高等数学概率 数学期望

高等数学概率数学期望第1页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

第2页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.其中最常用的是期望和方差第3页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四一、问题的引入下面是两名射手的成绩统计表，问：哪个射手的本领高？设想：每人都打了N枪。则总环数甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N第4页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四总环数甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N平均每枪环数甲：9.1N/N＝9.1乙：9.0N/N＝9.0甲射手的水平较高。相当于8×0.4＋9×0.1＋10×0.5＝9.1相当于8×0.3＋9×0.4＋10×0.3＝9.0第5页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四在这里，我们用了平均每枪环数这样一个指标来衡量甲、乙两个射手的水平，它是环数的以概率为权的加权平均，是“每枪环数”这个随机变量的重要特征，称为期望。第6页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四二、随机变量的数学期望

1、离散型r.v的数学期望

定义1

设离散型随机变量的概率分布为:若级数绝对收敛，则称此级数的和为r.v的数学期望，简称期望或均值。记为即第7页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例1、设r.v.服从0－1分布，求。解：由题知的分布列为第8页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例2、假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障所获利润为零；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？

解：设一周内所获利润为，首先求出的分布。第9页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四的所有可能取值为10，5，0，－2，（单位：万元）一周内期望利润为5.20896万元。第10页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例3、设某射手每次击中目标的概率为p，他手中有10发子弹准备对一目标连续射击（每次打一发），一旦击中目标或子弹打完了就立刻转移到别的地方去，问他在转移前平均射击几次？解：射手在转移前的射击次数是随机变量首先求出的分布。的所有可能取值为1，2…10。第11页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四第12页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四2、连续型r.v的数学期望

定义2

设连续型随机变量有概率密度，若积分绝对收敛，则称此积分的值为r.v的数学期望，记为第13页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例4、计算在区间[a,b]上服从均匀分布的r.v.

的数学期望。解：由题知的概率密度为故第14页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例5、某种电子元件的使用寿命是一个r.v.其概率密度为

解：其中，求这种元件的平均使用寿命。指数分布第15页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四随机变量的数学期望是随机变量按其取值概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置，是概率论发展早期就已产生的一个重要概念。第16页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四三、随机变量函数的数学期望

1、离散型r.v的函数的数学期望

定义3

设离散型随机变量的概率分布为:则的期望为如果已知r.v.的分布，需要计算的不是的期望，而是它的某个函数的期望，

那么又应该如何计算呢？第17页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四2、连续型r.v的函数的数学期望

定义4

设连续型随机变量的概率密度为

则它的函数的期望为第18页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四定义3和定义4表明，求随机变量函数的数学期望，并不需要先求出该函数的分布，而是可直接利用原始的分布求得。这将大大地简化计算。第19页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例6、设r.v.的分布列如下，求，，。解：第20页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例7、设r.v.服从上的均匀分布，求

的数学期望。解：由题知的概率密度为故第21页，共22页，2022年，5月20日，21点28分，星期四设二