高中数学课时练习11数学归纳法新人教A版选择性必修2

数归法(25分钟50分一、选择题每题5分，共20分1．对于不等式n＋n≤n＋1(n，某学生的证明过程如下：(1)当n时1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k)时，不等式成立，即

k＋k<k＋1，则n＝k＋1时（k＋1）＋＋1）＝k＋3k＋2<（k＋3k＋2＋）＝＋2）＝(k＋1)，所以当＝k时不等式成立上述证(A．过程全都正确B．n＝1验不正确C．归纳假设不正确D．从＝k到n＝k＋1的推理不确【解析D.n＝1的证及归假设都正确从＝k到＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．12．用数学归纳法证明等式1＋a＋a＋…＋a＝1－a

(a≠1，n∈N

)

，在验证n成时，左边需计算的项()A．1

B＋aC．1＋a＋aD＋a＋a＋a【解析选A当n＝1时，等式边＝1.3．凸边有f(n)条角线，凸n＋1边形角线的条数f(n为)A．f(n)＋n＋1B．f(n)C．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2【解析选C.增加一个顶点，就加n＋1－3条对线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)－1.11114．设＝＋＋，S为kkk＋32k1A＋2k＋2

11B．S＋＋2k＋12k＋21

11C＋－2k＋12k

11D．S＋－2k＋22k＋1111【解析选C.因式子右边各分数分母是连续正整数，则由S＝＋＋…＋，k＋1k＋22k①11111得S＝＋＋＋.②k＋2k＋32k2k＋12（k＋1111由②－①，S－S＝＋－2k＋12（k＋1）k＋1＝

11－.故＝S＋－.2k＋12＋1）2k＋12（k＋1二、填空题每题5分，共10分n（2n＋15学归纳法证明1＋2＋＋(n－1)＋n＋(n＋…＋2＋1＝(n∈N)3时，由＝k的假设到证明n＝k时，等式左边应增加的式子_．【解析根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于＝k，左边＋2＋…＋(k－1)＋k＋(k－1)＋…＋2＋1，n＝k＋1时左边＝1＋2＋…－1)＋k＋(k＋1)＋k＋(k＋…＋2＋1，较两式，可知等式左边应增加的式子(k.答案：＋1)＋k2x6．设f(x)＝，x＝1＝f(x)(n≥2，n).x＋2则x＝________；数列x}的通项公式________，212×2×23122【解析】(1)x＝f(x)＝＝f(x)＝＝＝，x＝f(x)＝＝.322415＋2＋2322(2)根据计算结果，可以归纳出x.n＋12证明：①当n时，x＝＝1与已知相符，归纳出的公式成立．1＋1②假设当n＝k(k∈N)时，公式立，即x

2k＋1

，22×2xk＋142那么，＝＝＝＝，x＋222k＋4（k＋1＋1＋2k＋1所以当n＝k＋1时，公式也成立由①②知，当n∈N时x＝

2n

.2

22答案：x＝3n＋1三、解答题每题10分共20分)n11117．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋…＋≤＋n(n∈N).2232211【证明】当n＝1时，左式＝1＋，式＝＋122313所以≤1＋≤，题成立222(2)假设当n＝k(k∈N)时，命题立，k1111即1＋≤1＋＋＋＋≤＋k223221111111则当n＝k＋1时1＋＋＋＋＋＋＋…＋>1＋＋2·＝12322＋12＋22＋22k＋.2111111111又1＋＋＋＋＋＋＋…＋<＋k＋2·＝＋1)2322＋12＋22＋2222即当n＝k＋1时命题成立．由1)和(2)可知，命题对所有的n∈N都立．8．在数{}，{b}中a＝2＝4且，a

成等差数列b，a

成等比数列n∈N)求a及b，由此猜测数{a}，{b的通项公式证你的结论．【解析】由题意得＝a＋a，a

＝bb，由此可得＝6＝9，a＝12，b＝16＝20，b＝25.猜测＝n(n＝(n，n∈N.用数学归纳法证明如下：①当n时由a＝2，b＝4可得结论成立．②假设当n＝k(k≥2且k∈N)时结论成立，即a＝k(k＋1)，b＝(k＋1)，么当n＝k＋1，a

＝2(k－k(k＋1)(k＋2)＋1)[(k

＝

a

b

＝（k＋1）（k＋2）（k）

＝(k＋2)＝[(k＋1)＋1].所以n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知a＝n(n＋1)，b＝(n

一切∈N都成立．【拓展提升】应用数学归纳法证题时应注意(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.3

(2)递推是关键分由n＝k到＝k＋1式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．(30分钟60分一、选择题每题5分，共20分1用学归纳法证明“凸n(n≥3)边形的角和公式”时＝k＝k＋1内和增加了)π3πA．B．πC．22

D．2π【解析选B.如图，由n＝k到＝k时凸n边形内角和增加的是∠＋＋＝π.2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＝2·1·3·…·(2n，n到＝k＋1，边需要增乘的代数式()2k＋12k＋3A．2kB．2(2k＋1)C．kk【解析选B.当n＝k时等式左边(＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，而当n＝k＋1时等式左边为k＋1＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋2)·(k＋3)·＋2)前边少了一项(k＋1)，后边多了两项(k＋＋1)(k＋2)，故增乘的代数式为（k＋k＋1）（k＋k＋2）k＋1

＝2(2k＋1).3．当n＝1，3，4，5，6时比较2和n

的大小并猜想得到的结论(A≥1时，>nB．n≥3时，2>nC≥4时，>nD．n≥5时，2>n【解析选当n＝1时>1即2>n当n＝22＝2即2＝n当n时<3，即2<n；n＝4时，2＝4，＝n；n＝5时2>5，即>n；n＝6时2>6，即2>n；猜想当n≥5时，2>n；下面我们用数学归纳法证明猜想成立，4

(((1)当n＝5时，由以上可知猜想立，(2)设n＝k(k时，命题成立，即2>k，当n＝k＋1时，

＝2·2>2k＝k＋k>k＋(2k＋1)＝(k＋1)，即＝k＋1时，命题成立，由1)和(2)可得n时，>n；故当＝24时2＝n；n时2<n；n＝1及n取大于4的整数时，都有2>n.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3＋9存在自然数，使得对任意n∈N，能使整f(n)，则最大的的为)A．30BC．6【解析选C.因为f(1)＝36＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能36整除，猜想f(n)能36整除证明当n＝1时由上得证设n＝k(k≥2)时＝(2k能36整，则当n＝k＋1时f(k－f(k)＋9)·3

＋1

＋7)·3＝(6k＋27)·3k＋7)·3＝(4k＋20)·3＝36(k＋5)·3(k≥2)f(k＋1)被36整．因为f(1)不能被大于的数除，所以所求的最大的的值等于36.二、填空题每题5分，共20分5．用数学归纳法证明“当n为正数时x＋y被＋y整”，当第二步假设n－1(k∈N)命题为真时，进而需证n＝__________，命题为.【解析】因为n为正数，所以奇数2k－1之后的奇数是2k＋1.答案：＋16．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……按照以上式子的规律：则第5个式________，猜想第nn∈N个式_______；【解析】第5个等式为5＋6＋7＋9＋11＋12＋13.第n个式为n＋(n＋1)＋(n＋…＋(3n－2)＝(2n，n.证明：①当n时等式左边1，等式右边(2＝1所以等式成立．②假设n＝k时，题成立，即k＋(k＋(k＋…＋(3k＝(2k－1)，5

{{}则当n时，＋1)＋[(k＋1]＋[(k＋1)＋…＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)＋(k＋2)＋3)＋…＋(3k＋1)＝k＋1)＋2)…＋(3k＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝(2k－1)＋8k－4k＋1＋8k＋1)＝[2(k－1]即时式成立．根据①②，可知对任意n∈N答案：＋10＋11＋12＋13＝9n＋(n＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)，n

等式都成立．7．在用数学归纳法证明“＋5

(n∈N)能被14整除”的过程中，当n＝k时，式子3

＋5

应变形为________.答案：＋5

)3＋5

(5－3)8．用数学归纳法证明“＋5n能6整”的过程中，当n＝k＋1时式(＋1)＋5(k＋1)变形为_________.【解析采取凑配法凑出归纳设k＋5k来(k＋1)＋5(k＋1)＝k＋3k＋3k＝(k＋1)答案：＋5k)＋3k(k＋1)＋6三、解答题每题10分共20分)9．求证：

＋(a＋1)

能被a＋a＋1整，∈N.【证明】当n＝1时，＋(a＋1)＝a＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N，k≥1)时a

＋(a＋1)

能被a＋a＋1整除，则当n＝k＋1时a

＋(a＋1)＝a·a＋(a·(a＋1)

－1

]＋(a＋1)(a＋1)＝a[a

＋1

]＋(a＋1)(a＋1).由归纳假设，上式中的两项均能被a＋1除，故时题成立．由1)(2)知，对任意n∈N，命题成立．10．列a

满足S＝2n－a(n∈N*).(1)计算a，a，a，a，由此猜想通项公式a；(2)用数学归纳法证明(中猜．6

2(