福建省福清元载中学高中数学选修2-1教案32立体几何中的向量方法空间距离

学必求其心得，业必贵于专精3.2立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转变成向量间的计算问题．例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD,且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．解析:由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直,可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过

B且垂直于平面

EFG的向量，它的长即为点

B到平面

EFG的距离．解：如图，设

CD

4i，CB

4j，CG

2k，

以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系

C－xyz．由题设C(0,0,0），A（4,4,0）,B(0,4,0),D(4,0，0),E（2,4，0)，F4,2,0），G(0，0,2)．∴BE(2,0,0)，BF(4,2,0)，BG(0,4,2)，GE(2,4,2)，EF(2,2,0)．设BM平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得BMaBEbBFcBG(abc1),∴BMa(2,0,0)b(4,2,0)c(0,4,2)＝(2a+4b,－2b－4c，2c)．由BM平面EFG，得BMGE，BMEF,于是BMGE0，BMEF0．(2a4b,2b4c,2c)(2,4,2)0∴(2a4b,2b4c,2c)(2,2,0)0abc1a15a5c0117．整理得：a3b2c0,解得babc111c311BM＝(2a+4b，－2b－4c，2c)＝(2,2,6)．111111学必求其心得，业必贵于专精226211∴222|BM|11111111211故点B到平面EFG的距离为．说明：用向量法求点到平面的距离，常常不用作出垂线段，只要利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．例2已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1,求直线DA'与AC的距离．解：如图,设B'A'i,B'C'j，B'Bk，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系B'－xyz，则有A'(1,0,0),D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．∴DA'(0,1,1),AC(1,1,0),A'A(0,0,1)．设n(x,y,z)是直线l方向上的单位向量，则x2y2z21．∵nDA'，nAC，yz03或xyz3．∴xy0，解得xyzx2y2z2133取n(3,3,3)，则向量A'A在直线l上的投影为A'A(3,3,3)·(0,0,1)3．3333333由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA'与AC的距离为3．3向量的内积与二面角的计算在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的授课中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见［1］,p53）要求证明以下的公式:cos

cos

cos

sin

sin

cos,

(1)其中点

O是二面角

P—MN-Q的棱

MN

上的点，OA、OB分别在平面

P和平面

Q内。

AON

，BON

，

AOB

。为二面角

P—MN-Q（见图

1).学必求其心得，业必贵于专精zPDAaNyMObx

BQ图1公式（1)可以利用向量的内积来加以证明：以Q为坐标平面,直线MN为y轴,如图1建立直角坐标系。记xOz平面与平面P的交线为射线OD,则ODMN，得AOD，DOx,DOz。22分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a，b，则a,b。由计算知a，b的坐标分别为(sincos,cos,sinsin)，(sin,cos,0)，于是,absinsincos.cosabcoscos|a||b|公式（1)在立体几何计算二面角的平面角时是适用的。我们来介绍以下的两个应用。例1．立方体ABCD—A1B1C1D1的边长为1,E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。求面EFG和面GHI的夹角的大小（用反三角函数表示）。解由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，因此我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位.这样就使平面EFG平移至平面HIG。而就是二面角G-IH—G（见图3）。利用公式（1)，只要知道了，和的大小，我们就能求出。学必求其心得，业必贵于专精D1C1EHGA1B1FDICAB图2由已知条件，

GHI

和

HIG

均为等边三角形，因此

,而

GIG

。因此,3

2D1

C1E

HG

G'A1

B1FDICAB图3cos

cos

cos

sin

sin

cos

，2

3

3

3

3即1133。022cos22解得cos1，arccos1。33自然，在建立了直角坐标系此后，经过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。解我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个极点上均有3个面围绕.设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线(如图4),则公式（1）中的，，分别为:AMN,BMN，AMB，因此它们均为正五边形的内角.因此学必求其心得，业必贵于专精108。NPQMAB图4因此,由公式（1)知cos108cos108cos108sin108sin108cos，或coscos108(1cos108)5.sin21085因此，arccos5，或1163354。5若是不使用公式（1），要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。利用例2的结果，我们可以简单地计算出单位棱长正十二面体的体积V。设单位棱长正十二面体的中心为O,则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其极点。设该正五棱锥为,从而可知：V12V。再设的底面积为S、高为h,设O为单位边长正五边形（即的底）的中心，A、B为该五边形的两个相邻的极点，H为AB的中点，|OH|a,则O'AH54，a1tanO'AH1tan54，S5a5tan54。2h224仍设为正十