上三角形内外角平分线有关命题证明应用

三角形内外角均分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角均分线相关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1如图１，点D是△ABC两个内角均分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：180°－∠D＋∠A＝∠DD=90°+∠A．谈论利用角均分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2如图２，点D是△ABC两个内角均分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：DB和DC是△ABC的两条外角均分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；谈论利用角均分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，能够证明.命题3如图3，点E是△ABC一个内角均分线与一个外角均分线的交点，证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，

则∠E=

∠A．A+2∠1=2∠4①1+∠E=∠4②①×代入②得：E=∠A．谈论利用角均分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很简单证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角均分线BE与一个外角均分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角均分线.证明：如图3：BE是∠ABC的均分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的均分线,可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EHEG=EH∴AE是△ABC的外角均分线．谈论利用角均分线的性质和判断能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角均分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角均分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形解析：①由命2的直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②依照命2的∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角均分所在的直形成的三角形的三个角都是角，三角形是角三角形．点此直接运用命2的很．同要知道三角形按角分角三角形、直角三角形和角三角形．例２如6，在△ABC中，延BC到D,∠ABC与∠ACD的角均分相于点，∠BC与∠CD的均分交与点，以此推，⋯，若∠A=96°，∠=度．解析：由命③的不律∠∠A．能够直接得：∠=×96°=3°．点此是要找出律的但要有命③的作基知．例３（203西第一大填空第八小，此３分）如

7，△ABC的外角∠

ACD的均分CP的内角∠ABC均分BP交于点P，若∠BPC=40°，∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论能够知道ＡＰ是△ABC的一个外角均分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC,CAP=(180°－∠BAC)=(180°－2∠BPC)=50°．谈论对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角均分线交与E点，连接AE，则∠AEB=度．解析：有题目和命题４的结论能够知道AE是△ABC的一个外角均分线,结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°谈论从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是能够不用的．二.角均分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角均分线，构造三角形例题、以下列图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的均分线，BE⊥AD于F。1求证：BE(ACAB)证明：延长BE交AC于点F。A由于角是轴对称图形，对称轴是角的均分线所在的直线，12所以AD为∠BAC的对称轴，FEBDC又由于BE⊥AD于F，所以点B和点F关于AD对称，所以BE=FE=1BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。2由于∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C，所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C，所以∠FBC=∠C，所以FB=FC，所以BE=1FC=1（AC－AF）=1（AC－AB），222所以BE1(ACAB)。2二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段以下列图，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。求证：∠BAP＋∠BCP=180°。证明：经过点P作PE⊥AB于点E。由于PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2，所以PE=PD。在Rt△PBE和Rt△PBC中BPBPPEPD所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL），所以BE=BD。由于AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE，

EAPNB所以AE=CD。由于PE⊥AB，PD⊥BC，所以∠PEB=∠PDB=90°.

DC在△PAE和Rt△PCD中PEPDPEBPDCAEDC所以△PAE≌Rt△PCD，所以∠PCB=∠EAP。由于∠BAP＋∠EAP=180°，所以∠BAP＋∠BCP=180°。三、已知角均分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、以下列图，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的均分线，求证：∠1=∠2证明：过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于A点F．由于P在∠EBC的均分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，所以PE=PF。同理可证PF=PG。所以PG=PE，又PE⊥AB，PG⊥AC，所以PA是∠BAC的均分线，所以∠1=∠2。

12BFCEGP.角均分线------应用三角形的角均分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角均分线解题呢下面举例说明．一、由角均分线的性质联想两线段相等例1如图1，AB＞AC，∠A的均分线与BC的垂直均分线订交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．A证明连接DB，DC．∵D在∠A的均分线上，∴DE=DF．ECMB∵D在BC的垂直均分线上，∴BD=DC．F又∠BED=∠CFD=90°，D图1Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE=CF．二、由角均分线的轴对称性构造全等三角形例2如图2，BC＞AB，BD均分∠ABC，且AD=DC求证：∠A+∠C=180°．证明延长BA至F，使BF=BC．由BD均分∠ABC在△FBD与△CBD中，BF=BC∠ABD=∠CBDBD=BDBD图2C∴△FBD≌△CBD，∴∠C=∠F，DF=CD=AD，∠F=DAF，∴∠A+∠C=∠BAD+∠DAF=180°．三、过角均分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形例3已知：如图3，∠ABC的均分线BF与∠ACB的均分线CF订交于点F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证：BD+CE=DE．A证明：∵BF是∠ABC的均分线∴∠DBF=∠CBF又∵DE∥BCFED∴∠DFB=∠CBFBC∴∠DBF=∠DFB图3BD=FD，同理CE=FE．BD+CE=DF+FE=DE．四、实质生活中的应用例4如图4，有三条公路l1、l2、l3两两订交，要选择一地址建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址这样的地址有几种选择解析：分别作△ABC两内角的均分线，它们订交于一点，依照角均分线图的4性质知，这个点到三条公路的距离相等；也许分别作△ABC相邻两外角的均分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的地址共有4种选择．．五.角均分线携“截长补短”显优秀角的均分线拥有其特有的性质，这一性质在好多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特别方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.eg1.如图1-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.解析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，

DA只要再证DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图1-2E在△FCE与△BCE中，CCFCBFCEBCE

B图1-1CECE∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，

DA∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，FDEADE

43F21DEDEC34B图1-2∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.eg2.已知，如图2-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.解析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，所以此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图2-2∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，PEPDBPBPRt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在Rt△APE与Rt△CPD中,PEPDPEAPDCAEDCRt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°eg3.已知：如图3-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.解析：从结论解析，“截长”或“补短”都可实现问题的转变，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图3-2∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，

ANP12BDC图2-1EANP12BDC图32-2-A12BDC图3-1A12在△ABD与△AED中,BDC图3-2E2BEADAD∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.方法二（截长法）A在AB上截取AF=AC，如图3-312在△AFD与△ACD中,FAFAC2ADAD

BDC图3-3∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.上述两种方法在实质应用中，常常是互为补充，但应结合详尽题目恰当选择合适思路进行解析。让掌握学生掌握好“截长补短法”关于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。如图1所示，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2。求证：AB=AC＋CD。证法一：截取法。就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等，尔后证明另一段等于加法运算的另一条线段。如图2所示，在AB上截取AE=AC，连接DE。在△AED和△ACD中AEACA1212ADE3ADB4DC所以△AED≌△ACD，图2所以ED=CD，∠3=∠C。由于∠3=∠B＋∠4，∠C=2∠B，所以∠B=∠4，所以BE=DE。所以AB=AE＋BE=AC＋DE=AC＋CD。证法二、补短法。就是在较短的一条线段的基础上经过延长在截取的方法将求和的两条线段连接在一起。本种方法是延长AC，再在延长线上截取CF=CD。如图3所示，延长AC到点F，使CF=CD，连接DF。由于CF=CD，A所以∠3=∠F。12由于∠ACB=∠3＋∠F，BD3C所以∠ACB=2∠F。图3又由于∠ACB=2∠B，F所以∠B=∠F。在△ABD和△AFD中2BFADAD所以△ABD≌△AFD，所以AB=AF。由于AF=AC＋CF=AC＋CD，所以AB=AC＋CD。第三种方法：也是属于补短法，本种方法是延长DC，再在延长线上截取CM=AC。证明：延长DC，在DC的延长线上截取CM=AC，连接AM。由于由于CM=CA，所以∠3=∠M。由于∠ACB=∠3＋∠M，所以∠ACB=2∠M=2∠3。又由于∠ACB=2∠B，A所以∠B=∠M=∠3，123所以AB=AM。B4M由于∠4=∠B＋∠1，∠DAM=∠2＋∠3，∠DC图41=∠2所以∠4=∠DAM，所以AM=DM=DC＋CM=DC＋AC，所以AB=DC＋AC。练习：如图5所示，在△ABC中，BC边的垂直均分线DF交△BAC的外角均分线AD于点D，F为垂足，DE⊥ABDAE于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。BCF提示：能够将减法运算转变成加法运算，尔后利用“截图5长”也许“补短”法解决问题。四.角均分线中考真题角均分线的性质与应用一、选择题1、（2009·温州中考）如图，OP均分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B．下列结论中不用然成立的是（）图3A.PA

PB

B.PO均分

APB

C.OA

OB

D.AB垂直均分

OP【解析】选

D.由

OP均分

AOB，PA

OA，PB

OB，可得

PA

PB，由

HL可得Rt△AOP≌Rt△BOP，所以可得PO均分APB，OAOB.2、(2009·牡丹江中考)尺规作图作AOB的均分线方法以下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1CD长为半径画弧，2两弧交于点P，作射线由作法得△OCP≌△ODP的依照是（）OP，A．SASB．ASAC．AASD．SSSACO

PDB【解析】选D.由作法知OC=OD,OP=OP,CP=DP,所以△OCP≌△ODP，所以依照为SSS；3、（2007·中山中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）（Ａ）三条中线的交点（Ｂ）三条高的交点（Ｃ）三条边的垂直均分线的交点（Ｄ）三条角均分线的交点答案：D4、（2007·义乌中考）如图，点P是∠BAC的均分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）.（A）3（B）4（C）5（D）6【解析】选A.由角均分线的性质可得.二、填空题5、（2009·厦门中考）如图，在ABC中，∠C=90°,∠ABC的均分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_______厘米。【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得CDBD2BC2102826,由角均分线性质得DECD6答案：6.6、（2010·珠海中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_____cm.【解析】由于，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，有BD为∠ABC的角均分线，所以P到BC的距离等于答案：4

PE的长等于

4.7、（2008·肇庆中考）如图，

P是∠AOB的角均分线上的一点，

PC⊥OA于点

C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（

只要写出一对即可）

.答案：PC=PD（答案不唯一）三、解答题8、（2009·怀化中考）如图，P是∠BAC内的一点，PEAB，PFAC，垂足分别为点E，F，AEAF．求证：（1）PEPF；（2）点P在∠BAC的角均分线上．【证明】（1）如图，连接AP，PEAB,PFAC,∴∠AEP=∠AFP=90，又AE=AF，AP=AP，Rt△AEP≌Rt△AFP，∴PE=PF．2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，∴AP是∠BAC的角均分线，故点P在∠BAC的角均分线上9、(2008·青岛中考)如图，AB，AC表示两条订交的公路，现要在BAC的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交织处A点的距离为1000米．（1）若要以1:50000的比率尺画设计图，求物流中心到公路交织处A点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的地址P．【解析】（1）（1）1000米=100000厘米，100000÷50000=2（厘米）；(2)10、（2008·衢州中考）如图，AB∥CD(1)用直尺和圆规作C的均分线CP，CP交AB于点E(保留作图印迹，不写作法)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连接AF。要使△ACF≌△AEF，还需要增加一个什么条件请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。【解析】(1)作图略；取点F和画AF正确(如图)；增加的条件能够是：F是CE的中点；AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)∴A70，B90，C140五.最后----角均分线、垂直均分线知识考点：认识角均分线、垂直均分线的相关性质和定理，并能解决一些实责问题。精典例题：【例题】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝300，AB的垂直均分线EF交AB于点E，交BC于点F，求证：CF＝2BF。解析一：要证明CF＝2BF，由于BF与CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连接AF，则BF＝AF。问题转变成证CF＝2AF，又∠B＝∠C＝300，这就等价于要证∠CAF＝900，则依照含300角的直角三角形的性质可得CF＝2AF＝2BF。解析二：要证明CF＝2BF，联想∠B＝300，EF是AB的中垂线，可过点A作AG∥EF交FC于G后，获取含300角的Rt△ABG，且EF是Rt△ABG的中位线，所以BG＝2BF＝2AG，再想法证明AG＝GC，即有BF＝FG＝GC。AAEEBFCBFGC例题图1例题图2解析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD⊥BC于D，则BD＝CD，考虑到∠B＝300，不如设EF＝1，再用勾股定理计算即可得证。以上三种解析的证明略。EAAE123BFDCBDC问题图例题图3研究与创新：【问题】请阅读下面资料，并回答所提出的问题：三角形内角均分线性质定理：三角形的内角均分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比率。如图，△ABC中，AD是角均分线。求证：BDABDC。解析：要证BDAB，一般只要证ACBD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角DCAC形相似，现在B、D、C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用其余方法换比。我们注意到在比率式BDABCDC中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比率项，所以考虑过ACAE，这样，证明BDAB作CE∥AD交BA的延长线于E，从而获取BD、CD、AB的第四比率项DCAC就可以转变成证AE＝AC。证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于E12CE∥AD23∠E＝∠3AE＝AC1ECE∥ADBDABDCAE∴BDABDCAC（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；2）在上述解析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种选出一个填入后边的括号内（）①数形结合思想②转变思想③分类谈论思想答案：②转变思想（3）用三角形内角均分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角均分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，求BD的长。答案：35cm9评注：此题的目的主要在于观察学生的阅读理解能力。追踪训练：一、填空题：1、如图，∠

A＝520，O是

AB、AC的垂直均分线的交点，那么∠

OCB＝

。2、如图，已知

AB＝AC，∠A＝440，AB的垂直均分线

MN交

AC于点

D，则∠

DBC＝

。ABAAMEDDODENBCBCACBC第1题图第2题图第3题图第4题图3、如图，在△ABC中，∠C＝900，∠B＝150，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD＝8，则AC＝。4、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直均分线，△BCE的周长为24，BC＝10，则AB＝。5、如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角均分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角均分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝680，那么∠P＝。NCGACFPDDEF13ABEM24BC