1<0．【详解】若选择①SKIPIF1<0，（1）设数列SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．若选择②SKIPIF1<0，（1）设数列SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．若选择③SKIPIF1<0，（1）设数列SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查分组求和法．数列求和的常用方法：设数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（（2）错位相减法：数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）的前SKIPIF1<0项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列SKIPIF1<0用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；（5）倒序相加法：满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）的数列，需用倒序相加法求和．16．设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）利用当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可推出数列为等比数列，即可求出通项公式；（2）化简SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0为奇数，偶数，求和即可.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0为首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，故SKIPIF1<0（2）由（1）可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0综上SKIPIF1<017．已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0是等比数列SKIPIF1<0的前3项，求SKIPIF1<0的值及数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【分析】（1）利用SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0列出关于首项与公差的关系式，求出公差与首项，即可求数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，可得SKIPIF1<0，利用分组法求，结合等差数列与等比数列的求和公式可求出数列的和．【详解】（1）数列SKIPIF1<0是等差数列，设公差为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.再由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以：SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，是等比数列SKIPIF1<0的前3项则SKIPIF1<0，根据等差数列的通项公式得到：SKIPIF1<0，代入上式解得：SKIPIF1<0而等数列SKIPIF1<0中，cSKIPIF1<0，所以：等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0.于是：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0【点睛】利用“分组求和法”求数列前SKIPIF1<0项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）根据SKIPIF1<0，由题中条件，即可求出通项；（2）先由（1）得到SKIPIF1<0，再由分组求和的方法，利用等差数列与等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；也满足上式；∴SKIPIF1<0；（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.19．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，若对任意的正整数n都有SKIPIF1<0.（1）求a的值；（2）试确定数列SKIPIF1<0是不是等差数列；若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；（3）记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.（4）记SKIPIF1<0是否存在正整数M，使得不等式SKIPIF1<0恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）数列SKIPIF1<0是等差数列，通项公式为SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.【分析】（1）令SKIPIF1<0，即得结果；（2）将SKIPIF1<0代入，作差SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0作差整理，即得SKIPIF1<0，即证数列SKIPIF1<0是等差数列，再计算通项公式即可；（3）先利用（2）求SKIPIF1<0，再化简得到SKIPIF1<0通项公式，最后累加相消即得SKIPIF1<0；（4）先化简SKIPIF1<0，利用单调性判断其取值范围，再解决恒成立问题得到M范围，即可得到最小值.【详解】解：（1）对任意的正整数n都有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是等差数列，首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，故通项公式为SKIPIF1<0；（3）由（2）知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0，易见SKIPIF1<0是递减数列，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.依题意不等式SKIPIF1<0恒成立，即有SKIPIF1<0，故正整数M的最小值为3.【点睛】证明等差数列的方法：1.定义法；2.等差通项法；3.观察法，利用公式特征观察判断，只用于小题中.数列求和的常用方法：1.公式法；2.裂项相消法；3.倒序相加法4.错位相减法；5.并项求和法.20．已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求证：数列SKIPIF1<0为等比数列；（2）记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求最大正整数SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）99.【分析】（1）对递推关系两边取倒数，再进行构造SKIPIF1<0，即可得答案；（2）求出SKIPIF1<0，再利用分组求和法，即等比数列和等差数列的前SKIPIF1<0项和，再解不等式，即可得答案；【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，∴数列SKIPIF1<0为等比数列；(2)由（1），可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴最大正整数SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.【点睛】形如SKIPIF1<0的递推关系求通项公式，常可以用构造法进行求解；数列不等式的解，要充分利用SKIPIF1<0为整数进行代入求解.21．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）由已知条件得SKIPIF1<0，利用等差数列的通项公式即可得出SKIPIF1<0；且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，利用等比数列的通项公式即可得出SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，利用分组求和即可．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为首项是1，公差为2的等差数列，所以SKIPIF1<0．又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②由①－②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为1，公比为SKIPIF1<0的等比数列，故SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【点睛】方法点睛：求数列通项公式的方法：1.定义法：利用等差数列或等比数列的定义；2.利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系：SKIPIF1<0；3.累加法：SKIPIF1<0；4.累乘法：SKIPIF1<0；5.构造法：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；6.取倒数或者取对数．22．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由SKIPIF1<0,可得数列SKIPIF1<0是等比数列，求出通项公式即可；（2）由（1）得到SKIPIF1<0，按SKIPIF1<0为偶数和SKIPIF1<0为奇数分类，利用等差数列的求和公式和并向求和法得出数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式作差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为3，公比为3的等比数列，故SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为奇数时，前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．23．如图，在直角坐标系中有边长为2的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.设这一系列正方形中心的纵坐标为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为最大正方形中心的纵坐标.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0的奇数项构成新数列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由第2n-1个正方形到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0和第2n个正方形到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，得出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用分组求和法得出SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【详解】（1）由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第2n-1个正方形到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；第2n个正方形到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．24．已知数列SKIPIF1<0