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6.2.4向量的数量积

一、创设问题情境，引入数量积概念思考：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；B新课讲授一、平面向量的夹角两个非零向量，.是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角.0A说出下列两个向量和的夹角的大小是多少？(1)(3)┐(5)两个非零向量的夹角应该注意两个向量共起点.巩固新知40O(2)╮40O60O(4)60O60O(6)60O向量的夹角2对两向量，夹角的理解

（1）根据向量夹角的定义，两非零向量夹角是将两个向量的

起点移到同一点，这样两向量所成的角才是这两个向量

的夹角

（2）例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA与AB的夹角，∠BAD才是CA与AB的夹

角.其中AD是CA平移所得.（3）向量与之间的夹角θ的取值范围是[0，π]，这与两直线夹角的范围

是不一样的(向量有方向)，注意从定义上理解.

（5）向量与的夹角也可以表示为

平面向量数量积的概念3平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(也叫内积)，记作，即

【规定】零向量与任一向量的数量积为0（1）在书写数量积时，与之间用实心圆点“·”连接，不能写成“×”,更不能不写.

（2）我们规定了与任意向量的数量积为0，但由=0，不能推出或

一定是零向量，这是因为两个向量垂直时，其夹角为90°，此时，

故也有=0

.

（3）要注意=0，但0

巩固新知例1例2知三求一练习（口算）巩固新知加深记忆平面向量的数量积：与以往运算法则的区别及注意点:1.一种新的运算

2.“·”不能省略，也不能写成“×”3.数量积是一个数量；而向量的线性运算是向量4.公式可变为，用于求夹角.MN新课讲授三、投影向量设，是两个非零向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.ABCD0探究新知如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与,

,之间有怎样的关系？N0M探究新知N0MN0MN0M平面向量数量积的概念3投影补充①为向量在上(在上)的投影的数量.

②投影的数量是一个值，不是向量.

★当θ为锐角时，投影的数量为正值；★当θ为钝角时，投影的数量为负值；★当θ为直角时，投影的数量为0；★当θ为0°时，向量在上(在上)投影的数量为

；

★当θ为180°时，向量在上(在上)投影的数量为

；

☆在上的投影的数量可以记为，也可以记为

在上的投影和在

上的投影，不一样.

巩固新知平面向量数量积的性质4设与都是非零向量，θ为向量与的夹角，是与方向相同的单位向量，则有如下性质：

既可以证明向量垂直，也可以由垂直进行相关计算可以用来求向量的模，实现实数运算往向量运算的转化可用来求两个向量的夹角，夹角的取值与两个向量有关可以通过向量来证明不等式问题或者求

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